高中数学6.3.1《平面向量基本定理》基础过关练习题

第六章 6.3 6.3.1
A 级——基础过关练
1．设e 1，e 2是平面内两个向量，则有( ) A ．e 1，e 2一定平行 B ．e 1，e 2的模一定相等
C ．对于平面内的任一向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )
D ．若e 1，e 2不共线，则对平面内的任一向量a 都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ) 【答案】D 【解析】由平面向量基本定理知D 正确．
2．(2020年武汉模拟)如图，在△ABC 中，AD →＝3DB →，点P 为CD 上一点，且AP →＝mAC →
＋12
AB →
，则m 的值为( )
A ．12
B ．13
C ．44
D ．15
【答案】B 【解析】∵A D →＝3D B →，∴AB ＝43A D →.又A P →＝mA C →＋12A B →，∴A P →＝mA C
→
＋23A D →，且C ，P ，D 三点共线．∴m ＋23＝1.解得m ＝1
3
. 3．(2020年南通期末)设e 1，e 2是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能作为基底的是( )
A ．e 1＋e 2和e 1－e 2
B ．e 1和e 1＋e 2
C ．e 1＋3e 2和e 2＋3e 1
D ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1
【答案】D 【解析】∵e 1，e 2是平面内的一组基底，∴e 1，e 2不共线．而4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，则根据向量共线定理可得，(4e 2－6e 1)∥(3e 1－2e 2)，根据基底的条件，选项D 不符合题意．故选D ．
4．(2020年丹东月考)设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝2CD →，则AD →
＝( )
A ．43A
B →＋13A
C →
B ．32AB →－12A
C →
C ．－12AB →＋32
AC →
D ．13AB →＋23
AC →
【答案】C 【解析】由于BC →＝2CD →，所以AC →－AB →＝2(AD →－AC →)，所以AD →＝32AC →－12AB →
.
故选C ．
5．如图，在正方形ABCD 中，点E 满足AE →＝ED →，点F 满足CF →＝2FB →，那么EF →
＝( )
A ．12A
B →－13AD →
B ．13AB →＋12AD →
C ．AB →－16A
D →
D ．AB →＋16
AD →
【答案】C 【解析】EF →＝EA →＋AB →＋BF →
＝－12AD →＋AB →＋13AD →＝－16AD →＋AB →.故选C ．
6．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →
，则3r ＋s 的值为( ) A ．16
5
B ．12
5
C ．8
5
D ．45
【答案】C 【解析】因为CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，所以CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →
＋
sAC →
.所以r ＝45，s ＝－45.所以3r ＋s ＝125－45＝85
.
7．设{e 1，e 2}是平面内的一个基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝______a ＋______b .
【答案】23 ⎝⎛⎭⎫
－13 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝e 1＋2e 2，
b ＝－e 1＋e 2，解得
⎩
⎨⎧
e 1＝13a －23
b ，
e 2＝13a ＋13b.
故e 1＋e 2＝
⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭
⎫－13b.
8．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE →
＝λBA →＋μBD →
(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝______.
【答案】34 【解析】因为BE →＝BO →＋OE →＝12BD →＋EA →＝12BD →＋EB →＋BA →，所以BE →＝12BA →
＋
14BD →.所以λ＝12，μ＝14，λ＋μ＝3
4
. 9．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →，AC →表示AD →
.
解：因为D 是BC 边的四等分点， 所以BD →＝14BC →＝14
(AC →－AB →)．
所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14
AC →
.
10．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：{a ，b }可以作为一个基底； (2)以{a ，b }为基底表示向量c ＝3e 1－e 2.
解：(1)证明：假设a ＝λb (λ∈R )，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨
⎪⎧
λ＝1，
3λ＝－2，
所以λ不存在．
故a 与b 不共线，{a ，b }可以作为一个基底．
(2)设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.
所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2，
n ＝1.
所以c ＝2a ＋b .
