函数的极限(数学分析)

第二讲 函数极限
一、定义：
1、0
0lim ()0,0:(,)|()|x x f x A x U x f x A εδδε→=⇔∀>∃>∈⇒-<；
2、00lim ()0,0:0|()|x x f x A x x f x A εδδε→+
=⇔∀>∃><-<⇒-<；
3、00lim ()0,0:0|()|x x f x A x x f x A εδδε→-
=⇔∀>∃><-<⇒-<；
4、lim ()0,0:|()|x f x A M x M f x A εε→+∞
=⇔∀>∃>>⇒-<；
5、lim ()0,0:|()|x f x A M x M f x A εε→-∞
=⇔∀>∃><-⇒-<；
6、lim ()0,0:|||()|x f x A M x M f x A εε→∞
=⇔∀>∃>>⇒-<；
7、0
00lim ()(,)0,0:(,)
()((),|()|)
x x f x M x U x f x M f x M f x M δδ→=+∞-∞∞⇔∀>∃>∈⇒><->；
8、
00lim ()(,)0,0:0()((),|()|)
x x f x M x x f x M f x M f x M δδ
→+
=+∞-∞∞⇔∀>∃><-<⇒><->；
9、
00lim ()(,)0,0:0()((),|()|)
x x f x M x x f x M f x M f x M δδ
→-
=+∞-∞∞⇔∀>∃><-<⇒><->；
10、
lim ()(,)0,0:()((),|()|)
x f x N M x M
f x N f x N f x N →+∞
=+∞-∞∞⇔∀>∃>>⇒><->；
11、
lim ()(,)0,0:()((),|()|)
x f x N M x M
f x N f x N f x N →-∞
=+∞-∞∞⇔∀>∃><-⇒><->；
12、lim ()(,)0,0:||()((),|()|)
x f x N M x M
f x N f x N f x N →∞
=+∞-∞∞⇔∀>∃>>⇒><->。

13、0000()lim (),()lim ()x x x x f x f x f x f x →+
→-
+=-=。

14、0
00lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A →→+
→-
=⇔==
二、性质：
1、 唯一性：若0
lim (),lim ().x x x x f x A f x B A B →→==⇒=
2、 局部有界性：若0
lim ()x x f x →存在，则00,0:0|||()|.M x x f x M δδ∃>∃><-<⇒≤
3、 局部保号性：若0
lim ()0,x x f x A →=>则00:0||()0.x x f x δδ∃><-<⇒>
4、 保不等式性：若0
lim ()x x f x →与0
lim ()x x g x →存在且00,0||()()x x f x g x δδ∃><-<⇒≤，
则0
lim ()lim ().x x x x f x g x →→≤
5、 迫敛性：若00,0||()()()x x f x h x g x δδ∃><-<⇒≤≤，0
lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==，
则0
lim ().x x h x A →=
6、 四则运算法则：若0
lim ()x x f x A →=，0
lim ()x x g x B →=，则
（1）0
lim(()())x x f x g x A B →±=±；（2）0
lim(()())x x f x g x A B →⋅=⋅；（3）0
()lim
(0)()x x f x A
B g x B
→=≠。

7、复合函数的极限：若0
00lim (),(),lim ()x x u u f x u f x u g u A →→=≠=，则0
lim ()x x g
f x A →=。

三、极限存在条件：
1、 归结原则（Heine 定理）：
1） 0
lim ()x x f x →存在0lim ()n n n x x f x →∞
⇔∀→⇒存在。

