专题10 解分式方程及含参数问题(解析版)-2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习北师大版

2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（北师大版）
专题10 解分式方程及含参数问题
【典型例题】
1．解分式方程
（1）
2121x x x x -+=-+ （2）2231111
x x x x +=+-- 【答案】（1）3x =-；（2）32x =-． 【分析】
（1）先找出方程的最简公分母，方程的两边都乘以各自的最简公分母，化分式方程为整式方程，求解验根即可；
（2）先找出方程的最简公分母，方程的两边都乘以各自的最简公分母，化分式方程为整式方程，求解验根即可．
【详解】
解：（1）2121x x x x
-+=-+， 去分母得：()()2112x x x x -+++=-，
解得：3x =-，
当3x =-时2=9-3=60x x +≠，
∴3x =-是分式方程的解．
（2）2231111
x x x x +=+--， 两边都乘以(1)(1)x x +-，得：2(1)31x x x --=+， 解得32x =-
， 当-32x =-时，335(1)(1)0224
-+--=≠， 所以32
x =-是原方程的根， 【点睛】
本题考查了分式方程的解法．题目相对简单．求解本题需要注意：（1）分式方程需检验；（2）去分母时勿漏乘不含分母的项．
【专题训练】
一、选择题
1．分式方程1
222x
x x +=--的解是（ ）
A ．1x =-
B ．0x =
C ．1x =
D ．2x = 【答案】C
【分析】
按照解分式方程的步骤解出方程即可，注意验根．
【详解】 解：1
222x
x x +=--
等式两边同时乘以x -2得：2(2)1x x +-=-，
去括号得：241x x +-=-，
移项、合并同类项得：33x =，
系数化为“1”得：1x =．
经检验1x =是原分式方程的根．
故选C ．
【点睛】
本题考查解分式方程．掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．
2．若关于x 的方程2
111ax
x x =+--无解，则a 的值是（ ）
A ．1
B ．3
C ．1-或2
D ．1或2
【答案】D
【分析】
先转化为整式方程，再由分式方程无解，进而可以求得a 的值．
【详解】 解：2
111ax x x =+--，
去分母得，ax=2+x-1，
整理得，（a-1）x=1，
当x=1时，分式方程无解，
则a-1=1，
解得，a=2；
当整式方程无解时，a=1，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查分式方程的解，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
3．已知关于x的分式方程
3
2
11
m
x x
+=
--
的解为正数，则正整数m可以取（）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】
先去分母，将原方程转化为整式方程，求得方程的解，再根据解为正数及m为正整数求得答案即可．【详解】
解：方程
3
2
11
m
x x
+=
--
两边同时乘以（x-1）得：
2(1)3 m x
+-=
∴
5
2
m x
-=
∴解为正数，
∴5
0 2
m
-
>
∴m＜5，
又∴m为正整数，
∴m=1或m=2或m=3或m=4．
∴当
5
=1
2
m
x
-
=时，x-1=0，
∴m=3不符合题意．
∴正整数m的值为1，2或4．故选：C．
【点睛】
本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
4．已知关于x的分式方程13
10
22
ax
x x
-
+-=
--
有整数解，且关于x的不等式组
()
431
1
2
2
x x
x
x a
⎧≥-
⎪
⎨-
-<
⎪⎩
有且只有3
个负整数解，则符合条件的所有整数a的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】
表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有3个整数解，确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值即可．
【详解】
解：分式方程去分母得：1-ax-3-2+x=0，即（1-a）x=4，
由分式方程有整数解，得到1-a≠0，
解得：x=
4
1a -
，
不等式组整理得：
3
21
3
x
a
x
≥-
⎧
⎪
-
⎨
<
⎪⎩
，即
2a1
3x
3
-
-≤<，
由不等式组有且只有3个整数解，得到
21
10
3
a-
-<≤，
解得：-1＜a≤1
2
，
由x为整数，且
4
2
1a
≠
-
，得到1-a=±1，-2，±4，
解得：a=0，
则符合条件的所有整数a的个数为1，
故选：A．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题
5．分式方程
113x x x -=+的解为______． 【答案】34
-
【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】 解：113x x x
-=+ 去分母得，2(3)(3)x x x x -+=+ 解得，34
x =-
经检验，34
x =-是分式方程的解， 故答案为：34-． 【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程，解分式方程一定注意要验根．
6．若关于x 的分式方程
11322kx x x -+=--有增根，则k 的值为_______． 【答案】1
【分析】
根据增根得出x =2,再利用分式方程得出含有k 的一元一次方程，解出方程即可．
