电磁感应中的轨道问题训练题及解答

电磁感应中的导轨问题训练题及解答在电磁感应的现象中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化时回路将产生的感应电动势，导体或回路称为电源，，电路中常出现电、力结合、电、电结合等问题。

今对一些典题进行分析，给同学以启迪(07·广东·18)（17分）如图（a）所示，一端封闭的两条平行光滑导轨相距L，距左端L处的中间一段被弯成半径为H的1/4圆弧，导轨左右两段处于高度相差H的水平面上。

圆弧导轨所在区域无磁场，右段区域存在磁场B0，左段区域存在均匀分布但随时间线性变化的磁场B(t)，如图（b）所示，两磁场方向均竖直向上。

在圆弧顶端放置一质量为m的金属棒ab，与导轨左段形成闭合回路，从金属棒下滑开始计时，经过时间t0滑到圆弧底端。

设金属棒在回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g。

⑵金属棒在圆弧内滑动时，回路中感应电流的大小和方向是否发生
改变？为什么？
⑵求0到t0时间内，回路中感应电流产生的焦耳热量。

⑶讨在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场B0的一瞬间，回路中感应
电流的大小和方向。

解析：⑴感应电流的大小和方向均不发生改变。

因为金属棒滑到圆弧
任意位置时，回路中磁通量的变化率相同。

⑵0—t 0时间内，设回路中感应电动势大小为E 0，感应电流为I ，感应电流产生的焦耳热量为Q ，由法拉第电磁感应定律：0020
t B L t E =∆∆Φ= ② 根据闭合电路的欧姆定律：R E I
0= ③ 由焦耳定律及②③有：R t B L Rt I Q
020402== ④ 解得：4200L B Q
t R =
一、 电磁感应中的力学问题
1、磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具。

它的驱动系统简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R ，金属框置于xOy 平面内，长边MN 长为l ，
平行于y 轴，宽为d 的NP 边平行于x 轴，如图1所示。

列车
轨道沿Ox 方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁
场，磁感应强度B 沿Ox 方向按正弦规律分布，其空间周
期为λ，最大值为B 0，如图2所示，金属框同一长边上各
处的磁感应强度相同，整个磁场以速度v 0沿Ox 方向匀速
平移。

设在短暂时间内，MN 、PQ 边所在位置的磁感应
强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力。

列车在
驱动系统作用下沿Ox 方向加速行驶，某时刻速度为v (v <v 0)。

(1)简要叙述列车运行中获得驱动力的原理；
(2)为使列车获得最大驱动力，写出MN 、PQ 边应处于磁场中的什么位置及λ与d 之间应满足的关系式：
(3)计算在满足第(2)问的条件下列车速度为v 时驱动力的大小。

解析： (1)由于列车速度与磁场平移速度不同，导致穿过金属框的磁通量发生变化，由于电磁感应，金属框中会产生感应电流，该电流受到的安培力即为驱动力。

(2)为使列车获得最大驱动力，MN 、PQ 应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的地方，这会使得金属框所围面积的磁通量变化率最大，导致框中电流最强，也会使得金属框长边中电流受到的安培力最大。

因此，d 应为2λ
的奇数倍，即 (21)2d k λ
=+ 或221d k λ
=+ （k N ∈）①
（3）
22004()B l v v F R -=
2、如图所示，AB 、CD 是两根足够长的固定平
行金属导轨，两导轨间的距离为L ，导轨平面与水平
面的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平
面斜 向上方的匀强磁场，磁感应强度为B ，在导
轨的 AC 端连接一个阻值为 R 的电阻，一根质量为
m 、垂直于导轨放置的金属棒ab ，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中ab 棒的最大速度。

已知ab 与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻都不计。

答案：()22cos sin L B R mg v m θμθ-=。

3、如图所示，水平面上有两根平行的光滑导轨MN 、PQ ，相距L=1m ，在M 和P 之间接有R=2Ω的定值电阻，金属棒a b 的质量
m=0.5kg ，垂直放在导轨上，整个装置
处于竖直向上的匀强磁场中，磁感强度
为B=0.5T ，其它电阻不计。

