第六章不定积分

第六章 不定积分

6.1 不定积分的概念和运算法则

前面学习了极限、连续函数、实数的连续性，以及导数于微分，特别是重点学习了导数、微分的概念。我们知道求导是一种运算，它的被运算对象是函数。在以前我们也学过很多的运算。例如，加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数等等。我们可以将求导运算与这些已知的很熟悉的运算相类比。（用旧的概念和新的概念相类比，从已有的经验中来发现新概念、新知识中的规律，这是一种数学方法。）我们看看这些旧的运算，我们很快会发现它们都成对出现，而且每对都是互为逆运算。我们不禁会想到，求导运算是否有逆运算，它的逆运算是什么？

问题1：求导运算的逆运算是什么？讨论其逆运算的意义何在？

我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是一种形式运算，在实际应用中是很有用的。例如（1）已知物体的运动规律)(t s s =，即路程函数，求物体的瞬时速度)(t v ；

（2）已知曲线)(t y y =，求它的切线的斜率。如果我们讨论的是反问题，已知物体运动的瞬时速度，即速度函数)(t v ，求物体的运动规律，即路程函数；已知曲线在每一点的切线的斜率，求此曲线。在解析几何中，对于直线的讨论，由于直线的点的斜率相同，所以用点斜式很快就能得到。如果所讨论的是一般的，那么就是这里的问题了。我们把求导的逆运算称为不定积分。

定义：函数)(x f 在区间I 上有定义，如果存在函数)(x F ，使

I x x f x F ∈=),()('

称)(x F 是函数)(x f （在区间I 上）的原函数。

例如： at at ='2)21( （a 是const ），所以22

1at 是at 的原函数。 x x cos )(sin '=，所以x sin 是x cos 的原函数。

21

21

)'2(-=x x ，所以21

2x 是21

-x 的原函数。

23)'231(x x =+，所以23

13+x 是2x 的原函数。 问题2：函数)(x f 的原函数是否存在，即什么样的函数有原函数。如果存在，其原函数是否唯一？

对于问题前半截的回答，只能由下一章解答。而对后半截问题的回答则是容易的。 显然由)(x F 是)(x f 的原函数，即)()('

x f x F =，则 )()')((x f c x F =+ ， （c 是const ）

即c x F +)(也是)(x f 的原函数。由此我们看到，如果一个函数存在原函数，那么这个函数就有无限多个原函数。

问题3：函数)(x f 的原函数的结构是什么样子。已知一个原函数为)(x F ，是否每一个原函数都可表示为形式c x F +)(？换句话说，除了c x F +)(形式之外，是否还有其它形式的函数，也是)(x f 的原函数？

定理：如果)(x F 是函数)(x f 的原函数，则函数)(x f 的无限多个原函数仅限于c x F +)(（c 是const ）的形式。

证明：已知)(x F 是)(x f 的原函数，即

)()('x f x F = （1）

设)(x φ是函数)(x f 的另一个原函数，即

)()('x f x =φ （2）

（1） 与（2）相减，有

0)()()]'()([)(')('=-=-=-x f x f x F x x F x φφ

由第6.1节，例1，c x F x =-)()(φ（c 是某个常数）或c x F x +=)()(φ，亦即函数)(x f 的任意一个原函数)(x φ都是c x F +)(的形式。

这就给出了函数)(x f 的原函数的构造问题。一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一个常数。如果求出了一个原函数，其它所有的原函数也相应的被求出来了。

另一方面，定理说明：已知一条原函数曲线，其它的原函数曲线可以用平移的方法得

到。

定义：函数)(x f 的所有的原函数c x F +)(（c 是const ），称为函数)(x f 的不定积分。表为

⎰+=c x F dx x f )()( （)()('x f x F =）

其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，c 称为积分常数。

值得注意的是，一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。例如：

at at ='2)21( ， 有 c at atdt +=⎰22

1 x x cos )(sin '=， ⎰+=c x xdt sin cos

23)'31(x x =， c x dx x +=⎰323

1 我们把求已知函数的原函数的运算称为积分运算，积分运算是微分运算的逆运算。 对于一个运算有它的运算法则，有它的公式表，例如乘法运算的法则及其乘法表。

一、不定积分的性质及运算法则：

1．)()')((x f dx x f =⎰ 或 ⎰

=dx x f dx x f d )()(

亦即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）。

证明：设)(x F 是函数)(x f 的原函数，即)()('x f x F =，则 )()')(()')((x f c x F dx x f =+=⎰

2．⎰+=c x F dx x F )()(' 或 ⎰+=c x F x dF )()(

亦即函数)(x F 的导数（或微分）的不定积分等于函数族c x F +)(。

证明：已知)(x F 是函数)('x F 的原函数，则

⎰+=c x F dx x F )()('。 例如：

x x d x s i n )'sin (=⎰ x x dx x x +=+⎰2

23)')3((

⎰+=c x x d s i n s i n c x x x x d ++=+⎰223)3(