2018-2019学年安徽省淮南市寿县第一中学高二下学期期末数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年安徽省淮南市寿县第一中学高二下学期期末
数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合2{|60}A x x x =+-<,集合1{|21}x B x -=≥,则A B ⋂= A ．[)3,2 B ．(]3,1- C ．()1,2 D ．[
)1,2 【答案】D
【解析】()3,2A =-，[
)1,B =+∞，则[)1,2A B ⋂=，选D. 2．设a ＝log 54，b ＝（log 53）2，c ＝log 45，则（ ） A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜a ＜c
【答案】D 【解析】【详解】 ∵a ＝log 54＜log 55＝1， b ＝（log 53）2＜（log 55）2＝1， c ＝log 45＞log 44＝1， 所以c 最大
单调增，所以
又因为
所以b<a 所以b<a<c. 故选D ．
3．设lg 2lg5a =+，e (0)x b x =<，则a 与b 大小关系为( ) A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．a b ≤
【答案】A
【解析】0lg2lg51
1x
a b e e a b ，=+===∴,选A.
4．函数2x
y -=
的定义域为（ ）
A ．(],2-∞
B ．11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭U
C ．11,,222⎛
⎫⎛⎤-∞-- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦
U D ．(],1-∞
【答案】B
【解析】利用二次根式的性质和分式的分母不为零求出函数的定义域即可. 【详解】 由题意知，
2
202320
x x x -≥⎧⎨--≠⎩，解得2x <且1
2x ≠-， 所以原函数的定义域为11,,222⎛
⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U . 故选：B 【点睛】
本题考查函数定义域的求解；考查二次根式的性质和分式的分母不为零；考查运算求解能力；属于基础题.
5．已知5
,6()(2),6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩
，则(3)f 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】A
【解析】根据自变量范围代入对应解析式，解得结果. 【详解】
(3)(32)(52)752f f f =+=+=-=
故选：A 【点睛】
本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．已知x ，y 的取值如下表示：若y 与x 线性相关，且$0.95y x a =+，则a =（ ）
A ．2.2
B ．2.6
C ．2.8
D ．2.9
【答案】B
【解析】求出,x y ，代入回归方程可求得a ． 【详解】 由题意013424x +++=
=， 2.2 4.3 4.8 6.7
4.54
y +++==，
所以4.50.952a =⨯+， 2.6a =． 故选：B. 【点睛】
本题考查回归直线方程，掌握回归直线方程的性质是解题关键．回归直线一定过中心点
(,)x y ．
7．给出下列三个命题： ①“若
，则1x ≠”为假命题；
②若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；
③命题:,20x p x R ∀∈>，则00:,20x
p x R ⌝∃∈≤，其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】试题分析：“若
，则1x ≠”的逆否命题为“若1x =，则
”，为真命题；若p q ∧为假命题，则,p q 至少有一为假命题；命题
:,20x p x R ∀∈>，则00:,20x p x R ⌝∃∈≤，所以正确的个数是1，选B.
【考点】命题真假
【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.
以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q”“p ∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可. 8．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是（ ）
A ．3
36A B ．3
33A
C ．3
32A
D ．214
244A A A
【答案】D
【解析】利用捆绑法：先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，并把他们捆绑在一起看作一个元素和剩余的3名男歌手进行全排列，利用排列组合的知识和分步计数原理求解即可. 【详解】
根据题意，分两步进行：
先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，同时对两名女歌手进行全排列有1
2
42
A A 种选择；再把他们捆绑在一起看作一个元素和剩余的3名男歌手进行全排列有44A 种选择，
由分步计数原理可得，共有出场方案的种数为1
2
4
424A A A . 故选：D
【点睛】
本题考查利用捆绑法和分步乘法计数原理，结合排列数公式求解排列组合问题；考查运算求解能力和逻辑推理能力；分清排列和组合和两个计数原理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 9．函数sin ()ln x
