辽宁省盘锦市中考数学试题(含答案)

盘锦市初中毕业升学考试
数学试卷
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共24分)
1. 下列计算正确的是()．
A. 2(x＋y)＝2x＋y
B. x4·x3＝x7
C. x3－x2＝x
D. (x3)2＝x5
2. 一元二次方程x2－2x＝0的解是()．
A. x1＝0，x2＝2
B. x1＝1，x2＝2
C. x1＝0，x2＝－2
D. x1＝1，x2＝－2
3. 把不等式3x－6＞0的解集表示在数轴上，正确的是()．
4. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的名称是()．
A. 圆柱
B. 长方体
C. 圆锥
D. 球体
(第4题)
5. 如图，已知⊙O的半径为4，点D是直径AB延长线上一点，DC切⊙O于点C，连结AC，若∠CAB＝30°，则BD的长为()．
A. 4 3
B. 8
C. 4
D. 2 3
6. 下列事件为不可能事件的是()．(第5题)
A. 某射击运动员射击一次，命中靶心
B. 掷一次骰子，向上的一面是5点
C. 找到一个三角形，其内角和为360°
D. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
7. 若 |a －b |＝b －a ，且|a |＝3，|b |＝2，则(a ＋b )3的值为( )． A. 1或125 B. －1 C. －125 D. －1或－125
8. 如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点. 若
青蛙从5这点开始跳，则经次跳后它停在的点所对应的数为( )．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
二、 填空题(每小题3分，共24分) (第8题) 9. －1
2
的倒数是________．
10. 反比例函数y ＝k
x 的图象经过点(－2,3)，则k ＝________.
11. 一组数据2,3,5,9,6的极差是________．
12. 如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠AOB ＝80°，则∠ACB ＝________.
(第12题)
13. 如图，矩形纸片ABCD ，AD ＝2AB ＝4，将纸片折叠，使点C 落在AD 上的点E 处，折痕为BF ，则DE ＝________.
(第13题)
14. 关于x 的方程(k －2)x 2－4x ＋1＝0有实数根，则k 满足的条件是________． 15. 将抛物线y ＝x 2－2向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为________．
16. 如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、AB 的中点，连接DF 、CE ，DF 与CE 交于点H ，则下列结论：①DF ⊥CE ；②DF ＝CE ；③DE CE ＝HD CD ；④DE DC ＝HD
HE
.其中正确结论的序号有________．
(第16题)
三、 解答题(每题8分，共16分)
17. 先化简，再求值：a －1a ＋2·a 2＋2a a 2－2a ＋1÷1
a 2－1，其中a 为整数且－3＜a ＜2.
18. 如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,4)、B (－3,1)、C (－1,1)，以坐标原点O 为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△AB C 放大，放大后得到△A ′B ′C ′.
(1)画出放大后的△A ′B ′C ′，并写出点A ′、B ′、C ′的坐标. (点A 、B 、C 的对应点为A ′、B ′、C ′)
(2)求△A ′B ′C ′的面积．
(第18题)
四、解答题(19题8分，20题10分，共18分)
19. 在一个不透明的盒子里，装有红、黄、白、黑4个小球，它们除颜色不同外，其余均相同，盒子里的小球已经摇匀，先从盒子里随机摸出一个小球，记下颜色后放回，摇匀后再随机地摸出一个小球并记下颜色．
(1)用列表或画树形图的方法列出两次摸出的小球颜色的所有可能结果；
(2)求两次摸出的小球颜色相同的概率．
20. 3月，胡润研究院发布“胡润艺术榜”，艺术榜是依据度公开拍卖市场作品的总成交额排名，其中排名前10位的国宝国画艺术家的情况如下表：
排名前10位的国
宝国画艺术家
排名艺术家总成交额(万元)年龄(岁)出生地现居地
1范曾38 98273江苏北京
2崔如琢35 04867北京美国
3何家英14 00954天津天津
4刘文西11 91578浙江陕西
5黄永玉11 79187湖南北京
6石齐10 75972福建北京
7王子武9 78675陕西广东
8王西京9 36265陕西陕西
9白雪石9 02896北京北京
10陈佩秋8 36989河南上海
年龄段(岁)51～6061～7071～8081～9091～100
人数(人)
(2)
(3)请你根据题意从不同的角度写出两条信息．
五、解答题(每题10分，共20分)
21. 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°(如图). 已知一梯子AB的长为6 m，梯子的底端A距离墙面的距离AC为2 m，请你通过计算说明这时人是否能够安全地攀上梯子的顶端？
(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26)
(第21题)
22. 如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm.
