离散数学平时作业

第一章
1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。

请用A
和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。

解：
_
B A
2.试求：
(1)P(φ)
(2)P(P(φ))
(3)P(P(P(φ)))
(1){φ}
(2){φ，{φ}}
3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？
能被5整除的有40个，能被15整除的有13个，
∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有66-13+40-13=80个。

第三章
1.下列语句是命题吗？
(1)2是正数吗？
(2)x2+x+1=0。

(3)我要上学。

(4)明年2月1日下雨。

(5)如果股票涨了，那么我就赚钱。

解：
（１）不是
（２）不是
（３）不是
（４）是
（５）是
2.请用自然语言表达命题(p⌝→r)∨(q⌝→r)，其中p、q、r为如下命题：
p：你得流感了
q：你错过了最后的考试
r：这门课你通过了
解：
（1）如果你得流感了，你就不能通过这门课；或者你错过了最后的考试，你也不能通过这门课。

（2）如果你得流感了并且错过了最后的考试，那么你就不能通过这门课。

3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。

解：
主析取范式：(→p∧q)∨(→p∧→q)∨(p∧→q)∨(p∧q)
主合取范式不存在
4.给出p→(q→s),q,p∨⌝r⇒r→s的形式证明。

证明：
（１）p∨⌝r前提引入
（２）R附加前提引入
（３）P （１）（２）析取三段
（４）p→(q→s) 前提引入
（５）q→s （３）（４）假言推理
（６）Q 前提引入
（７）S （５）（６）假言推理
第四章
1.将∀x(C(x)∨∃y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同
班同学，个体域是学校全体学生的集合。

解：学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。

2.构造∀x(P(x)∨Q(x)),∀x(Q(x)→⌝R(x)),∀xR(x)⇒∀xP(x)的形式证明。

解：
①∀xR(x) 前提引入
②R(e) ①US规则
③∀x(Q(x)→⌝R(x)) 前提引入
④Q(e)→⌝R(e)③US规则
⑤⌝RQ (e) ②④析取三段论
⑥∀x(P(x)Q(x)) 前提引入
⑦P(e)∨Q(e) ⑥US规则
⑧P(e) ⑤⑦析取三段论
⑨∀x (P(x)) ⑧EG规则
第五章
1.设R、S、T都是X上的关系。

证明：R︒(S∩T)⊆(R︒S)∩(R︒T)，(R∩S)︒T⊆(R︒T)∩(S︒T)。

解：
对∀x,y∈X,
<x,y>∈ R︒(S∩T)
⇒∃u(<x,u>∈R∧<u,y>∈ S∩T)
⇒∃u(<x,u>∈R∧<u,y>∈S∧<u,y>∈T)
⇒∃u(<x,u>∈R∧<u,y>∈S∧<u,y>∈T∧<x,u>∈R)
⇒∃u(<x,u>∈R∧<u,y>∈S)∧∃u (<u,y>∈T∧<x,u>∈R)
⇒<x,y>∈( R︒ S) ∧<x,y>∈( R︒ T)
⇒<x,y>∈(R︒S)∩(R︒T)
故R︒(S∩T)⊆(R︒S)∩(R︒T)
对∀x,y∈X,
<x,y>∈ (R∩S)︒T
⇒∃u(<x,u>∈R∩S ∧<u,y>∈ T)
⇒∃u(<x,u>∈R∧< x,u >∈S∧<u,y>∈T)
⇒∃u(<x,u>∈R∧< x,u >∈S∧<u,y>∈T∧<u,y>∈T)
⇒∃u(<x,u>∈R∧<u,y>∈T)∧∃u (< x,u >∈S ∧<u,y>∈T)
⇒<x,y>∈( R︒ T) ∧<x,y>∈( S︒T)
⇒<x,y>∈(R︒T)∩(S︒T)
故(R∩S)︒T⊆(R︒T)∩(S︒T)
2.设X是所有人组成的集合，定义X上的关系R1和R2：aR1b当且仅当a比b高，aR2b
当且仅当a和b有共同的祖父母。

问关系R1和R2是否是自反、反自反、对称、反对称、传递的？
3.设R1和R2是X上的关系。

证明t(R1⋃R2)⊇t(R1)⋃t(R2)。

4.下列集合关于整除关系⎪构成偏序集。

请分别画出它们的哈斯图，判断它们是否是全
序集，给出它们的极大元、极小元、最大元、最小元。

（2）{2,4,8,16}；
（4）{2,3,4,5,9,10,80}。

第六章
1.f：X→Y，下列命题是否成立？
（1）f是一对一的当且仅当对任意a,b∈X，当f(a)=f(b)时，必有a=b；
（2）f是一对一的当且仅当对任意a,b∈X，当f(a)≠f(b)时，必有a≠b。