【详解】
解：∴关于x 的分式方程
11322kx x x -+=--有增根 ∴x =2 ∴11322kx x x
-+=-- 11322
kx x x -+=--- ()11232
22kx x x x x --+=---- 1+3x-6122
kx x x -=---
则有：351x kx --=-
将x =2代入得6251k --=-
解得k =1
故答案为： 1
【点睛】
本题考查分式方程的增根．理解增根的含义是重点．掌握分式方程的解法是关键．
7．已知关于x 的分式方程
3211m x x +=---的解为非负数，则正整数m 的所有个数为_______个． 【答案】4
【分析】
求出分式方程的解，根据题意建立不等式，求得解集，后确定正整数解得个数，注意方程的增根时对应的m 值，要删除．
【详解】 ∴3211m x x
+=---， ∴m +2（x -1）=3，
解得x =
52m ， ∴分式方程3211m x x
+=---的解为非负数， ∴52m ≥0， 解得m ≤5，
∴正整数m 的值为1,2,3,4,5，
∴x =1是分式方程的增根，
∴m =3，要扣除，
∴正整数m 的所有个数为4个，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，解不等式，求不等式的正整数解，分式方程的增根，熟练解分式方程，根据解的非负数性质构造不等式并求其特殊解是解题的关键，注意增根．
8．关于x 的分式方程211111
k k x x x --=--+有增根，则k =________．
【答案】3或
13
【分析】 解分式方程，先将原方程变形为整式方程，然后根据方程有增根的概念可知，1x =或1x =-是原方程的增根，代入求值即可求解．
【详解】
解：方程左右两边同时乘以(1)(1)x x -+得：1(1)(1)k x k x --+=-
∴原方程有增根
∴1x =或1x =-，
当1x =时，
1(11)(11)k k --+=-
3k ∴=
当1x =-时，
1(11)(11)k k ---+=--
k ∴=13
故答案为：3或
13
． 【点睛】 此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念准确计算是解题关键．
三、解答题
9．解分式方程：32311
x x x -=+--． 【答案】原方程无解
【分析】
按照解分式方程的一般步骤解题即可．
【详解】
解：方程两边同时乘以最简公分母（x -1），得
3-x =2+3（x -1）．
去括号，得
3-x =2+3x -3．
移项，得
-x -3x =2-3-3．
合并同类项，得
-4x =-4．
系数化为1，得
x =1．
检验：把x =1代入最简公分母得，x -1=0．
∴原方程无解．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法的知识点．解分式方程不要忽略“检验”这一重要步骤．
10．解方程：12133x x x
-+=--． 【答案】1x =
【分析】
先去分母，把原方程化为整式方程，再解整式方程，并检验，即可得到答案．
【详解】 解：
12133x x x
-+=-- 121,33x x x --∴+=-- 去分母得：132,x x -+-=-
22,x ∴=
1.x ∴=
经检验：1x =是原方程的根，
所以原方程的解是： 1.x =
【点睛】
本题考查的是分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意检验．
11．解分式方程：
3213x x x --=-． 【答案】95x =
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
去分母得：()()2332x x x x ---=，
整理得：226932x x x x x -+-+=， 解得：95
x =， 检验：把95x =代入得：9654(3)05525
x x ⎛⎫-=⨯-=-≠ ⎪⎝⎭， 则95
x =是分式方程的解． 【点睛】
本题考查了解分式方程，解分式方程要注意的是：一定要检验．
12．解分式方程：
24111
x x x -=-- 【答案】3x =
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：方程两边同乘（x +1）(x -1)，
得()()()1114x x x x +-+-=，
解得3x =，
检验：当3x =时，()()110x x +-≠，
∴原分式方程的解是3x =．
【点睛】
本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．解方程：21122x x x
-=-- 【答案】3x =-
【分析】
先去分母，然后再进行求解即可．
【详解】 解：21122x x x
-=-- 212x x +=-，
解得：3x =-，
经检验3x =-是方程的解，
∴原方程的解为3x =-．
【点睛】
本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
14．解分式方程：
132122x x x x
--=+++． 【答案】3x =．
【分析】
先去分母转化成整式方程，解整式方程求出解，再检验即可求得答案．
【详解】 132122x x x x
--=+++ 去分母得：132(2)x x x -=-++，
移项、整理得：26x =，
解得：3x =，
检验：3x =时，25x +=≠0，
∴原分式方程的解为3x =．
【点睛】
本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤、正确运算是解题的关键，注意，解分式方程要检验，避免出现增根．
15．解方程：24221933
x x x x =+---+．
【答案】x ＝1
【分析】
因式分解29(3)(3)x x x -=+-，确定最简公分母，化分式方程为整式方程求解
【详解】