(1)风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点A到桌面的距离(结果保留根号)．
(2)在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长(结果保留π)．
备用图1
备用图2
(第22题)
六、解答题(23题10分，24题12分，共22分)
23. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过A(1，－1)、B(4,0)两点．
(1)求这个二次函数解析式；
(2)点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
(第23题)
24. 如图，在一个矩形空地ABC D上修建一个矩形花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q在AD 上，点P在对角线BD上．若AB＝6m，AD＝4m，设AM的长为x m，矩形AMPQ的面积为S平方米．
(1)求S与x的函数关系式；
(2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值．
(第24题)
25. 已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB＝60°.将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB＝α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF.
(1)如图(1)，求证：△AGD≌△AEB；
(2)当α＝60°时，在图(2)中画出图形并求出线段CF的长；
(3)若∠CEF＝90°，在图(3)中画出图形并求出△CEF的面积．
(1)
(2)
(3)
26. 如图，直线y ＝m
3x ＋m (m ≠0)交x 轴负半轴于点A 、交y 轴正半轴于点B 且AB ＝5，过点A
作直线AC ⊥AB 交y 轴于点C .点E 从坐标原点O 出发，以0.8个单位/秒的速度沿y 轴向上运动；与此同时直线l 从与直线AC 重合的位置出发，以1个单位/秒的速度沿射线AB 方向平行移动. 直线l 在平移过程中交射线AB 于点F 、交y 轴于点G .设点E 离开坐标原点O 的时间为t (t ≥0)s.
(1)求直线AC 的解析式；
(2)直线l 在平移过程中，请直接写出△BOF 为等腰三角形时点F 的坐标； (3)直线l 在平移过程中，设点E 到直线l 的距离为d ，求d 与t 的函数关系．
备用图
(第26题)
参考答案
1. B
2. A
3. C
4. A
5. C
6. C
7. D
8. C
9. －2 10. －6 11. 7 12. 40° 13. 4－2 3 14. k ≤6 15. y ＝x 2＋6x ＋7 16. ①②③ 17. a －1a ＋2·a 2＋2a a 2－2a ＋1÷1a 2－1
＝a －1a ＋2·a (a ＋2)(a －1)2÷1(a ＋1)(a －1)(3分) ＝a －1a ＋2·a (a ＋2)(a －1)2·(a ＋1)(a －1)(4分) ＝a (a ＋1)(5分)
(注：结果为a 2＋a 不扣分，a 2＋2a ＝a (a ＋2)、a 2－2a ＋1＝(a －1)2、a 2－1＝(a ＋1)(a －1)各1分) ∵ a ≠±1、－2时分式有意义， 又 －3＜a ＜2且a 为整数， ∴ a ＝0. (7分)
∴ 当a ＝0时，原式＝0×(0＋1)＝0.(8分) 18. (1)如图所示，△A ′B ′C ′即为所求．(2分)
(第18题)
A ′(－4,8)；
B ′(－6,2)；
C ′(－2,2)．(5分) (2)∵ S △ABC ＝1
2
×2×3＝3，(6分)
又 △A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为2∶1， ∴
S △A ′B ′C ′S △ABC
