第3章 随机变量的数字特征

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3.1 离散型随机变量的数学期望
2. 几种常用分布的数学期望
(1) 两点分布 X ~ (0 1)
X
0
1
p
q
p
E(X ) 0 q 1 p p.
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3.1 离散型随机变量的数学期望
(2) 二项分布
P( X k) Cnk pk qnk , (k 0,1, 2, , n),
(1) 均匀分布
p(x)
b
1
a
,
a
x
b,
0, 其他.
b
E(X ) xp(x)d x
x
dx
a ba
1 x2 b 1 b2 a2 1 (b a). ba 2 a 2 ba 2
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3.2 连续型随机变量的数学期望
(2) 指数分布
ex x 0,
p(x) 0,
e 2
2
1
x2
e 2 d x.
2
0
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3.3 期望的简单性质
例3 根据统计资料, 一位40岁的健康人在5年内仍然活着的
概率为 p(0 p 1, p为已知),在5年内死亡的概率为1-p, 保险
公司开办人寿保险,参加者需交保险费a元(a为已知), 如果5 年内死亡, 公司赔偿b元(b>a). (1) 如何确定b, 才能使公司可期望获益？ (2) 如果有m人参加公司保险,公司可期望收益是多少？ 解
X a ab p p 1 p
E(X ) ap (a b)(1 p) a b(1 p).
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3.3 期望的简单性质
E(X ) ap (a b)(1 p) a b(1 p) 0.
a b(1 p) 0,
b a, ab a .
1 p
b a . 1 p
(2)如果有m人参加保险, 公司可望收益为
[x E( X )]2 p(x)dx
D(X ) [x E( X )]2 p(x)dx.
方差 D(X) 的算术平方根
D(X ) 叫做随机变量 X 的
标准差或均方差.
D( X ) E[ X E( X )]2.
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3.4 方差及其简单性质
D( X ) E[ X E( X )]2. D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2. 方差的简化公式
P( X k) k e , (k 0,1, 2, ).
k!
P( X 0) 0e e 0.135.
0!
ln 0.135 2. E(X ) 2.
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3.2 连续型随机变量的数学期望
1. 连续型随机变量数学期望的概念 2. 几种常用分布的数学期望
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1. 离散型随机变量数学期望的概念
例1 求2, 3, 2, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 2 这10个数的平均值.
解 E(X):10个数的平均.
E(X ) 2 3 2 4 2 3 4 5 3 2 3. 10
E(X ) 2 4 3 3 4 2 5 1 3. 10 10 10 10
X是离散型随机变量:
P( X xk ) pk (k 1, 2,3, ),
E f ( X ) f (xk ) pk .
k
X是连续型随机变量, X的密度为 p(x) :
E f (X )
f (x) p(x)dx.
随机变量函数的均值公式
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3.3 期望的简单性质
期望的性质:
(1) E(c) c. (2) E(kX ) kE(X ). (3) E(X b) E(X ) b. (4) E(kX b) kE(X ) b.
例4 某种子公司的某类种子不发芽率为0.2, 今购得该类种子 1000粒, 求这批种子的平均发芽粒数. 解 X: 这批种子的发芽数.
X ~ B(1000, 0.8). E(X ) np 10000.8 800.
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3.1 离散型随机变量的数学期望
例5 在一部篇幅很大的书籍中, 发现只有13.5%的页数没有印 刷错误. 如果我们假定每页的错字个数是服从泊松分布的随 变量, 求每页的平均错字个数. 解 X: 每页的错字个数.
第3章 随机变量的数字特征
3.1 离散型随机变量的数学期望 3.2 连续型随机变量的数学期望 3.3 期望的简单性质 3.4 方差及其简单性质 3.5 二维随机变量的数字特征
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3.1 离散型随机变量的数学期望
1. 离散型随机变量数学期望的概念 2. 几种常用分布的数学期望
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3.1 离散型随机变量的数学期望
X 2 3 5.4 7.1 9 p 0.05 0.1 0.15 0.5 0.2
E(X ) 20.05 30.1 5.40.15 7.10.5 9 0.2 6.56.
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3.1 离散型随机变量的数学期望
例3 甲、乙两数控机床在生产同一标准件时所出的次品数 分别用X,Y表示,根据长期的统计资料分析知,它们的分布列
E(X )
n
kCnk
k 0
pk qnk
n k 1
k n! pkqnk k!(n k)!
n
np (n 1)!
p q k 1 (n1)(k 1)
k1 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
令r k 1 n1
np
(n 1)!
p qr (n1)r
r0 r![(n 1) r]!
np(q p)n1 np.
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3.3 期望的简单性质
例1 已知随机变量X的概率分布列为
X 3 1 0 2 3 p 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25
求X2的期望 E(X2).
解 E[ f ( X )] f (xk ) pk .
k
E( X 2 ) xk2 pk k (3)2 0.3 (1)2 0.1 02 0.2 22 0.15 32 0.25
x 0,
( 0).
E(X )
xp(x)d x
xex d x
0
令t x 1 tet dt
0
1
tet
0
0
et
dt
1
.
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3.2 连续型随机变量的数学期望
(3) 正态分布
p(x)
E(X )
1
e
1 2
2
(
x
)2
( x , 0).
2
1
xe d x
例1 已知随机变量 X 的概率密度为
p(x)
e
1 1
e1 x
,
0
x
1,
0,
其他.
