第3节 简谐运动的图象

处，因此质点的加速度为正的最大值，但速度为零，C
错．第4 s和第8 s末质点处在相邻的两个平衡位置，则
速度方向相反(根据切线斜率判断)，D错．
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• 答案
AB
• 点拨
根据振动图象分析简谐运动的情况，关
键是要知道图象直接表示出哪些物理量，间接
表示出哪些物理量，掌握分析间接表示的物理
量的方法和依据．
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• 4.可以判断任意时刻回复力、加速度的方向． 如图9—33所示，在t3时刻质点的位移为负，则回复力、 加速度的方向为正，向上． • 5.可以判断质点连续通过两个位置或同一位置所需时间 与周期或半周期大小的关系．
如图9—33所示，振子由0开始向上振动，第一次经D点 到第一次经E点所用时间△t=T/2(E，D为对称点)．
实际振动对应地联系起来，如图9—35所示，才
能更好地借助图象去解决实际问题．
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• 例如：一弹簧振子的振幅为A，从最大位移处第
一次到达平衡位置所需时间为t0．若振子从最大
位移处经t0/2时，速度的大小和加速度大小分别
为v1，a1，而振子位移为A/2时速度和加速度的 大小分别为v2，a2，那么 ( )
间时间可能等于 周期，也可能小于
2
1 周期， 4
故C、wenku.baidu.com对．
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1．知识结构及要点小结
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二、实际应用思维专题点拨
实际应用思维导析：近几年在简谐运动图象上
的应用，多在画图和把图象应用到具体运动上
下功夫．
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• 【例2】如图9—3—12所示，一块涂有炭黑的玻
璃板，质量为2 kg，在拉力F的作用下，由静止
开始竖直向上做匀变速运动．一个装有水平振
针的振动频率为5 Hz的固定电动音叉在玻璃板
我们可以看到，纸带上记录的曲线是一条正弦 (或余弦)曲线．
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• 知识点2 简谐运动图象的物理意义
• 1.坐标轴的物理意义．
如图9—32所示，是一简谐运动的图象，横轴表 示时间，也是表示振动物体的平衡位置，纵轴 表示振动物体离开平衡位置的位移．
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• 2.点坐标的物理意义．
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• 解析 由题意可知，当t=0时，物体的位移为零；当 t=T／4时，振子具有最大的正向加速度，说明振子的 位移为负向最大值(加速度的方向总是与位移的方向相 反)，由这两时刻的位移与图中图象进行比较，可知C 图正确． • 答案 C
• 点拨 将振动图象和具体的运动过程联系起来，是理解、 分析振动图象的重要途径．由于简谐运动的图象都是 正弦或余弦曲线，因此只要确定两个不同时刻物体的 位移就可以确定物体的振动图象．
记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球
振动时，沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅
笔P就在纸带上画出一条振动曲线．
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纸带的运动是匀速的，设其速度为v，纸带运
s 动的距离为s，则运动的时间 t , 只要在运动 v
方向上取相等的距离△s，则对应的时间△t就 示时间．
一定相等，这样就可以用纸带上运动的距离表
体运动的时闻与振动周期之间的关系，运动学
与动力学相联系的“桥梁”是加速度与其他物
理量间的关系．在充分挖掘题目隐含条件的基 础上，建立相应的物理模型，作出正确解答．
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• 【例l】 一个质点做简谐运动的图象如图9—3— 11所示，则该质点( ) A．在0．035 s时速度为正，加速度为负 B．在0．04 s时速度最大，加速度为零 C．在0～0．01 s内，速度和加速度同向 D．在第二个0．01 s内，回复力做负功
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3．根据振动图象分析简谐运动情况的方法
• 例3 如图9—3—4所示的是某弹簧振子的振动图 象，试由图象判断下列说法中哪些是正确的 ( ) A．振幅为3 m，周期为8 s B．4 s末振子速度为负，加速度为零 C．第14 s末振子加速度为正，速度最大 D．4s和8 s末时振子的速度相同
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• 解：A、C、D点拨：由加速度与位移方向相反的特征， 可确定质点在0．035 s时加速度为负值，而此时对应的 位移图象为上升曲线，所以速度为正值，A项正确；由 图象可知，在0．04 s时位移最大，因此加速度最大，B 项错误；在0～0．01 s内，位移为正值，所以加速度为 负值，而此时曲线为下降阶段，所以速度为负值，加 速度与速度同向，C项正确；在第二个0．01 s内，位 移为负值，根据回复力与位移的关系，可知回复力为 正值，而此时的速度为负值，回复力方向与速度方向 相反，所以回复力做负功，D项正确．因此，本题答案 为A、C、D．
A．振子的速度方向和加速度方向都不变
B．振子的速度方向和加速度方向都改变
C．振子的速度方向改变，加速度方向不变
D．振子的速度方向不变，
加速度方向改变
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• 解析 在t1至t2时间内，由图象的斜率始终为负 可知，速度方向不变；但由于位移先为正值后 为负值，而加速度方向始终和位移方向相反， 所以加速度先为负值后为正值，即加速度方向 改变． • 答案 D
102 m / s 2 2m / s 2 , 由牛顿第二定律
F mg ma 24 N .
