2020年北京海淀区空中课堂高二数学-导数公式表及导数的四则运算 课件

y (x x) (x x)2 x x2 x 2xx x2
y x 2xx x2
x
x
1 2x x
f (x) 1 2x
而x 1，（x2） 2x x （x2） 1 2x
( x x2 ) x (x2 )
所以猜想：
⌘ 导数的四则运算（加减法）
求函数的导函数的基本步骤
y' a x ln a y' ex y' 1 y' 1x ln a
x y' cosx
y' sin x
f (x) g(x) f (x) g(x)
定义域：x (0,)
如何求y （3x2 2)( x 5)的导数？
⌘ 参考练习题
⌘ 参考练习题
⌘ 基本初等函数公式表及导数四则运算（加减）
y f (x)
y C(C是常数） y xn (n Q )
y ax a 0, a 1
y ex
y loga xa 0, a 1, x 0
y ln x
y sin x y cosx
y' f (x)
y' 0 y' nxn1(n Q )
1
( x ln x)' f '(x) g'(x) (x 2 )'(ln x)'
1
1
x2
1
2x
1 1 2x x
⌘ 导数的四则运算（加减法）
求曲线y x3 1 在点 x
（1，0）处切线方程
解： 函数y x3 1 是函数f (x) x3与函数 x
g(x) 1 的差，由函数差的求导法则得 x
2020年海淀区空中课堂 高二年级数学学科
导数公式表及导数的四则运算
目录
CONTENTS
1
理解导数公式表
2
导数公式表应用
3 导数的四则运算（加减法）
⌘ 常数函数与幂函数的导数
y C(C是常数），y' 0.
y x ( Q), y' x1
⌘ 基本初等函数公式表
y f (x)
y C(C是常数） y xn (n Q )
⌘ 基本初等函数公式表应用
y f (x)
y C(C是常数） y xn (n Q )
y ax a 0, a 1
y ex
y loga xa 0, a 1, x 0
y ln x
y sin x y cosx
y' f (x)
y' 0 y' nxn1(n Q )
y' a x ln a y' ex y' 1 y' 1x ln a
y ax a 0, a 1
y ex
y loga xa 0, a 1, x 0
y ln x
y sin x y cosx
y' f (x)
y' 0 y' nxn1(n Q )
y' a x ln a y' ex y' 1 y' 1x ln a
x y' cosx
y' sin x
定义域：x (0,)
1.求函数的改变量
y f (x x) f (x)
2.求平均变化率
y f (x x) f (x)
x
x
3.取极限
lim y' f '(x)
y
x0 x
设y f (x) g(x), 则
y [ f (x x) g(x x)] [ f (x) g(x)]
[ f (x x) f (x)] [g(x x) g(x)]
解： 直线x y 2 0的斜率为1，则
与直线x y 2 0垂直的直线的斜率为 1
由函数差的求导法则得
y ' ln x x2 ' 1 2x （x 0）
x
令 1 2x= 1, 得x 1 (舍)，x 1
x
2
将x 1代入函数得y 1，即切点为1，1
从而符合条件的直线方程为 y (1) (1)(x 1),即x y 0
解： (1)函数y x2 2x 是函数f (x) x2与函数
g(x) 2x的和，由函数和的求导法则得
x2 2x
'
f
'(x) g '(x)
(x2 )'(2x )'
2x 2x ln 2 (2)函数y x ln x是函数f (x) x与函数
g(x) ln x的差，由函数差的求导法则得：
对数函数 定义域：x (0,)
7.若f
(x)
loga
x,则
f
'(x)
x
1 ln
a
(a
0, 且a
1)；
8.若f (x) ln x,则 f '(x) 1 . x
如何求 f (x) x x2 的导函数？
⌘ 导数的四则运算（加减法）
求 f (x) x x2 的导函数
分析：用导数的定义求函数的导数
验证
两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导 数的和（差），即
推广 任意 个可导函数的和（差）的导数，也等于这些函
数导数的和（差），即
[u(x) v(x) w(x)] u '(x) v '(x) w'(x)
⌘ 导数的四则运算（加减法）
例题1求下列函数的导数
(1) y x2 2x (2) y x ln x
y' 0 y' nxn1(n Q )
y' a x ln a y' ex y' 1 y' 1x ln a
x y' cosx
y' sin x
对不具备基本初等函数特
征的函数，需要
.
例题1：求下列函数的导数：
⌘ 基本初等函数公式表应用
例题2：求曲线y＝cosx在点A(π6， 23)处的切线方程．
解：
⌘ 基本初等函数的导数公式
常数、幂函数 1.若f (x) c,则 f '(x) 0；
2.若f (x) x Q,则 f '(x) x1；
三角函数
3.若f (x) sin x,则 f '(x) cos x； 4.若f (x) cos x,则 f '(x) sin x；
指数函数
5.若f (x) ax,则 f '(x) ax ln a(a 0)； 6.若f (x) ex,则 f '(x) ex；
f g y f g x x x
y
f g
f
g
lim lim ( ) lim lim
x0 x x0 x x x0 x x0 x
y ( f g) f g
同理：( f g)' f 'g'
函数和（或差）的求导法则： f (x) g(x) f (x) g(x)
⌘ 导数的四则运算（加减法）
x3
1 x
'
f
'(x) g '(x)
3x2
1 x2
3x2
1 x2
将x 1代入导函数得 31+1=4
即该曲线的在 1，0 处切线斜率为4，
从而切线方程为 y 0 4(x 1),即y 4x 4 0
⌘ 导数的四则运算（加减法）
例题3
求与直线x y 2 0 垂直且与曲线 y ln x x2相切 的直线方程.
x y' cosx
y' sin表应用
y f (x)
y C(C是常数） y xn (n Q )
y ax a 0, a 1
y ex
y loga xa 0, a 1, x 0
y ln x
y sin x y cosx
y' f (x)