解：方程两边同乘以（x +3）（x ﹣3）得：
4x ＝2x ﹣9+2（x +3）﹣2（x ﹣3），
整理得：2x ﹣4x +3＝0，
解得：1x ＝1，2x ＝3，
经检验：2x ＝3是原方程的增根，
所以，原方程的解为x ＝1．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，通过因式分解确定最简公分母，化成整式方程求解是解题的关键，注意验根是防止出错的根本．
16．解方程：12122
x x x +=++． 【答案】3x =
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：去分母，得
122++=x x ．
解得3x =．
经检验，3x =是原方程的解．
所以原方程的解是3x =．
【点睛】
本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验． 17．解方程：23193
x x x +=-- 【答案】4x =-
【分析】
根据解分式方程的基本步骤解方程即可．
【详解】 解：23193
x x x +=-- 方程两边同时乘(3)(3)x x -+可得：3+(3)x x +=(3)(3)x x -+，
去括号可得：22339x x x ++=-，
移项合并同类项可得：312x =-，
解得：4x =-，
将4x =-代入(3)(3)x x -+可得：(3)(3)x x -+=7≠0，
∴原方程的解为：4x =-
【点睛】
本题主要考查分式方程，注意解方程最后要检验，防止无解的情况出现．
18．解分式方程：2642
x x x x ++--＝1． 【答案】该方程无解．
【分析】
去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程并验证根即可．
【详解】
解：去分母两边同乘以(2)(2)x x +-得
26(2)4x x x x +-+=-，
去括号得：22624x x x x +--=-，
移项合并得：2x -=-，
解得2x =，
经检验2x =是该方程的增根，即该方程无解．
【点睛】
本题考查解分式方程．解分式方程的关键思想就是将分式方程化为整式方程，注意解分式方程要验根． 19．解分式方程：311(1)(2)
x x x x -=--+．
【答案】无解
【分析】
去分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，检验根即可．
【详解】
解：去分母，两边同时乘以(1)(2)x x -+得
(2)(1)(2)3x x x x +--+=，
即222(2)3x x x x +-+-=
即22223x x x x +--+=
即1x =．
检验：当x =1时，（x -1）(x +2)=0
∴x =1不是原方程的解．
∴原方程无解．
【点睛】
本题考查解分式否方程．注意解分式方程一定要验根．
20．解下列方程：
（1） 522112x x x +=--； （2）28124
x x x -=--. 【答案】（1）x =-1；（2）无解
【分析】
（1）两边都乘以（2x -1）转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）两边都乘以（x +2）（x -2）转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解
【详解】
解：（1）去分母得：x -5=4x -2，
移项得：x -4x =-2+5，
合并得：-3x =3，
系数化为1得：x =-1，
检验：把x =-1代入得： 2x -1=-3≠0，
则x =-1是分式方程的解；
（2）去分母得：x （x +2）-（x +2）（x -2）=8，
去括号得：x 2+2x - x 2+4=8，
移项合并得： 2x =4，
解得：x =2，
检验：把x =2代入得：x 2-4=0，
则分式方程无解．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．已知关于x 的分式方程
311(1)(2)
x k x x x -+=++-的解为非负数，求k 的取值范围． 【答案】8k ≥-且0k ≠．
【分析】
先解分式方程，再建立不等式求解即可．
【详解】 解：解分式方程，得84
k x +=
， 根据题意，得：804k +≥且881,244k k ++≠-≠， 解得：8k ≥-且0k ≠．
【点睛】
本题考查了分式方程与不等式，熟练掌握分式方程及不等式的解法是解题的关键，注意不要遗漏条件：最简公分母不能为0．
22．若关于x 的一元一次不等式组11(42)423122
x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩的解集是x a ≤，求关于y 的分式方程
24111y a y y y
---=--的非负整数解． 【答案】0y =，2，3．
【分析】
解不等式组中的每个不等式后通过解集是x a ≤，可以确定a 的取值范围为a <5；再解关于y 的分式方程，可得a =2y -3，从而转化为关于y 的不等式，再结合y 的具体取值，就可以求得符合条件的y 的值了．
【详解】
解：
()
11
42
42
31
2
2
x a
x
x
⎧
--≤
⎪⎪
⎨
-
⎪<+
⎪⎩
①
②
不等式①的解集是x a
≤；不等式②的解集是x<5．∴不等式组的解集为x a
≤．∴a<5．
原分式方程可化为2y4
1
11
a y
y y
--
-=
--
．
两边都乘以（y-1）得，（2y-a）-（4-y）=y-1．
用含y的式子表示a，得，
a=2y-3．
∴2y-3<5．
解得，y<4．
∴y取非负整数且y≠1，
∴y=0，2，3．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解集、分式方程的特殊解等知识点．确定a的取值范围是解题的基础；将分式方程转化为用含y的式子表示a是关键．。