求 X 的期望 E(X).
解
e
E(X ) xp(x)d x
1 xex d x
e 1 0
e
[ xe x
1
1ex d x] e 2 .
e 1
00
e 1
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3.2 连续型随机变量的数学期望
2. 几种常用分布的数学期望
D(
X1
)
(2
3)2
4 10
(3
3)2
3 10
(4
3)2
2 10
(5
3)2
1 10
.
4
D( X1) [(xk E( X )]2 fk . k 1
4
P( X xk ) pk : D( X1) [(xk E( X )]2 pk . k 1
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3.4 方差及其简单性质
定义1 设离散型随机变量X的概率分布为
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3.1 离散型随机变量的数学期望
(3) 泊松分布
P( X k) k e , (k 0,1, 2,
k!
k1 e .
k1 (k 1)!
; 0),
E( X ) k k e e k1
k0 k!
k1 (k 1)!
e e .
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3.1 离散型随机变量的数学期望
平均值之差的平方和的平均值:
(2) 2, 3, 3, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 3, 3, 3.
D(
X1
)
1 10
[(2
3)2
(3
3)2
(2
3)2
(4
3)2
(2 3)2 (3 3)2 (4 3)2 (5 3)2 (3 3)2 (2 3)2 ] 1.
D(
X
2
)
1 12
[(2
k 1
绝对收敛,则称该级数为随机变量X的数学期望(或均值).
E( X ) xk pk . k 1
n
E( X ) xk pk . k 1
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3.1 离散型随机变量的数学期望
例2 已知一批产品经检验分为优等品,一、二、三等品及等 外品5种, 其构成比例依次是0.2, 0.5, 0.15, 0.1, 0.05. 按优质 优价的市场规律, 每类产品的售价分别为9元、7.1元、5.4元、 3元、2元. 试求这批产品的平均售价. 解
5.65.
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3.3 期望的简单性质
例2 已知X ~ N (0,1), 求E( X 2 ).
解 E[ f (X )] f (x) p(x)dx.
E( X 2 ) x2 p(x) d x x2
1 x2
x d
e
2
2
1
x2
e 2 dx
2
1
x
1
x2
22 4 32 3 42 2 52 1 .
10
10
10
10
4
E( X 2 ) xk2 fk . k 1
4
P( X 2 xk2 ) pk : E( X 2 ) xk2 pk . k 1
4
E( X 3 ) xk3 pk . k 1
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3.3 期望的简单性质
3)2
(3
3)2
(3
3)2
(3
3)2
(4 3)2 (3 3)2 (2 3)2 (3 3)2 (4 3)2
(3 3)2 (3 3)2 (3 3)2 ] 1 . 3
D( X 2 ) D( X1).
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3.4 方差及其简单性质
(1) 2, 3, 2, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 2;
3.2 连续型随机变量的数学期望
1. 连续型随机变量数学期望的概念
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 p(x), 如果积分
|
x
|
p( x)dx存在, 则称积分
xp(x)dx 为随机变量X的
数学期望(或均值), 简称期望.
E(X ) xp(x)dx.
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3.2 连续型随机变量的数学期望
E(mX ) mE(X ) ma mb(1 p).
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3.4 方差及其简单性质
1. 方差的概念 2. 常用分布的方差 3. 方差的简单性质 *4. 矩 (略)
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3.4 方差及其简单性质
1. 方差的概念
(1) 2, 3, 2, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 2;
1 ( x )2 2 2
2
令x t
1
1t2
( t )e 2 d t
2
1 t2
te 2 d t
1
1 t2
e 2 d t, .
2
2
0
1 本节 上页 下页
3.2 连续型随机变量的数学期望
例2 若某种电子元器件的寿命X(小时)服从参数为 的指数分布, 求该种元器件的平均寿命.
xk 2 3 4 5
fk
4 10
3 10
2 10
1 10
4
E( X ) xk fk . k 1
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3.1 离散型随机变量的数学期望
定义 设离散型随机变量X的概率分布为
P( X xk ) pk (k 1, 2,3, ),
如果级数
xk pk x1 p1 x2 p2 xk pk
1
1000
解 E( X ) 1 1000.
即该元器件的平均寿命为1000小时.
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3.3 期望的简单性质
百度文库
求出2, 3, 2, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 2的平方的平均值 E(X2).
E( X 2 ) 22 32 22 42 22 32 42 52 32 22 10
其中k、b、c都是常数.
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3.3 期望的简单性质
(4) E(kX b) kE(X ) b.
证 E[ f (X )] f (x) p(x)dx. E(kX b) (kx b) p(x)d x
k xp(x)d x b p(x)d x
kE(X ) b..
如下:
X0 1 2 3
Y0 1 2 3
p 0.5 0.2 0.2 0.1 p 0.4 0.3 0.2 0.1
问哪一台机床的质量好些？
解 E(X ) 00.5 10.2 20.2 30.1 0.9, E(Y ) 00.4 10.3 20.2 30.1 1.0,
E(X ) E(Y ).
P( X xk ) pk (k 1, 2,3, ),
则和式 [xk E( X )]2 pk称为X的方差. k 1 D(X ) [xk E(X )]2 pk . k 1
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3.4 方差及其简单性质
定义2 设连续型随机变量X的密度是 p(x), 则称广义积分
称为X的方差.