（1）若金
属棒a b 在F 力作用下，以a =4m/s 2的
加速度向右从静止开始作匀加速直线运动，求第10s 末拉力F 的大小。

（2）在图中，画出力F 的大小随时间变化的图线。

答案：
N F 7= 。

t F 5.02+=
4、在竖直平面内有两条平行的光滑金属导轨ab 、cd 被竖直地固定，导轨处在与导轨平面垂直的匀强磁场中，如图所
示。

已知：与导轨相连的电源电动势为3.0V ，内阻0.5
Ω，匀强磁场磁感应强度为0.80T ，水平放置的导体棒
MN 的电阻为1.5Ω，两端与导轨接触良好，且能沿导
轨无摩擦滑动（其它电阻不计）。

当单刀双掷电键S 与
1接通时，导体棒刚好保持静止状态。

试确定：（1）磁场方向，并在图中画出。

（2）S 与1接通时，导体棒的电热功率。

（3）当电键S 与2接通后，导体棒MN 在运动过程中，单位时间（1s ）内导体棒扫过
的最大面积。

（导轨足够长，结果保留两位有效数字。

） 答案：W R r R E P
MN 4.3)(2=+=。

)(8.2)(2m r R B RE S m =+=。

二、电磁感应中的电路问题
5、据报道，1992年7月，美国“阿特兰蒂斯”号航天飞机进行了一项卫星悬绳发电实验，实验取得了部分成功.航天飞机在地球赤道上空离地面约3000 km 处由东向西飞行，相对地面速度大约6.5×103 m/s ，从航天飞机上向地心方向发射一颗卫星，携带一根长20 km ，电阻为800 Ω的金属悬绳，使这根悬绳与地磁场垂直，做切割磁感线运动.假定这一范围内的地磁场是均匀的.磁感应强度为4×10-5T ，且认为悬绳上各点的切割速度和航天飞机的速度相同.根据理论设计，通过电离层（由等离子体组成）的作用，悬绳可以产生约3 A 的感应电流，试求：
（1）金属悬绳中产生的感应电动势；（2）悬绳两端的电压；
（3）航天飞机绕地球运行一圈悬绳输出的电能（已知地球半径为6400 km ）。

答案：E =UIt =2800×3×9.1×103 J=７.6×107 J
（电离层）
6、如图所示，竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B =0.5 T ，并且以t B
∆∆=0.1 T/s 在变化，水平轨道电阻不计，且不计摩擦阻力，宽0.5 m
的导轨上放一电阻R 0=0.1 Ω的导体棒，并用水平线通过定滑轮吊着质量M =0.2 kg 的重物，轨道左端连接的电阻R =0.4 Ω，图中的l =0.8 m ，求至少经过多长时间才能吊起重物.
答案：4.95s
7.（2008·山东·22）两根足够长的光滑导轨竖直放置,间距为L ,底端接阻值为R 的电阻.将质
量为m 的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端,金属棒和导轨接触良好,导轨所在平面与磁感
应强度为B 的匀强磁场垂直,如图所示.除电阻R 外其余电阻不计.现将金属棒从弹簧原长位置
由静止释放,则 （ ）
A .释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g
B .金属棒向下运动时,流过电阻R 的电流方向为a →b
C .金属棒的速度为v 时,所受的安培力大小为F =R L B v 2
2
D .电阻R 上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少
答案 AC
三、电磁感应中的能量问题
【例1】 如图所示，矩形线圈abcd 质量为m ，宽为d ，在竖直平面内由静止自由下落。

其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上、下边界水平，宽度也为d ，线圈ab 边刚进入磁场就开始做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程，产生了多少电热？
答案：Q =2mgd 。

【例2】如图所示，水平面上固定有平行导轨，
磁感应强度为B 的匀强磁场方向竖直向下。

同种合金
做的导体棒ab 、cd 横截面积之比为2∶1，长度和
导轨的宽均为L ，ab 的质量为m ，电阻为r ，开始
时ab 、cd 都垂直于导轨静止，不计摩擦。