＝⎝⎛⎭⎫212
＝4，(7分)
S △A ′B ′C ′＝4S △ABC ＝12.(8分)
19. (1)解法一：画树形图(3分)
(第19题)
解法二：用列表法(3分)
第1次 第2次 红 黄 白 黑 红 红，红 黄，红 白，红 黑，红 黄 红，黄 黄，黄 白，黄 黑，黄 白 红，白 黄，白 白，白 黑，白 黑
红，黑
黄，黑
白，黑
黑，黑
(2)由树形图(或列表)可知，所有可能结果共有16种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有4种．(6分)
∴ P (两次摸取小球颜色相同)＝416＝1
4. (8分)
20. (1)
组别(年龄) 51～60 61～70 71～80 81～90 91～100 人数
1
2
4
2
1
(注：错一个空不得分)
(2)排名前10位的国宝国画艺术家的平均年龄为73＋67＋54＋78＋87＋72＋75＋65＋96＋89
10
＝75.6(岁)．(6分) ∵
73＋75
2
＝74， ∴ 年龄的中位数为74岁．(8分)
(3)①排名前10位的国宝国画艺术家的年龄的最大为96岁；(9分)
②排名前10位的国宝国画艺术家现居住在北京的有4人．(10分)
21. 在Rt△ABC中，
∵AC＝AB cosα，AB＝6，
∴当α＝50°时，AC＝6cos50°≈6×0.64＝3.84(m)．(4分)
∴当α＝75°时，AC≈6cos75°≈6×0.26＝1.56(m)．(8分)
又 1.56＜2＜3.84，
∴人能够安全地攀上梯子的顶端．(10分)
22. (1)如图(1)，点A运动到点A1的位置时∠AOE＝45°.
(第22题(1))
作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，
∴A1F＝GE.(1分)
在Rt△A1OG中，
∵∠A1OG＝45°，OA1＝10，
∴OG＝OA1·cos45°＝10×
2
2＝5 2.(2分)
∵OE＝25，
∴GE＝OE－OG＝25－5 2.
∴A1F＝GE＝25－5 2.(3分)
答：点A到桌面的距离是(25－52)厘米. (4分)
(2)如图(2)，点A在旋转过程中运动到点A2、A3的位置时，点A到桌面的距离等于20厘米.
(第22题(2))
作A 2H ⊥MN 于H ，则A 2H ＝20. 作A 2D ⊥OE 于点D ， ∴ DE ＝A 2H .(5分) ∵ OE ＝25，
∴ OD ＝OE －DE ＝25－20＝5. 在Rt △A 2OD 中， ∵ OA 2＝10，
∴ cos ∠A 2OD ＝OD OA 2＝510＝1
2.
∴ ∠A 2OD ＝60°.(7分)
由圆的轴对称性可知，∠A 3OA 2＝2∠A 2OD ＝120°. ∴ 点A 所经过的路径长为120π×10180＝20π
3. (9分) 答：点A 所经过的路径长为
20π
3
厘米．(10分) 23. (1)∵ 二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过A (1，－1)、B (4,0)两点， ∴
{ a ＋b ＝－1，
16a ＋4b ＝0，解得⎩⎨⎧
a ＝13，
b ＝－4
3
. (3分)
∴ 二次函数的解析式为y ＝13x 2－4
3x . (4分)
(2)M 1(3,1)、M 2(－3，－1)、M 3(5，－1)．(10分) (注：每点2分，共6分)
24. (1)∵ 四边形AMPQ 是矩形， ∴ PQ ＝AM ＝x .(1分) ∵ PQ ∥AB ，
∴ △PQD ∽△BAD .(3分) ∴
DQ DA ＝PQ
BA
. ∵ AB ＝6，AD ＝4， ∴ DQ ＝2
3x .(4分)
∴ AQ ＝4－2
3
x . (5分)
∴ S ＝AQ ·AM ＝⎝⎛⎭⎫4－23x x ＝－2
3x 2＋4x (0＜x ＜6). (7分) (注：不写自变量取值范围不扣分，若写错则扣1分)
(2)解法一：∵ S ＝－23x 2＋4x ＝－2
3(x －3)2＋6，(9分)
又 －2
3＜0，
∴ S 有最大值.