f x x
的图像可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特征值的符号是否一致进行排除即可． 【详解】
解：f （﹣x ）()sin x sinx
ln x
ln x
-==-
=--f （x ），则函数f （x ）是奇函数，图象关于原点对称， 排除B ，D ，
函数的定义域为{x |x ≠0且x ≠±1}，
由f （x ）＝0得 sin x ＝0，得距离原点最近的零点为π，
则f （6π）1
6266
sin
ln ln ＜π
ππ=
=0，排除C ， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键．
10．已知()6
26012612x a a x a x a x -=++++L ，则0126a a a a ++++=L （ ） A ．1 B ．1- C ．63 D ．62
【答案】C
【解析】由二项式定理可知，0246,,,a a a a 为正数，135,,a a a 为负数，令1x =-代入已知式子即可求解. 【详解】
因为()6
26012612x a a x a x a x -=++++L ，
由二项式定理可知，0246,,,a a a a 为正数，135,,a a a 为负数， 所以0126a a a a ++++=L ()6
6123+=. 故选：C 【点睛】
本题考查二项式定理求系数的绝对值和；考查运算求解能力；属于基础题. 11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，
()1f x x =-+，设函数()1x g x e --=，13x -<<，则()f x 与()g x 的图象所有交点
的横坐标之和为（ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B
【解析】根据题意，分析可得函数()f x 与()g x 的图象都关于直线1x =对称，作出两个函数图象，分析其交点情况即可得到答案. 【详解】
由题意，函数()f x 满足()()11f x f x +=-可知， 函数()f x 的图象关于直线1x =对称，
又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称， 由函数()1
x g x e
--=可知，函数()g x 的图象关于直线1x =对称，
画出函数()f x 与()g x 的图象如图所示：
设图中四个交点的横坐标为1234,,,x x x x ， 由图可知，14322,2x x x x +=+=，
所以函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 【点睛】
本题考查函数的奇偶性和对称性、指数函数的图象与性质；考查数形结合思想和运算求解能力；利用函数的奇偶性和对称性作出函数图象是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.
12．已知函数y=f （x ）是定义域为R 的偶函数．当x≥0时，
，
若关于x 的方程[f （x ）]2+af （x ）+b=0，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】根据题意，由函数的解析式以及奇偶性分析可得的最小值与极大值，要使关于的方程，有且只有6个不同实数根，转化为必有两个根、，可得，根据韦达定理可得答案．
【详解】
根据题意，当时，，
在上递增，在上递减，当时，函数取得极大值，
当时，函数取得最小值0，
又由函数为偶函数，则在上递增，在上递减，
当时，函数取得极大值，
当时，函数取得最小值0，
要使关于的方程，有且只有6个不同实数根，
设，
则必有两个根、，
且必有，的图象与的图象有两个交点，有两个根；
，的图象与的图象有四个交点，由四个根，
关于的方程，有且只有6个不同实数根，
可得
又由，
则有，即a的取值范围是，故选B．
【点睛】
函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程
的根函数与的交点.
二、填空题
x>”，在其逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个13．已知命题“若21
x>，则1
数是__________． 【答案】2
【解析】根据原命题和逆否命题真假性相同可得到逆否命题的真假；写出命题的否命题和逆命题可得到其真假性. 【详解】
易知命题“若21x >，则1x >”为假命题，故其逆否命题也为假命题；逆命题为“若1x >，则21x >”是真命题；否命题为“若21x ≤，则1x ≤”，也为真命题. 故答案为2. 【点睛】
这个题目考查了命题的逆否命题和逆命题，和否命题的书写以及真假的判断，否命题既否条件又否结论，命题的否定是只否结论.
14．已和幂函数()f x k x α
=⋅
的图象过点1,22⎛ ⎝⎭
，则k α+=__________．
【答案】
3
2
【解析】由幂函数的定义和解析式求出k 的值，把已知点代入求出α的值，可得答案． 【详解】
解：∵()f x k x α
=⋅是幂函数，∴1k =，
所以幂函数()f x x α
=
的图象过点1,
2
2⎛
⎝⎭
，
∴122α
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则12α=，
则13
122
k α+=+=， 故答案为：32
． 【点睛】
本题考查了幂函数的定义与解析式的应用，属于基础题．
15．多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中，含2x 项的系数是________. 【答案】200
【解析】根据题意，由二项式定理可得，()5
2x +的通项公式为5152r r r
r T C x -+=，令
2,3r r ==，求出对应1r T +的值即可求解.
