主体参与式教学的三个案例
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案例3三垂线定理
教学时，我在引导学生复习了直线与平面垂直的定义及其判定定理、斜线的概念、斜线在平面上的射影的概念、斜线在平面内的射影的作法等知识后，依次提出了四个问题，让学生结合教（学）具的演示进行探索.
问题1根据直线与平面垂直的定义我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直.那么，平面内任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？
接着我又启发道：“问题是能不能在复数集内找到一个数，
其平方等于i，随即我在黑板上画了一个单位圆，很快就有
学生举手，指出第一象限A的位置是所求复数，并说出它
就是cos 45°+isin45°即z= i”.我再问“是否只有这
一个数呢？”学生的思维被带入一个新的境地。随后，我又
提出“-i能否开平方”，“1的三次方根有几个，并求之.”，“1开四次方呢？”等问题，……最后找到复数方根按正多边形顶点分布的规律，得出复数开方法则.整节课学生的思维处于一个接一个的问题探索之中.
为了提高学生主体参与教学过程的程度，数学教学应当把学生置身于问题的情景当中.问题的情景如何创设，是教师组织教学不可回避的首要问题.关于问题情景的创设，案例有三点是成功的：
1．问题情景创设的情感性组织和指导学生的学习活动，使他们真正参与到教学过程中来，是在启发式基础之上，又进一步的教学状态，而学生能否参与的关键是教学方法的情感化.问题情景的创设，应有利于激发学生的求知欲和思维的积极性；有利于学生面对适当的难度，经受锻炼，尝试成功.借此达到激发学生的学习兴趣，激发学生内在的学习动机，提高学生参与教学过程的积极性和“卷入度”的目的.案例1，通过寻找“新数”的认知冲突，使学生置于“愤”与“悱”的情境；案例2通过分步设置障碍，让学生尝试成功等做法，均体现了这一点.
课后，学生们评议道：老师开始提出的问题激发了我们的好奇心，我们都很想找到答案，但又一时没有充足的理由。按照老师的提示，终于找到了i的平方根，只可惜没有产生“新数”.随着一连串问题的解决，得到了复数开方的法则，我们有一种成功感.
案例2一类递推公式给出的数列的通项公式的求法
这节课旨在对高中代数课本的一道习题进行探讨。这道习题是：
已知数列{an}满足 ，其中c≠1，证明：这个数列的通项公式是
首先，我抛出一个实例：
“例1已知数列{an}的首项a1=1，且an+1=2an+1，求an.”
学生一时找不到好办法，我便提示可以先求出a2，a3，a4，…
根据计算结果，我要求学生猜测答案（第一次障碍），学生猜想：an=2n-1.
到此，我进行启发性设问：“等差数列和等比数列的通项公式以及有关性质我们熟悉，可否设法通过变形转化为等差数弄或等比数列，从而使问题得以解决呢？”（第二次障碍）
主体参与式教学的三个案例
素质教育的理念，倡导充分发挥学生的主体作用，实施主体参与式教学，即以学生的发展为本，以学生的学习活动为主线，让学生积极主动地参与到教学活动中去.为此，应当把学生置身于问题情景当中，通过分析、比较、归纳、综合等操作、思考过程，完成学生自己的建构，按照这样的观点，在教学实践中如何组织教学活动，以下三个案例会给我们一些启示.
随后学生开展了相互间的讨论与交流，找到了解决问题的“技巧”：在递推公式两边同时加上1.
这个问题解决后，我又抛出一个实例：
“例2数列{an}中，a1=60，an+1= an+60，求an.”（第三次障碍）
这时绝大部分学生仿照例1的解法，有的在等式an+1= an+60两端同时加上15，有的同时加上30，也有的同时加上50，……结果，大部分学生的亲身实践未获成功，此时，我出面解围：“你们在递推公式两边同时加上-75，再试一试”，大家顺利地完成了例2.题目虽然解决了，-75从何而来却还是悬念！如果递推公式中系数再变化，又该加上什么数呢？……借势，我把这个悬念引到前述课本习题的一般情形，提出“在递推式两边加上怎样的一个数y？能使得数列{an+y}构成一个等比数列，从而求得{an}的通项公式.”（第四次障碍）
学生认识到：平面内存在与平面的斜线垂直的直线.
问题3在平面上有几条直线和这条斜线垂直？
演示：调整课面上竹竿的位置，使其平行于三角板在平面内的直角边，然后平行移动.学生认识到：平面内存在无数条直线与平面的斜线垂直.