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• 点拨：本题考查了牛顿第二定律、运动学公式、
简谐运动的图象，情景新颖，解题关键在于细
致分析此情景，弄清简谐运动的图象应用。
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三、创新思维专题点拨
创新思维导析：对于振动问题，我们应能由物
上画了图示曲线，量得OA=1 cm，OB=4 cm，
OC=9 cm，求外力的大小．(g取10 m／s2)
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1 • 解：振动周期 T s 0.2 s，图中OA,、A,B、 5 BC三段运动时间均为玻璃板的运动为匀变速运
(9 4) (4 1) 动，设其加速度为a，则 a 2 0.1
• 6.可以判断在某段时间内振动质点的位移、回复力、加 速度、速度、动能、势能的变化情况． • 7.简谐运动的周期性，体现为图象上的周期性，简谐运 动的对称性体现为图象上的对称性．
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• 知识点4 简谐运动图象的应用
在应用简谐运动的图象解题时，除加深对运动
图象的认识外，重要的是把运动图象与质点的
k x=0，由 a x ，可知a=0，B错．t=3s和t=5 s m
k 时，处在最大位移处，速度均为零．由 a x m
可知，t=3 s时，加速度为正，t=5 s时，加速度 为负，所以C错，D对．
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一、学科综合思维专题点拨
学科综合思维导析：振动图象可与运动学、动
力学等相综合，求解这部分问题时应注意到物
体的振动情况画出物体的振动图象，由物体的
振动图象会解读出物体的振动情况，将振动和
图象结合起来，在解题过程中会化难为易。
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• 【例3】(巧题妙解)一做简谐运动的质点t1时刻与 t2时刻的位移相同，已知（t2－t1）小于一个周 期，则（t2－t1） （ 1 A．一定小于 周期 2 1 C．可能小于 周期 4 ）
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• 知识点3 简谐运动图象的认识
• 1.从图象上可以直接看出振动的振幅和周期．
如图9—34所示，是简谐运动的图象，从图象上 可知振动的振幅是最高点或最低点纵坐标的绝 对值，A=2cm．
振动的周期T=0.4s.
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• 2.可以看出任意时刻振动质点的位移及所在的位置.
物理与生活
在实际中记录振动的方法有很多．医院里的心 电图仪记录的心电图反映的是心跳过程中心脏 的生物电现象，反映了心脏肌群的电位变化， 它具有周期性．如图9—30所示．
• [思者讨论]你知道心电图是如何记录心脏肌群的 电位变化的吗?