解：
（1）成立
（2）不成立，如f(x)=x2
2.下图展示了五个关系的关系图。

问：这些关系中，哪些是函数？哪些是一对一的函数？
哪些是到上的函数？哪些是一一对应？
解：
1是函数，一对一，但不是到上的；
2是函数，到上的，但不是一对一；
3是函数，一一对应；
4是函数；
5不是函数。

第七章
1. 6个学生：Alice 、Bob 、Carol 、Dean 、Santos 和tom ，其中，Alice 和Carol 不和，Dean
和Carol 不和，Santos 、Tom 和Alice 两两不和。

请给出表示这种情形的图模型。

2. 设简单无向图G=(V,E)，若δ(G)≥k(k ≥1)，则G 有长度为k 的基本通路。

解：证明：
我们假设存在k-1的基本通路，则存在k 个顶点，通路最后一个顶点与通路上顶点相连的度数至多为k-1。

因为δ(G)≥k(k ≥1)，所以该顶点必定与其他顶点相连，那么存在长度为K 的基本通路。

得证。

3. 一大学有5个专业委员会：物理、化学、数学、生物、计算机，6位院士：B 、C 、D 、
G 、S 、W 。

专业委员会由院士组成，物理委员会有院士：C 、S 和W ，化学委员会有院士：C 、D 和W ；数学委员会有院士：B 、C 、G 和S ；生物委员会有院士：B 和G ；计算机委员会有院士：D 和G 。

每个专业委员会每周开一小时例会，所有成员都不能缺席。

如果某院士同时是两个专业委员会的成员，那么这两个专业委员会的例会就不能安排Bob
Alice Carol Dean
Santos
tom
在同一个时间。

现要为这些例会安排时间，希望它们的时间尽可能集中。

问最少需要几个开会时间？请给出一种安排。

答：顶点表示各个专业委员会，边表示两委员会有共同委员。

画出如下无向图：
对该图着色，可得最少的开会时间为3个。

一种开会方案为
数学，生物和化学，物理和计算机。

第八章
1. 说明下图不是哈密顿图。

解：从图中删除所标记的6个顶点， 所得到的图由7个孤立点组成，有7个连通分量。

所以，该图不满足哈密顿图的必要条件，因而不是哈密顿图。

2. 证明连通图的割边一定是每棵生成树的边。

解:证明：删除割边后的图一定不连通，其中不存在生成树。

所以，每课生成树都包含割边
第九章 物理 化学
数学 生物 计算机 1 2
2 3
3
1. 股评家推荐了12个股票，一股民欲购买其中的3个。

问在下列各种条件下，分别有多
少种不同的投资方式？
（1）每个股票各投资3000元；
（2）3个股票分别投资5000元、3000元和 1000元。

解： (1) C123=220
(2) P123=1320
2. 16支互不同颜色的蜡笔平分给4个孩子，有多少种不同的分法？
解：
C(16,4) C(12,4) C(8,4) C(4,4)
3. 某学校有2504个计算机科学专业的学生，其中1876人选修了C 语言，999人选修了
Fortran 语言，345人选修了JA V A ，876人选修了C 语言和Fortran 语言，231人选修了Fortran 和JA V A ，290人选修了C 和JA V A ，189个学生同时选了C 、Fortran 和JAV A 。

问没有选这3门程序设计语言课中的任何一门的学生有多少个？
解：
A 表示选修了C 语言，
B 表示选修了Fortran 语言，
C 表示选修了JAVA
|A ⋃B ⋃C|=|A|+|B|+|C|-|A ⋂B|-|B ⋂C|-|C ⋂A|+|A ⋂B ⋂C|
=1876+999+345-876-231-290+189
=2012
则没有选这3门程序设计语言课中的任何一门的学生：
2504-2012=492
第十章
1. 求初值问题的通项公式：a n =10a n-1-25a n-2；a 0=-7，a 1=15。

解：
特征方程：r 2-10r+25=0，特征根：r 2=r 1=5
通解：a n =(α+βn)5n
由a 0=α50=α=-7和a 1= (-7+β)51 =15解得：α=-7，β=10
初值问题的解：a n =(-7+10n)2n
2. 计算广义二项式系数35-⎛⎫ ⎪⎝⎭和 1.23⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值。

解：
()()3331351215!5----⋯--+⎛⎫==- ⎪⎝⎭
1.2 1.2(1.21)...(1.231)0.0323!3--+⎛⎫== ⎪⎝⎭
3. 某人有大量1角、2角和3角的邮票（面值相同的邮票看成是相同的），现要在信封上
贴邮票，邮票排成一行且邮票的总值为r 角。

若不考虑贴邮票的次序，ar 表示贴邮票的方法数，求{ar}的生成函数。