高中数学 第三章 概率 3.3 几何概型专项讲解与训练(含

3.3 几何概型

一．理论基础 1．几何概型

设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．在几何概型中，事件A 的概率计算公式

P (A )＝d 的测度D 的测度

.

3．几何概型试验的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．

二.通法提炼

题型一 与长度、角度有关的几何概型

例1 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，求cos π2x 的值介于0到1

2

之间的概率．

(2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．

cos π2x 的值介于0到1

2之间的概率为232＝13

.

(1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________．

(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________． 【答案】 (1)35 (2)12

【解析】 (1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝3

5

.

(2)记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 中点)，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得： P (A )＝12×22＝1

2

.

题型二 与面积、体积有关的几何概型

例2 (1)设不等式组⎩

⎪⎨

⎪⎧

0≤x ≤2，

0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的

距离大于2的概率是________．

(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．

思维点拨 求随机点所在区域与所有区域的面积或体积比．

【答案】 (1)4－π4 (2)2

3

(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2

＋2ax －b 2

＋π2

有零

点的概率为________．

(2)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 【答案】 (1)1－π4 (2)1－π

12

【解析】 (1)由函数f (x )＝x 2

＋2ax －b 2

＋π2

有零点， 可得Δ＝(2a )2

－4(－b 2

＋π2

)≥0，整理得a 2

＋b 2

≥π2

， 如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，

试验的全部结果构成的区域为

Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π)2

＝4π2

.

事件A 表示函数f (x )有零点，

所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2

＋b 2

≥π2

}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2

－π3

，

故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2

＝1－π

4

. (2)V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13

＝23

π，

V 半球V 正＝2π8×3＝π

12

， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π

12.

题型三 生活中的几何概型问题

例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率． 思维点拨 当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．

(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．

某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)

【答案】9 32

三．归纳总结

1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个．

2．转化思想的应用

对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．

(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；

(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；

(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．

四、巩固练习

1．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．

【答案】3 5