【详解】
根据题意，由二项式定理可得，()5
2x +的通项公式为5152r r r
r T C x -+=， 当2r =时，可得232235280T C x x ==，当3r =时，可得3233
45240T C x x ==，
所以多项式()5122x x ⎛⎫+
+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项为232
128040200x x x x
⨯+⋅=， 故多项式()5
122x x ⎛
⎫+
+ ⎪⎝⎭
的展开式中，含2x 项的系数为200. 故答案为：200 【点睛】
本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数；考查运算求解能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
16．将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为________. (用数字作答) 【答案】30
【解析】先计算小球放入3个不同的盒子的放法数目，再计算红球和蓝球放到同一个盒子的放法数目，两个相减得到结果． 【详解】
将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其它2个小球对应3个盒子，共C 42A 33=36种情况，
若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A 33=6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6=30. 故答案为：30 【点睛】
本题考查排列组合及简单的计数原理的应用，注意用间接法，属于基础题．
三、解答题
17．已知命题}{
:210p x x -<<，命题{
:1q x x a ≤-或}1x a ≥+，若p ⌝是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】03a <≤
【解析】根据题意，求出p ⌝表示的集合，利用p ⌝是q 的充分不必要条件得到集合间
的包含关系，进而得到关于a 的不等式组，解不等式即可. 【详解】
由题意知，:2p x ⌝≤-或10x ≥， 因为p ⌝是q 的充分不必要条件，
所以{
2x x ≤-或}10x ≥ {
1x x a ≤-或}1x a ≥+，
所以121100311a a a a a -≥-⎧⎪
+≤⇒<≤⎨⎪+>-⎩
，
所以实数a 的取值范围为03a <≤. 【点睛】
本题考查利用充分不必要条件和集合间的包含关系求参数的取值范围；考查逻辑推理能力和运算求解能力；根据题意，正确得出集合间的包含关系是求解本题的关键；属于中档题.
18．已知函数2()43f x x x =++．
（1）求函数()y f x =在区间[3,1]x ∈-上的最大值和最小值； （2）已知()2x g x =，求满足不等式[()]8g f x >的x 的取值范围． 【答案】(1)最小值为-1,最大值为8;(2) (,4)(0,)-∞-+∞U 【解析】(1)根据二次函数在区间[3,1]-上的单调性可求得答案;
(2)根据()g x 为增函数可将不等式化为()3f x >,再解一元二次不等式可得到答案. 【详解】
(1)因为2()(2)1f x x =+-在[3,2]--上递减,在[2,1]--上递增, 所以2x =-时,()f x 取得最小值,最小值为(2)1f -=-,
1x =时,()f x 取得最大值,最大值为(1)8f =.
(2)因为()2x g x =为增函数,且3(3)28g ==, 所以不等式[()]8g f x >可化为[()](3)g f x g >, 所以()3f x >,即2433x x ++>, 所以(4)0x x +>,
所以0x >或4x <-,
所以不等式[()]8g f x >的解集为(,4)(0,)-∞-+∞U . 【点睛】
本题考查了利用二次函数的单调性求最值,解一元二次不等式,利用指数函数的单调性解不等式,属于基础题.
19． 设对于任意实数x ，不等式|x ＋7|＋|x －1|≥m 恒成立． (1)求m 的取值范围；
(2)当m 取最大值时，解关于x 的不等式|x －3|－2x≤2m －12. 【答案】（1）8m ≤ （2）1|3x x ⎧
⎫≥-⎨⎬⎩⎭
【解析】试题分析：解：（1）根据题，由于不等式|x ＋7|＋|x －1|≥m 恒成立，则可知|x ＋7|＋|x －1|≥|x ＋7-x+1|≥8 故8m ≤
2）由已知8m =，，不等式化为
3){(3)24x i x x <⇔---≤或3){
(3)24
x ii x x ≥--≤ 由不等式组)i 解得：1
33
x -
≤< 由不等式组)ii 解得：3x ≥
∴原不等式的解集为1|3x x ⎧
⎫≥-⎨⎬⎩
⎭
【考点】绝对值不等式
点评：主要是考查了绝对值不等式的求解以及不等式的恒成立问题的运用，属于基础题． 20．已知椭圆2cos :sin x C y ϕ
ϕ=⎧⎨
=⎩
（ϕ为参数），A ，B 是C 上的动点，且满足OA OB ⊥（O
为坐标原点），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，点D 的极坐标为
4,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
. （1）求椭圆C 的极坐标方程和点D 的直角坐标； （2）利用椭圆C 的极坐标方程证明
2
2
11OA
OB
+
为定值.
【答案】（1）222
3sin 4ρρθ+=
，(2,；（2）证明见解析
【解析】（1）利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式即可求出椭圆C 的极坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式求出点D 的直角坐标即可； （2）利用（1）中椭圆C 的极坐标方程，设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
，根据极坐标系中ρ和θ的定义，结合三角函数诱导公式即可证明. 【详解】
（1）由题意可知，椭圆C 的普通方程为2
214
x y +=，
把cos ,sin x y ρθρθ==代入椭圆C 的普通方程可得， 椭圆C 的极坐标方程为2
2
2
3sin 4ρρθ+=， 因为点D 的极坐标为4,
3π⎛⎫
⎪⎝
⎭
， 所以4cos 34sin
3x y ππ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以点D
的直角坐标为(2,.