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知识详解
• 知识点1 简谐运动图象的建立
如图9—31所示，在弹簧振子的小球下安装一支
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• 解析
由图象可知，振幅A=3 m，周期T=8 s，A
对．4 s末图线恰与横轴相交，位移为零，则加速度为
零，过这一点作图象的切线，切线与横轴的夹角大于 B对．根据振动图象的周期性，14 s=8 s+6 s，可知第14 s末质点与第6 s末质点的位移相同，处于负的最大位移
90°(或根据下一时刻位移为负)，所以振子的速度为负，
如图9—33所示，t1时刻质点的位移为0.05m，它所
在的位置在平衡位置上方0.05m处．
• 3.可以判断任意时刻质点的速度方向．
如图9—33所示，在t1时刻质点向上方(远离平衡位
置)运动，在t2时刻质点向下方(回到平衡位置)运动.
如图9—34所示，在t=0.3 s时，质点经过平衡位置
向x正方向运动．
A.v1 v2 C.a1 a2 B.v1 v2 D.a1 a2
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• 分析 用实际振动情况去分析本题将较难理解，若借助
振动图象，就一目了然．
如图9—35所示，为其振动图象，振子由最大位置处第
一次到达平衡位置所用时间为t0，则t0=T/4，若振子从
最大位置处经t0/2时间在图象上对应的是a点，而振子 位移为A/2所对应的是b点或b′点，从图象上的a，b(b′) 两点比较，很容易知道a点对应的位移大，则加速度大 而速度小，b(b′)点对应的位移小，则加速度小而速度
设P为曲线上的一点，其坐标(t1，x1)表示在t1时
刻，物体偏离平衡位置的位移为x1．
• 3.图象的物理意义．
表示振动物体离开平衡位置的位移与时间的函 数关系．
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如图9—33所示，振子在以O为平衡位置的B，C 两点间做简谐运动时，各时刻离开平衡位置的 位移都能从振动图象上反映出来，用图象记录 了振子整个的运动情况． 【注意】 由于振动的周 期性，只需有限的lT～2T 图象，就可反映全部运动 情况．
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• 易错点：（1）不能区分图象与轨迹；(2)不能正确理解
图象所反映的物理意义
易错点导析：对振动图象应注意以下两点：(1)简谐运
动的图象不是振动质点的轨迹，做简谐运动质点的轨
迹是往复运动的那一段．(2)简谐运动的周期性体现在 振动图象上是曲线的重复性，简谐运动的图象随时间 的增加将逐渐延伸，过去时刻的图形将永远不变．(3) 注意图象和实际简谐运动模型振动过程的结合，化抽
• 点拨 从图象中斜率判断速度、从加速度与位移 的关系判断加速度的方法比将图象与运动过程 对应起来进行判断更直接和简便．
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2．区分振动图象与运动轨迹
• 例2 如图9—3—2所示，一个弹簧振子在A、B 间做简谐运动，O为平衡位置．振子振动的周期 为T，规定向右为正方向，以某时刻作为计时起 点，经过T/4振子具有正方向的最大加速度，那 么图9—3—3中的四个振动图线中能正确反映振 动情况的图线是 ( )
象为具体．
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• 【例3】一质点做简谐运动的图象如图9—3—9 所示．根据图象下列说法正确的是( ) A．图象是从平衡位置计时的 B．t=2 s时，速度为-x方向，加速度最大 C．t=3 s时，速度为0，加速度为负 D．t=5 s时，速度为0，加速度为负
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• 解：A、D 点拨：t=0，x=0，A对．t=2 s时，
1 B．可能等于 周期 2 1 D．可能等于 周期 4
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• 解：B、C、D点拨：如图9—3—13所示，位移
相同的点都在与t轴的平行线与图线的交点
处．如a、b、c、d点，由图可以看出a→c为一
1 个周期，在这一个周期里b、c之间的时间大于 2 1 周期，a、b之间的时间小于 周期，当位移为 2 1 零时，(t2－t1)为 周期，则A错，B对．a、b之
大．故正确答案BC．
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• 知识点5 一切复杂的振动都是由简谐运动合成的
• 1.简谐运动是一种理想化的运动，是最基本、最
简单的振动．
• 2.一切复杂的振动都不是简谐运动，但它都可以
看作是由若干个振幅和频率不同的简谐运动合
成的．
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1．正确理解振动图象
• 例1 弹簧振子做简谐运动的图象如图9—3—1所示， 在t1至t2这段时间内 ( )