给ab 一个向右的瞬时冲量I ，在以后的运动中，cd 的最大速度v m 、最大加速度a m 、产生的电热各是多少？
提示：系统动能损失为ΔE K =I 2/ 6m ，其中cd 上产生电热Q=I 2/ 9m
【例3】两根相距d =0.20 m 的平行金属长导轨固
定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，
磁场的磁感应强度B =0.20 T ，导轨上面横放着两条金
属细杆，构成矩形闭合回路.每条金属细杆的电阻为r =0.25 Ω，回路中其余部分的电阻可不计，
已知两金属细杆在平行导轨的拉力作用下b
c
沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v =5.0 m/s ，如图所示，不计导轨上的摩擦。

（1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小.
（2）求两金属细杆在间距增加0.40 m 的滑动过程中共产生的热量
【提示】将电路转换为直流电路模型如图：
【答案】（1）3.2×10-2 N （2）1.28×10-2 J
【例4】 如图所示，AB 和CD 是足够长的平
行光滑导轨，其间距为l ，导轨平面与水平面的夹
角为θ.整个装置处在磁感应强度为B 的，方向垂
直于导轨平面向上的匀强磁场中.AC 端连有电阻
值为R 的电阻.若将一质量M ，垂直于导轨的金属
棒EF 在距BD 端s 处由静止释放，在EF 棒滑至底端前会有加速和匀速两个运动阶段.今用大小为F ，方向沿斜面向上的恒力把EF 棒从BD 位置由静止推至距BD 端s 处，突然撤去恒力F ，棒EF 最后又回到BD 端.求：
（1）EF 棒下滑过程中的最大速度.
（2）EF 棒自BD 端出发又回到BD 端的整个过程中，有多少电能转化成了内能（金属棒、导轨的电阻均不计）? （，ΔE =F s-21M =
22sin l B MgR ）2
4、不平行导轨问题：
1、无限长的光滑平行导体框架MON、xo’y水平放置，左右两侧的宽度分别为L1、L2，且L1=2L2=2L，匀强磁场垂直纸面向里，范围足够大，磁感应强度为B两根金属棒a、b的质量分别为Ma=2Mb=2m，电阻分别为Ra=2Rb=2R，导轨电阻不计，初始金属棒a、b离OO’足够远。

⑴若开始时金属棒b静止，而给金属棒a一个水平向右的初速V0，求此时b棒的加速度？a=2B2L2V0/3Mr
⑵若使棒a、b同时获得相向的速度，大小分
别为V a、Vb，且Vb= 2V a=2 V0，求在以后过
程中b棒的最小速度。

V a’= V0/3 向左
Vb’= 2V0
/3 向左
5、圆形导轨
2、一个粗细均匀、电阻为2R的金属圆环，放置在垂直于纸面向里的匀强磁场中，其直径为L，将长也L、电阻为R/2的金属棒ab 放置在金属圆环上，并以速率v匀速向右，当ab 运动到图示位置时，θ=60°，ab两端的电势差为多少？
解析：电动势E=BL V，圆环左右两部分并联与cd部分串联，
Uac=Udb=BL（1－sinθ）V/2 Ecd=BL sinθV
圆环左右两部分电阻分别为R1=4R/3，R2=2R/3，cd 部分电阻为r=R sinθ/2
电路中电流I=Ecd/（R1//R2+r ） Ucd=E －Ir =163938+BLV
∴ Uab= Uac+Udb+ Ucd=
643365334++BLV ）（ ，且b 端电势高。

三角形轨道 3、三角形金属框架MON 平面与匀强磁场B 垂直，导体ab 能紧
贴金属框运动，当导体从O 点看势向右匀速平
动时，速率为V ，则回路Obc 中感应电动势随
时间变化的函数关系怎样？
解析；E=BL cb V=B （V ·t ·tg30°）V=BV 2 tg30°·t
正弦形导轨
4、匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B=0.40T ，OCA 导轨与OA 直导轨分别在O 点和A 点接一阻值R1=3.0Ω和R2=6.0Ω几何尺寸可忽略的定值电阻，导轨OCA 的曲线方程为y=1.0sin(πx/3)(m)，金属棒ab 长1.5米，以速度v=5.0m/s 水平向右匀速运动。