（2）证明：由（1）知，椭圆C 的极坐标方程为222
3sin 4ρρθ+=，
变形得2
2
4
13sin ρθ
=
+， 由OA OB ⊥，不妨设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
， 所以
2
2
2
212
111
1
OA
OB
ρρ+
=
+
2222
13sin 13sin 23sin 3cos 524444
πθθθθ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=+==
， 所以
2
2
11OA
OB
+
为定值
5
4
. 【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式及利用极坐标系中ρ和θ的
定义求解椭圆中的定值问题；考查逻辑推理能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于中档题.
21．已知0a >且1a ≠，()21log 1a a f x x a x ⎛⎫
=- ⎪-⎝⎭
（1）求()f x 的解析式；
（2）判断()f x 的奇偶性，并判断当01a <<时()f x 的单调性； （3）若()f x 是()1,1-上的增函数且()(
)2
110f m f m -+-<，求m 的取值范围.
【答案】（1）()()2
1
x x a
f x a a a -=
--；（2）见解析；（3）{1m m << 【解析】（1）利用对数函数的性质，结合换元法，令()log a t x t R =∈则t x a =，求出
()f t 的表达式即可；
（2）结合（1）中()f x 的解析式，利用函数奇偶性的定义判断函数()f x 的定义域和
()f x -与()f x 的关系；利用指数函数的单调性和简单复合函数单调性的判断法则即
可求解；
（3）利用函数()f x 在()1,1-上的单调性和奇偶性得到关于m 的不等式，解不等式即可. 【详解】
（1）令()log a t x t R =∈，则t x a =，
所以()()21t t
a f t a a a -=
--，即()()2
1
x x a f x a a a -=--. （2）由（1）知，()()21
x x a
f x a a a -=--，其定义域为R ，关于原点对称， 因为()()()21
x x a
f x a a f x a --=-=--，所以函数()f x 为奇函数， 当01a <<时，因为x
y a =是R 上的减函数，1x
x y a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭
是R 上的增函数，
所以函数x
y a -=-为R 上的减函数，()x x
u x a a -=-为R 上的减函数，
又因为
2
01
a a <-，∴()()21x x
a f x a a a -=--为R 上的增函数. （3）∵()(
)2
110f m f m
-+-<，∴()()2
11f m f m -<--，
又()y f x =为R 上的奇函数，∴()()
2
11f m f m -<-，
因为函数()y f x =在()1,1-上是增函数，∴21111m m -<-<-<，
解之得：{
1m m <<，所以实数m 的取值范围为{1m m <<.
【点睛】
本题考查换元法求函数解析式、函数奇偶性的判断、指数函数的单调性和简单复合函数单调性的判断、利用函数在给定区间上的奇偶性和单调性解不等式；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；属于综合性试题、中档题. 22．本小题满分13分）
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别
123,,p p p 123,,p p p ，假设123,,p p p 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独
立.
（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为123,,q q q ，其中
123,,q q q 是123,,p p p 的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）
EX ；
（3）假定1231p p p >>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．
【答案】（1） 不变化；（2）121223q q q q --+；（3）先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小 【解析】【详解】
（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为
()()()112123
111P P P P P P P =+-+--123122331123P P P PP P P P P PP P =++---+． 若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为
()()()113132
111P P P P P P P =+-+--123122331123P P P PP P P P P PP P =++---+， 发现任务能完成的概率是一样.
同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化.
（2）由题意得X 可能取值为1,2,3
∴()()()()()()112121;21;311P X q P X q q P X q q ====-==--， ∴其分布列为:
X
1
2
3
P
1q
()121q q -
()()()11212121212131123EX q q q q q q q q q ∴=⨯+⨯-+⨯--=--+．
（3）()()()12122123211E X q q q q q q =--+=--+,1231p p p >>> ∴要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小, 则只能先派甲、乙中的一人.
∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则1121223EX p p p p =--+； 若先派乙,再派甲,最后派丙, 则2122123EX p p p p =--+，
()()12121212212123230EX EX p p p p p p p p p p ∴-=--+---+=-<，
∴先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小．。