八年级初二数学 提高题专题复习平行四边形练习题及答案

八年级初二数学 提高题专题复习平行四边形练习题及答案
一、选择题
1．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，CE 、DF 交于点G,连接AG 、HG ．下列结论：①CE ⊥DF ；②AG=DG;③∠CHG=∠DAG ．其中，正确的结论有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2．如图，四边形,ABCD AD 与BC 不平行，AB CD =．,AC BD 为四边形ABCD 的对角线，,,E F ,G H 分别是,,,BD BC AC AD 的中点下列结论：①EG FH ⊥；②四边形
EFGH 是矩形；③HF 平分;EHG ∠④()1 2
EG BC AD =
-；⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，在ABC 中，BD ，CE 是ABC 的中线，BD 与CE 相交于点O ，点F G ，分别是，BO CO 的中点，连接AO ，若要使得四边形DEFG 是正方形，则需要满足条件（ ）
A ．AO BC =
B ．AB A
C ⊥
C ．AB AC =且AB AC ⊥
D ．AO BC =且AO BC ⊥ 4．平行四边形的一边长是12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ） A ．10和34
B ．18和20
C ．14和10
D ．10和12
5．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE =30°，AB
=3 ，折叠后，点
C 落在A
D 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）
A ．3
B ．3
C ．2
D ．23
6．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，过点
E 作E
F ∥CD ，交AD 于F ，交对角线BD 于
G ，取DG 的中点
H ，连结AH ，EH ，FH ．下列结论：①∠EFH ＝45°；
②△AHD ≌△EHF ；③∠AEF +∠HAD ＝45°； ④若BE
EC
＝2，则
11
13
=
BEH AHE
S S ．其中结论正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
7．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点P 在边AD 上从点A 到点D 运动，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BD 于点F ，已知AB=3，AD=4，随着点P 的运动，关于PE+PF 的值，下面说法正确的是（ ）
A ．先增大，后减小
B ．先减小，后增大
C ．始终等于2.4
D ．始终等于3
8．如图，正方形ABCD 的边长为2，Q 为CD 边上（异于C ，D ） 的一个动点，AQ 交BD 于点M ．过M 作MN ⊥AQ 交BC 于点N ，作NP ⊥BD 于点P ，连接NQ ，下面结论：
①AM=MN ；②2CNQ 的周长为3；④BD+2BP=2BM ，其中一定成立的是（ ）
A ．①②③④
B ．①②③
C ．①②④
D ．①④
9．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP=EF ；②△APD 一定是等腰三角形；③AP ⊥EF ；④
2
PD=EF ．其中正确结论的番号是（ ）
A ．①③④
B ．①②③
C ．①③
D ．①②④
10．如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E 为BC 边的中点，沿AP 折叠使D 点落在AE 上的点H 处，连接PH 并延长交BC 于点F ，则EF 的长为( )
A 525
-B 55
-C ．353
D ．
14
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④3
4
AB AD =
，则254
BDG
FDG
S S =
，正确的有__________________．
12．已知在矩形ABCD中，
3
,3,
2
AB BC
==点P在直线BC上，点Q在直线CD上，且
,
AP PQ
⊥当AP PQ
=时，AP=________________．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E为BC边上一动点，作EF⊥AE，且EF＝AE．连接DF，AF．当DF⊥EF时，△ADF的面积为_____．
14．在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则DEF的周长为______．
15．如图，直线1l，2l分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y轴．OABC的顶点A，C 分别在直线1l和2l上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为_________．
16．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．
17．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若∠CBF=20°，则∠AED 等于__度．
18．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，点M 为线段AB 的中点．点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上运动，且DE ＝AB ＝10．以DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，则线段MG 长度的最大值为_____．
19．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =DF =_________．
20．如图，矩形纸片ABCD ，AB =5，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP =OF ，则AF 的值为______．
三、解答题
21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE
（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形． 22．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）． （1）求证：AF ∥CE ；
（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为
32
cm 2
； （3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．
23．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．
（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；
（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；
（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由． 24．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．
（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________．
（2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值． 25．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC
AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O .
（1）求证：EF DA ⊥.
（2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.
26．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连接CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点C 、E 、F 、G 按逆时针排列），连接BF.
（1）如图1,当点E 与点D 重合时，BF 的长为 ；
（2）如图2，当点E 在线段AD 上时，若AE=1，求BF 的长；（提示：过点F 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点M ，交AD 的延长线于点N.） （3）当点E 在直线AD 上时，若AE=4，请直接写出BF 的长.
27．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒
3
2
的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒33
2
+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点. (1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.
(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.
(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.