∴ 当x ＝3时，S 的最大值为6. (11分)
答：当AM 的长为3米时，矩形AMPQ 的面积最大；最大面积为6平方米. (12分) 解法二：∵ －2
3＜0，
∴ S 有最大值. (8分) ∴ 当x ＝－4
2×⎝⎛⎭⎫－23＝3时，
S 有最大值为－2
3
×32＋4×3＝6. (11分)
答：当AM 的长为3米时，矩形AMPQ 的面积最大；最大面积为6平方米. (12分) 25. (1)∵ 菱形ABCD 绕着点A 逆时针旋转得到菱形AEFG ， ∴ AG ＝AD ，AE ＝AB ，∠GAD ＝∠EAB ＝α. ∵ 四边形AEFG 是菱形， ∴ AD ＝AB . ∴ AG ＝AE .
∴ △AGD ≌△AEG . (3分)
(2)解法一：如图(1)，当α＝60°时，AE 与AD 重合，(4分)
(第25题(1))
作DH ⊥CF 于H . 由已知可得∠CDF ＝120°，DF ＝DC ＝5. ∴ ∠CDH ＝12∠CDF ＝60°，CH ＝12CF .
在Rt △CDH 中， ∵ CH ＝DC sin60°＝5×
32＝53
2
，(6分)
∴ CF ＝2CH ＝5 3.(7分)
解法二：如图(1)，当α＝60°时，AE 与AD 重合，(4分) 连结AF 、AC 、BD 、AC 与BD 交于点O . 由题意，知AF ＝AC ，∠F AC ＝60°. ∴ △AFC 是等边三角形. ∴ FC ＝AC .
由已知，∠DAO ＝1
2∠BAD ＝30°，AC ⊥BD ，
∴ AO ＝AD cos30°＝53
2.(6分)
∴ AC ＝2AO ＝5 3. ∴ FC ＝AC ＝5 3.(7分)
(3)如图(2)，当∠CEF ＝90°时，(8分)
(第25题(2))
延长CE 交AG 于M ，连接AC . ∵ 四边形AEFG 是菱形， ∴ EF ∥AG . ∵ ∠CEF ＝90°， ∴ ∠GME ＝90°. ∴ ∠AME ＝90°.(9分)
在Rt △AME 中，AE ＝5，∠MAE ＝60°， ∴ AM ＝AE cos60°＝52，EM ＝AE sin60°＝532.
在Rt △AMC 中，易求AC ＝53， ∴ MC ＝AC 2－AM 2＝(53)2－⎝⎛⎭⎫522
＝511
2
.
∴ EC ＝MC －ME ＝5112－53
2
＝5
2
(11－3)．(11分) ∴ S △CEF ＝1
2·EC ·EF ＝25(11－3)4
. (12分)
26. (1)∵ y ＝m
3x ＋m 交x 轴负半轴于点A 、交y 轴正半轴于点B ，
∴ B (0，m )、A (－3,0)．(1分) ∵ AB ＝5，
∴ m 2＋32＝52，解得m ＝±4. ∵ m ＞0， ∴ m ＝4. ∴ B (0,4). ∴ OB ＝4. (2分)
∵ 直线AC ⊥AB 交y 轴于点C ，易得△BOA ∽△AOC ， ∴
AO BO ＝CO
AO
. ∴ CO ＝AO 2BO ＝324＝9
4.
∵ 点C 在y 轴负半轴上， ∴ C ⎝
⎛⎭⎫0，－9
4.(3分) 设直线AC 解析式为y ＝kx ＋b ， ∵ A (－3,0)，C ⎝
⎛⎭⎫0，－9
4， ∴ ⎩
⎨⎧ －3k ＋b ＝0，b ＝－94. 解得⎩
⎨⎧
k ＝－34，b ＝－94.
∴ y ＝－34x －9
4
.(5分)
(2)F 1⎝⎛⎭⎫125，365、F 2⎝⎛⎭⎫－125，45、F 3⎝⎛⎭⎫－3
2，2.(8分) (3)分两种情况：第一种情况：当0≤t ≤5时，
(第26题(1))
解法一：如图(1)，作ED ⊥FG 于D ，则ED ＝d . 由题意，FG ∥AC ， ∴
BF BA ＝BG BC
， ∵ AF ＝t ，AB ＝5， ∴ BF ＝5－t .