问题4平面内具备什么条件的直线，才能和平面的一条斜线垂直？
重新演示：调整教（学）具，将三角板的斜边当作平面的斜线，构成垂线、斜线和射影的立体模型，仍然用一根竹竿摆放在桌面的不同位置当作平面内不同的直线，观察、探索、猜想竹竿与斜线的垂直和竹竿与桌面内的某直线垂直间的因果关系.
这节课，学生发现而不是教师给出了三垂线定理.对四个问题的讨论、交流，学生被自然卷入其中主动探索，问题的序列既具有“云梯”的特点，又拴住了学生.特别是在问题4的探索过程中，学生成功地提出了猜想，发现了定理，展示了强烈的创新意识.
三个案例，均来自我个人的教学实践.结果表明：数学课堂教学能像这三个案例那样去组织，教学效果将非常好.其中的成功之处，值得反思.
案例1复数开方
上课伊始，我组织学生复习了复数的乘法，特别是乘法的几何意义后，提出问题：“我们研究-1开平方，出现了新数i，那么i开平方，是否会出现更新的数，比如j，k呢？”对这个问题学生非常活跃：有的学生估计可能，希望马上有“新数”出现；有的学生又似乎觉得不可能，但又说不出来.整个班级进入了“愤”“悱”的境地.
教（学）具演示：用一个三角板的一条直角边当平面（桌面）的斜线，一根竹竿摆放在桌面的不同的位置当作平面内的不同直线.
学生对此问题暂时没有很明确的答案.
问题2是否平面内的任意一条直线都不和这条平面的斜线垂直呢？
演示：将三角板的另一条直角边平放在桌面上，并确认这条直角边与平面的关系——在平面上，与斜线（还是问题1中的那条直角边）的关系——垂直.
……由an+1=can+d与an+1+y=c(an+y)的等价性，知y= ，至此，问题得到圆满解决，并建立了一个数学模型.
这节课，我既把过于抽象的问题具体化，分解学生学习的困难；又通过分步设置障碍，让学生面对适当的难度.此举激发了学生探索的兴趣，调动了学生内在的学习动机，达到了让学生参与教学过程的目的，问题的序列好像攀登的云梯，学生的学习拾级而上，收效甚佳.
教学时，我在引导学生复习了直线与平面垂直的定义及其判定定理、斜线的概念、斜线在平面上的射影的概念、斜线在平面内的射影的作法等知识后，依次提出了四个问题，让学生结合教（学）具的演示进行探索.
问题1根据直线与平面垂直的定义我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直.那么，平面内任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？
接着我又启发道：“问题是能不能在复数集内找到一个数，
其平方等于i，随即我在黑板上画了一个单位圆，很快就有
学生举手，指出第一象限A的位置是所求复数，并说出它
就是cos 45°+isin45°即z= i”.我再问“是否只有这
一个数呢？”学生的思维被带入一个新的境地。随后，我又
提出“-i能否开平方”，“1的三次方根有几个，并求之.”，“1开四次方呢？”等问题，……最后找到复数方根按正多边形顶点分布的规律，得出复数开方法则.整节课学生的思维处于一个接一个的问题探索之中.
为了提高学生主体参与教学过程的程度，数学教学应当把学生置身于问题的情景当中.问题的情景如何创设，是教师组织教学不可回避的首要问题.关于问题情景的创设，案例有三点是成功的：
1．问题情景创设的情感性组织和指导学生的学习活动，使他们真正参与到教学过程中来，是在启发式基础之上，又进一步的教学状态，而学生能否参与的关键是教学方法的情感化.问题情景的创设，应有利于激发学生的求知欲和思维的积极性；有利于学生面对适当的难度，经受锻炼，尝试成功.借此达到激发学生的学习兴趣，激发学生内在的学习动机，提高学生参与教学过程的积极性和“卷入度”的目的.案例1，通过寻找“新数”的认知冲突，使学生置于“愤”与“悱”的情境；案例2通过分步设置障碍，让学生尝试成功等做法，均体现了这一点.
课后，学生们评议道：老师开始提出的问题激发了我们的好奇心，我们都很想找到答案，但又一时没有充足的理由。按照老师的提示，终于找到了i的平方根，只可惜没有产生“新数”.随着一连串问题的解决，得到了复数开方的法则，我们有一种成功感.