2） 0lim ()x x f x →+
存在0lim ()n n n x x f x →∞
⇔∀↓⇒存在。

3） 0lim ()x x f x →-
存在0lim ()n n n x x f x →∞
⇔∀↑⇒存在。

4） lim ()x f x →+∞
存在lim ()n n n x f x →∞
⇔∀→+∞⇒存在。

5） lim ()x f x →-∞
存在lim ()n n n x f x →∞
⇔∀→-∞⇒存在。

6） lim ()x f x →∞
存在lim ()n n n x f x →∞
⇔∀→∞⇒存在。

2、 Cauchy 准则：
1） 0
lim ()x x f x →存在000,0:,(,)x x U x εδδ'''⇔∀>∃>∈就有|()()|f x f x ε'''-<；
2） 0lim ()x x f x →+
存在0
00,0:,(,)x x U x εδδ+'''⇔∀>∃>∈就有|()()|f x f x ε'''-<；
3） 0lim ()x x f x →-
存在0
00,0:,(,)x x U x εδδ-'''⇔∀>∃>∈就有|()()|f x f x ε'''-<；
4） lim ()x f x →+∞
存在0,0:,M x x M ε'''⇔∀>∃>>就有|()()|f x f x ε'''-<；
5） lim ()x f x →-∞
存在0,0:,M x x M ε'''⇔∀>∃><就有|()()|f x f x ε'''-<；
6） lim ()x f x →∞
存在0,0:||,||M x x M ε'''⇔∀>∃>>就有|()()|f x f x ε'''-<。

3、 单边极限的单调收敛原理：
1） 若f 在00()U x +上单调有界，则0lim ()x x f x →+
存在；且当f 在0
0()U x +上单调增时
00()
lim ()inf ()x x x U x f x f x +→+
∈=；当f 在0
0()U x +上单调减时0
00()
lim ()sup ().x x x U x f x f x +→+
∈=
2） 若f 在00()U x -上单调有界，则0lim ()x x f x →-
存在；且当f 在0
0()U x -上单调增时
00()
lim ()sup ()x x x U x f x f x -→-
∈=；当f 在0
0()U x -上单调减时0
00()
lim ()inf ().x x x U x f x f x -→-∈=
3） 若f 在x M >上单调有界，则lim ()x f x →+∞
存在；单调增时lim ()sup ()x x M
f x f x →+∞
>=；
单调减时lim ()inf ().x x M
f x f x →+∞
>=
4） 若f 在(0)x M M <->上单调有界，则lim ()x f x →+∞
存在；单调增时
lim ()inf ()x x M
f x f x →-∞
<-=；单调减时lim ()sup ().x x M
f x f x →-∞
<-=
4、上、下极限： 1）000
00
00(,)
(,)
lim ()lim
sup (),lim ()lim
inf
()x x x U x x x x U x f x f x f x f x δδδδ→→+→+∈→∈==分别称为f 在0x 的上极限
与下极限；
2）00
00,(,)
()lim ()lim ()lim
sup
(()())f x x x x x x U x x f x f x f x f x δδω→→+→'∈'=-=-称为f 在0x 的振幅。

3）0
lim ()x x f x →存在0
lim ()lim ()x x x x f x f x →→⇔=0()0f x ω⇔=
四、重要极限与无穷小量及无穷大量： 1、0sin lim
1x x x →=；若0lim ()0,()0x x f x f x →=≠，则0sin ()
lim 1()
x x f x f x →=。

2、1lim 1x
x e x →∞
⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
；()1
0lim 1x x x e →+=；若0lim ()0,()0x x f x f x →=≠，则
()
1()
lim 1()f x x f x e →+=。

证明：1）1lim 1n
n e n →∞
⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
若0,b a >>由1
111()()n n n n n n b a b a b ab a b a ++---=-++++，有
(1)1
[(1)]n n a
b n a nb +>+-和(2)1[(1)]n n b a n b na +>+-，
在(1)中取11
1,11
b a n n =+=++，得1
1
2
111111,1111n n
n n n n n n +++⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+>++>+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，在(1)中取1
1,12b a n
=+
=得
21142n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭。