B 级——能力提升练
11．如果e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，那么( ) A ．若实数m ，n 使得m e 1＋n e 2＝0，则m ＝n ＝0
B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2为实数
C ．对于实数m ，n ，m e 1＋n e 2不一定在此平面上
D ．对于平面内的某一向量a ，存在两对以上的实数，m ，n ，使a ＝m e 1＋n e 2 【答案】A 【解析】选项B 中应为“平面内任一向量”，C 中m e 1＋n e 2一定在此平面上，选项D 中，m ，n 应是唯一的，只有A 正确．
12．如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点，AE →＝13AC →，若DE →＝λAB →＋μBC →
，则λ＋μ＝
( )
A ．5
6
B ．－1
6
C ．1
6
D ．56
【答案】C 【解析】∵DE →＝DA →＋AE →＝12BA →＋13AC →＝12BA →＋13(BC →－BA →)＝16BA →＋13BC →
＝－
16AB →＋13BC →，∴λ＝－16，μ＝13.∴λ＋μ＝1
6
.故选C ． 13．(2020年遂宁模拟)如图，在△ABC 中，AD →＝58AC →，BP →＝25PD →，若AP →＝λAB →＋μAC →
，
则μ
λ
的值为( )
A ．11
12
B ．3
4
C ．1
4
D ．79
【答案】C 【解析】由BP →＝25PD →，可知BP →＝27BD →.AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋27BD →＝AB →＋27(AD
→
－AB →)＝AB →＋27⎝⎛⎭⎫58AC →－AB →＝57AB →＋528AC →
，∴λ＝57，μ＝528，μλ＝14
.故选C ． 14．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→，则OP →
＝( ) A ．a ＋λb
B ．λa ＋b
C ．λa ＋(1＋λ)b
D ．a ＋λb 1＋λ
【答案】D 【解析】∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)，(1＋λ)OP →＝λOP 2→＋OP 1→.OP →
＝λb ＋a 1＋λ
. 15．△ABC 中，D 为AC 上的一点，满足AD →＝13DC →.若P 为BD 上的一点，满足AP →＝mAB
→
＋nAC →
(m >0，n >0)，则mn 的最大值为________；4m ＋1n
的最小值为________．
【答案】116 16 【解析】因为AD →＝13DC →，所以AD →＝14AC →.所以AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB
→
＋4nAD →
.因为B ，P ，D 三点共线，所以m ＋4n ＝1，则4mn ≤(m ＋4n )24＝14.则mn ≤116，即mn
最大值为116，当且仅当m ＝4n 时取等号；4m ＋1
n ＝(m ＋4n )⎝⎛⎭⎫4m ＋1n ＝16n m ＋m n ＋8≥216＋8＝16，当且仅当m ＝4n 时取等号．故答案为1
16
，16.
16．已知平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，AP →＝yAD →，AQ →＝xAB →
，其中x ，y ∈R ，且均不为0.若PQ →∥BE →
，则x y
＝________.
【答案】12 【解析】因为PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →，由PQ →∥BE →，可设PQ →＝λBE →，即xAB
→
－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－12λ，y ＝－λ，
则x y ＝12
.
17．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝2e 1－3e 2，试用a ，b 表示c .
解：设c ＝x a ＋y b ，则2e 1－3e 2＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)，即(3x －2y )e 1＋(y －2x )e 2＝2e 1－3e 2.
又e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝2，y －2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4，
y ＝5.
所以c ＝4a ＋5b .
18．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB
＝k (k ≠1)．设AD
→
＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出下列向量在此基底下的分解式：DC →，BC →，MN →.
解：如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB ＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.又AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC
→
＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝－e 2＋k e 2＋e 1＝e 1＋(k －1)e 2.而MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM →＝12BC →
＋e 2－12AD →＝12[ e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12 e 1＝
k ＋1
2e 2
. C 级——探索创新练
19．(2020年岳阳模拟)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →
，则λ＋μ的值为( )
A ．1
4
B ．1
5
C ．4
5
D ．54
【答案】C 【解析】(方法一)连接AC (图略)，由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →
＝λ·12(AD →＋AC →)
＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC →＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →
＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝⎛⎭
⎫λ＋μ2AD →＝0.又AB →，AD →
不共线，所以由平面向量基本定理得 ⎩⎨⎧
14λ＋3
4
μ－1＝0，λ＋μ
2＝0，
解得⎩⎨⎧
λ＝－45
，
μ＝8
5.
所以λ＋μ＝4
5
.
(方法二)根据题意作出图形如图所示，连接MN 并延长，交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →
.因为T ，M ，N 三点共线，所以λ＋μ＝45
.
20．如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →
＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP →
＝m a ＋n b ，则m ＝________，n ＝________.
【答案】27 47 【解析】根据已知条件，得BQ →＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝1
2(m a ＋n b )－a ＝
⎝⎛⎭⎫m 2－1a ＋n 2b ，CR →＝BR →－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a ＝⎝⎛⎭⎫m 4＋12a ＋⎝⎛⎭⎫n 4－1b ，∴QP →＝m 2a ＋n 2
b ，RQ →＝⎝⎛⎭⎫m 4－12a ＋n 4b ，RP →＝－⎝⎛⎭⎫m 8＋14a ＋⎝⎛⎭⎫12－n 8b .∵RQ →＋QP →＝RP →
，∴⎝⎛⎭⎫3m 4－12a ＋3n
4b ＝⎝⎛⎭⎫－m 8－14a ＋⎝⎛⎭⎫12－n 8b ，∴⎩
⎨⎧
3m 4－12＝－m 8－14
，3n 4＝12－n
8，解得⎩⎨⎧
m ＝27
，
n ＝4
7.。