案例2一类递推公式给出的数列的通项公式的求法
这节课旨在对高中代数课本的一道习题进行探讨。这道习题是：
已知数列{an}满足 ，其中c≠1，证明：这个数列的通项公式是
首先，我抛出一个实例：
“例1已知数列{an}的首项a1=1，且an+1=2an+1，求an.”
学生一时找不到好办法，我便提示可以先求出a2，a3，a4，…
根据计算结果，我要求学生猜测答案（第一次障碍），学生猜想：an=2n-1.
到此，我进行启发性设问：“等差数列和等比数列的通项公式以及有关性质我们熟悉，可否设法通过变形转化为等差数弄或等比数列，从而使问题得以解决呢？”（第二次障碍）
主体参与式教学的三个案例
素质教育的理念，倡导充分发挥学生的主体作用，实施主体参与式教学，即以学生的发展为本，以学生的学习活动为主线，让学生积极主动地参与到教学活动中去.为此，应当把学生置身于问题情景当中，通过分析、比较、归纳、综合等操作、思考过程，完成学生自己的建构，按照这样的观点，在教学实践中如何组织教学活动，以下三个案例会给我们一些启示.
随后学生开展了相互间的讨论与交流，找到了解决问题的“技巧”：在递推公式两边同时加上1.
这个问题解决后，我又抛出一个实例：
“例2数列{an}中，a1=60，an+1= an+60，求an.”（第三次障碍）
这时绝大部分学生仿照例1的解法，有的在等式an+1= an+60两端同时加上15，有的同时加上30，也有的同时加上50，……结果，大部分学生的亲身实践未获成功，此时，我出面解围：“你们在递推公式两边同时加上-75，再试一试”，大家顺利地完成了例2.题目虽然解决了，-75从何而来却还是悬念！如果递推公式中系数再变化，又该加上什么数呢？……借势，我把这个悬念引到前述课本习题的一般情形，提出“在递推式两边加上怎样的一个数y？能使得数列{an+y}构成一个等比数列，从而求得{an}的通项公式.”（第四次障碍）
学生认识到：平面内存在与平面的斜线垂直的直线.
问题3在平面上有几条直线和这条斜线垂直？
演示：调整课面上竹竿的位置，使其平行于三角板在平面内的直角边，然后平行移动.学生认识到：平面内存在无数条直线与平面的斜线垂直.
问题4平面内具备什么条件的直线，才能和平面的一条斜线垂直？
重新演示：调整教（学）具，将三角板的斜边当作平面的斜线，构成垂线、斜线和射影的立体模型，仍然用一根竹竿摆放在桌面的不同位置当作平面内不同的直线，观察、探索、猜想竹竿与斜线的垂直和竹竿与桌面内的某直线垂直间的因果关系.
这节课，学生发现而不是教师给出了三垂线定理.对四个问题的讨论、交流，学生被自然卷入其中主动探索，问题的序列既具有“云梯”的特点，又拴住了学生.特别是在问题4的探索过程中，学生成功地提出了猜想，发现了定理，展示了强烈的创新意识.
三个案例，均来自我个人的教学实践.结果表明：数学课堂教学能像这三个案例那样去组织，教学效果将非常好.其中的成功之处，值得反思.
案例1复数开方
上课伊始，我组织学生复习了复数的乘法，特别是乘法的几何意义后，提出问题：“我们研究-1开平方，出现了新数i，那么i开平方，是否会出现更新的数，比如j，k呢？”对这个问题学生非常活跃：有的学生估计可能，希望马上有“新数”出现；有的学生又似乎觉得不可能，但又说不出来.整个班级进入了“愤”“悱”的境地.
教（学）具演示：用一个三角板的一条直角边当平面（桌面）的斜线，一根竹竿摆放在桌面的不同的位置当作平面内的不同直线.
学生对此问题暂时没有很明确的答案.
问题2是否平面内的任意一条直线都不和这条平面的斜线垂直呢？
演示：将三角板的另一条直角边平放在桌面上，并确认这条直角边与平面的关系——在平面上，与斜线（还是问题1中的那条直角边）的关系——垂直.
……由an+1=can+d与an+1+y=c(an+y)的等价性，知y= ，至此，问题得到圆满解决，并建立了一个数学模型.
这节课，我既把过于抽象的问题具体化，分解学生学习的困难；又通过分步设置障碍，让学生面对适当的难度.此举激发了学生探索的兴趣，调动了学生内在的学习动机，达到了让学生参与教学过程的目的，问题的序列好像攀登的云梯，学生的学习拾级而上，收效甚佳.