所以1lim 1n n n →∞
⎛⎫+ ⎪⎝⎭存在。

令1()1,11n
f x n x n n ⎛
⎫=+≤<+ ⎪+⎝⎭，1
1()1,1n g x n x n n +⎛⎫=+≤<+ ⎪
⎝⎭
，则f 单调增,g 单调减, 由单调有界收敛定理及归结原则
得lim ()lim ()x x f x g x e →+∞→+∞
==.由于1()1(),1x
f x
g x x x ⎛⎫
<+<> ⎪⎝⎭
，由迫敛性
1lim 1x x e x →+∞⎛⎫
+= ⎪⎝⎭.又1
111lim 1lim 1111y x
x y e x y y -→-∞→+∞⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
.
3、无穷小量：0
lim ()0lim ()x x x x f x g x →→==
1）0
0()
()(())()lim
0()
x x f x f x o g x x x g x →=→⇔=； 2）0
0()(1)()lim ()0x x f x o x x f x →=→⇔=；
3）000()
()(())()|
|,()()f x f x O g x x x L x U x g x =→⇔≤∈； 4）0
0()
()
()()lim
1()
x x f x f x g x x x g x →→⇔=； 5）在0x x →时f 与g 是同阶无穷小00()
0,()()
f x K M x U x
g x ⇔<≤≤∈。

6）若
0()
()()f x g x x x →则，0
lim ()()lim ()()x x x x f x h x A f x g x A →→=⇒=；
0()()
lim
lim ()
()x x x x h x h x B B f x g x →→=⇒=。

4、无穷大量：在0x x →时f 为无穷大量当且仅当在0x x →时1
f
为无穷小量。

五、例题研究：
1、 设f 在00()U x -内单调增且存在0n x x -
→，lim ()n n f x A →∞
=，则0(0)f x A -=。

2、 设f 定义在(,)a +∞上，且在每一个有限区间(,)a b 内有界，若
lim [(1)()]x f x f x A →+∞
+-=，则()
lim
x f x A x
→+∞
=。

证明：1）A=0：00000,,(,1]x X x n x x X X ∀>=+∈+，
0001()1|
|[(()(1))()]n
k f x f x k f x k f x x x
==+-+-+∑ 2）0,A ≠令()(),(1)()(1)()0.F x f x Ax F x F x f x f x A =-+-=+--→
3、 设()f x 在点a 右导，()0f a ≠，求极限1()lim ()n
n f a n f a →∞⎛
⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
.（北大01） 解:令1
(()())
()n n f a f a n a f a +-=,则(),()()
n f a a n f a '→
→∞. ()()1()lim lim 1()n
n f a f a n n n f a a n e f a n '→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝⎭
. 4、 求极限：2
ln(1)
lim x x xe x x →∞-+
2
2222222(1())(())ln(1)2lim lim ()32lim
2
x
x x x x x x o x x o x xe x x x
x
x o x x →∞→∞→∞++--+-+=++
==（武大03）
5、
求2
limsin (n →∞。

（浙大01）
6、
sin lim lim 0
x x x →∞
→∞→∞===04） 7、 求极限2
0()lim
,0x x
x a x a a x →+->.（北大00）
解：ln(1/)22200020()(1/)11lim lim lim ln(1/)1lim x x x x x a x x x x a x a x a e x x x x x a x a
+→→→→+-+--==+==
8、 叙述定义lim ()x f x →-∞
=+∞；当0x a →-时，()f x 不以A 为极限. （北大00）
9、 当x →∞时，2
2x
t x e dt ⎰
与2
x e 为等价无穷大量. （华东师大01）
10、
求极限
220x →
解
原式3000sin sin lim
lim x x x x x x x x x
→→→+-=
2001cos 2lim
3x x x x →→-=0sin 12lim 63x x x →==.(浙师大05) 11、
求0
11
lim(
)ln(1)x x x
→-+.（华东师大00）
12、 求tan
2
1
lim(2)
x x x π→-.（浙大01） 13、
求)
1ln(1lim 0
-+
→x
x e x .(东南大学99)
14、
求)]1
1ln([lim 2
x
x x x +
-∞
→.(同济00) 15、
求+→0lim x )cos 11(1332
2x x
x x -++.(同济98) 16、
求2
10
lim sin ()
2
x x x →.(复旦97)
17、 求极限x
x x
x 1
)1ln(lim
1
0-+→.(复旦98)。