∵ B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，－94， ∴ BC ＝4＋94＝25
4.
∴
5－t 5＝BG
25
4
. ∴ BG ＝5
4(5－t ).
∵ OE ＝0.8t ，OB ＝4， ∴ BE ＝4－0.8t .
∴ EG ＝54(5－t )－(4－0.8t )＝94－9
20t .
∵ FG ⊥AB ，ED ⊥FG ， ∴ ∠GDE ＝∠GFB ＝90°. ∴ ED ∥AB . ∴
EG BG ＝ED BF
. ∴ 94－920t 54(5－t )＝d 5－t .
∴ d ＝－925t ＋9
5
. (11分)
解法二：如图(2)，作ED ⊥FG 于点D ，则ED ＝d ，连结EF .
(第26题(2))
则OE ＝0.8t ，AF ＝t . ∵ OB ＝4，AB ＝5， ∴ BE ＝4－0.8t ，BF ＝5－t . ∴
BE BO ＝BF BA
. 又 ∠EBF ＝∠OBA ， ∴ △EBF ∽△OBA . ∴ ∠BFE ＝∠BAO . ∴ EF ∥AO . ∴
EF OA ＝BF BA
. ∴ EF ＝BF ·OA BA ＝3(5－t )
5.
∵ ∠AOB ＝90°，EF ∥AO ， ∴ ∠FEB ＝∠AOB ＝90°. ∴ ∠BFE ＋∠FBE ＝90°， ∵ ∠BFE ＋∠EFD ＝90°， ∴ ∠FBE ＝∠EFD . 又 ∠AOB ＝∠EDF ＝90°， ∴ △OBA ∽△DFE . ∴ AB EF ＝OA DE . ∴
53(5－t )5
＝3
d . ∴ d ＝－925t ＋9
5
.(11分)
第二种情况：当t ＞5时，解法一：如图(3)，
(第26题(3))
作ED ⊥FG 于D ，则ED ＝d ， 则题意，FG ∥AC ， ∴
BF BA ＝BG BC
. ∵ AF ＝t ，AB ＝5， ∴ BF ＝t －5.
∵ B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，－94， ∴ BC ＝4＋94＝25
4.
∴
t －55＝BG
25
4
. ∴ BG ＝5
4(t －5).
∵ OE ＝0.8t ，OB ＝4，
∴ BE ＝0.8t －4，EG ＝5
4(t －5)－(0.8t －4)
＝920t －94
. ∵ FG ⊥AB ，ED ⊥FG ，∠GDE ＝∠GFB ＝90°， ∴ ED ∥AB . ∴
EG BG ＝ED
BF
. ∴ 920t －9454(t －5)＝d t －5.
∴ d ＝920t －9
5
.(14分)
解法二：如图(4)，作ED ⊥FG 于点D ，则ED ＝d ，连接EF .
(第26题(4))
则OE ＝0.8t ，AF ＝t . ∵ OB ＝4，AB ＝5， ∴ BE ＝0.8t －4，FB ＝t －5. ∴
BE BO ＝BF BA
. 又 ∠EBF ＝∠OBA ， ∴ △EBF ∽△OBA . ∴ ∠BFE ＝∠BAO . ∴ EF ∥AO . ∴
EF OA ＝BF BA
. ∴ EF ＝BF ·OA BA ＝3(t －5)
5
.
∵ ∠BFE ＋∠EFD ＝90°，∠BAO ＋∠ABO ＝90°， 又 ∠BFE ＝∠BAO ， ∴ ∠EFD ＝∠ABO . 又 ∠EDF ＝∠AOB ＝90°， ∴ △DFE ∽△OBA . ∴
DE OA ＝EF AB
. ∴ d
3＝3(t －5)55.
∴ d ＝920t －95
.
∴ d ＝⎩⎨⎧
－9
25t ＋95(0≤t ≤5)，925t －95(t ＞5).(14分)。