（b 点始终在x 轴上），设金属棒与导轨接触良好，摩擦不计，电路中除了电阻R1、R2外，其余电阻不计，曲线OCA 与x 轴之间所围面积越为1.9㎡。

求：
⑴金属棒在导轨上运动时R1的最大功率
⑵金属棒在导轨上运动从x=0到x=3m 的过程中通过金属棒ab 的电量
⑶金属棒在导轨上运动从x=0到x=3m的过程中，外力必须做多少功？
解析：⑴金属棒切割产生的电动势ε
=ByV=BV sin(πx/3)
R1上产生的功率P1=ε2/R1
当sin(πx/3)=1，即x=1.5m时P1max=（0.4×5.0×1）2/3.0=4/3w
⑵Q=I平t=△φ/R总=BS（R1+R2）/R1R2=0.38C
⑶由动能定理W外－W A=0－0
W A=E有效2t/ R总t=OA/v=0.6s
而金属棒产生的电动势ε= BV sin(πx/3)是按正弦变化的
∴W外=0.6J
∴V
Em
E2
=
2=
有效
5、两根相距d=0.20m的平行光滑金属导轨
育水平方向成30°角固定，匀强磁场的磁
感应强度B=0.20T，方向垂直两导轨组成的
平面，两根金属棒ab、cd互相平行且始终
育导轨垂直地放在导轨上，它们的质量分别为M1=0.1kg，M2=0.02kg，两棒电阻均为0.02Ω，导轨电阻不计，
⑴当ab棒在平行于导轨平面斜向上的外力作用下，以V=1.5m/s 速度沿斜面匀速向上运动时，求金属棒cd运动的最大速度答案：
2.5m/s
⑵若要使ab棒向上运动、cd向下运动，而磁场强度B不变，则题目中的条件应受到哪些定量的限制？（只要求出一个，g=10m/s2）答案：V＜mgRsinθ/B2L2
6、水平平面内固定两平行的光滑导轨，左边两导轨间距2L，右边两导轨间距L，左右部分用导轨材料连接，两导轨间都存在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场。

Ab、cd两均匀的导体棒分别垂直放在左边和右边导轨间，ab棒的质量为2m。

电阻为2r，cd棒的质量为m，电阻为r，其他部分电阻不计。

原来两棒均处于静止状态，cd棒杂一沿导轨向右的水平恒力F作用下开始运动，设两导轨足够长，两棒都不会滑出各自的导轨，试分析两棒最终达到何种稳定状态？在达到稳定状态时ab棒产生的热功率多大？
23：(18分)如图所示，质量为m，电荷量为+q的小球从距地面
一定高度的0点，以初速度v0沿着水平方向抛出，已知在小球
运动的区域里，存在着一个与小球的初速度方向相反的匀强电
场，如果测得小球落地时的速度方向恰好是竖直向下的，且已知
小球飞行的水平距离为L，求：
(1)电场强度E为多大？
(2)小球落地点A与抛出点0之间的电势差为多大?
(3)小球落地时的动能为多大?
24．(18分)空间某区域内存在水平方向的匀强磁场B，在磁场区域内有两根相距l1的平行金属导轨PQ、MN，固定在竖直平面内，如图所示。

PM间连接有阻值为R 的电阻；QN间连接着两块水平放置的平行金属板a、b，两板相距l2。

一根电阻
为r的细导体棒cd与导轨接触良好．不计导轨和导线的电阻。

若导体棒cd以速率V向右匀速运动时，在平行金属板a,b之间有一个带电液滴恰好在竖直平面内做匀速圆周运动。

求：
(1)液滴带什么电?为什么?
(2)若带电液滴的重量为mg，求滴液的带电量q是多少?
(3)带电液滴在a、b之间做匀速圆周运动时，从图中的A 点开始，当位移大小恰好等于该
圆的直径时，所对应的时间t n可能是多少?。