28．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线
AC 于点F ，连接BE ．
（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由； （2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；
（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．
29．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ． （1）求证：AG AE =
（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM
30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值； （3）当32
5
t =
时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
连接AH ，由四边形ABCD 是正方形与点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，容易证得△BCE ≌△CDF 与△ADH ≌△DCF ，根据全等三角形的性质，容易证得CE ⊥DF 与AH ⊥DF ，
故①正确；根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD，继而AG=DC，而DG≠DC，所以
AG≠DG，故②错误；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=1
2 DC，
∠CHG=2∠GDC，根据等腰三角形的性质，即可得∠DAG=2∠DAH=2∠GDC．所以∠DAG=∠CHG，④正确，则问题得解．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°，
∵点E. F. H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE=FC
∴△BCE≌△CDF，
∴∠ECB=∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠CDF=90°，
∴∠CGD=90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
连接AH，
同理可得：AH⊥DF，
∵CE⊥DF，
∴△CGD为直角三角形，
∴HG=HD=1
2 CD，
∴DK=GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG=AD=DC，
在Rt△CGD中，DG≠DC，
∴AG≠DG，故②错误；
∵AG=AD, AH垂直平分DG
∴∠DAG=2∠DAH,
根据①，同理可证△ADH≌△DCF ∴∠DAH=∠CDF，
∴∠DAG=2∠CDF,
∵GH=DH，
∴∠HDG=∠HGD ，
∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF ，
∴∠GHC=∠DAG ，故③正确，
所以①和③正确选择C.
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用边角边，容易证明
△BCE ≌△CDF ，从而根据全等三角形的性质和等量代换即可证∠ECD+∠CDF=90°，从而①可证；证②时，可先证AG=DC ，而DG≠DC ，所以②错误；证明③时，可利用等腰三角形的性质，证明它们都等于2∠CDF 即可.
2．C
解析：C
【分析】
先根据三角形中位线定理，得出EF=FG=GH=HE ，进而得到四边形EFGH 是菱形，据此可判断结论是否正确，最后取AB 的中点P ，连接PE ，PG ，根据三角形三边关系以及三角形中位线定理，即可得出()1 2EG BC AD >
-． 【详解】
解：∵E ，F 分别是BD ，BC 的中点，
∴EF 是△BCD 的中位线，
∴EF=12CD ， 同理可得，GH=
12CD ，FG=12AB ，EH=12AB ， 又∵AB=CD ，
∴EF=FG=GH=HE ，
∴四边形EFGH 是菱形，故⑤正确，②错误，
∴EG ⊥FH ，HF 平分∠EHG ，故①、③正确，
如图所示，取AB 的中点P ，连接PE ，PG ，
∵E 是BD 的中点，G 是AC 的中点，
∴PE 是△ABD 的中位线，PG 是△ABC 的中位线，
∴PE=12AD ，PG=12
BC ，PE ∥AD ，PG ∥BC ， ∵AD 与BC 不平行，
∴PE 与PG 不平行，
∴△PEG 中，EG ＞PG -PE ，
∴EG ＞12BC 12
-AD ， 即EG ＞
12
（BC -AD ），故④错误． 综上所述，正确的有①③⑤．
故选：C ．
【点睛】 本题主要考查了中点四边形，三角形三边关系以及三角形中位线定理的运用，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
3．D
解析：D
【分析】 根据三角形中位线定理得到12DE BC =，//DE BC ，12
FG BC =，//FG BC ，得到四边形DEFG 为平行四边形，根据正方形的判定定理解答即可．
【详解】 解：点E 、D 分别为AB 、AC 的中点，
12
DE BC ∴=，//DE BC ， 点F 、G 分别是BO 、CO 的中点， 12FG BC ∴=
，//FG BC ， DE FG ∴=，//DE FG ，
∴四边形DEFG 为平行四边形，
点E 、F 分别为AB 、OB 的中点，
12
EF OA ∴=，//EF OA ， 当EF FG =，即AO BC =时平行四边形DEFG 为菱形，
当AO BC ⊥时，DE OA ⊥，
//EF OA ，
EF FG ∴⊥，
∴四边形DEFG 为正方形，
则当AO BC =且AO BC ⊥时，四边形DEFG 是正方形，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、正方形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4．B
【分析】
作CE∥BD，交AB的延长线于点E，根据平行四边形的性质得到△ACE中，
AE=2AB=24，再根据三角形的三边关系即可得到答案.
【详解】
解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，
∵AB=CD，DC∥AB
∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD=AB，
∴在△ACE中，AE=2AB=24＜AC+CE，
∴四个选项中只有A，B符合条件，但是10，34，24不符合三边关系，
故选：B．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，三角形的三边关系，利用平行线将对角线及边转化为三角形是解题的关键.
5．B
解析：B
【解析】
试题分析：由三角函数易得BE，AE长，根据翻折和对边平行可得△AEC1和△CEC1为等边三角形，那么就得到EC长，相加即可．
解：连接CC1.
在Rt△ABE中,∠BAE=30°,AB3
∴BE=AB×tan30°=1,AE=2,∠AEB1=∠AEB=60°，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠C1AE=∠AEB=60°，
∴△AEC1为等边三角形，
同理△CC1E也为等边三角形，
∴EC=EC1=AE=2，
∴BC=BE+EC=3，
6．A
解析：A
【分析】
①根据正方形的性质证明∠ADB ＝45°，进而得△DFG 为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一性质得∠EFH ＝12∠EFD ＝45°，故①正确； ②根据矩形性质得AF ＝EB ，∠BEF ＝90°，再证明△AFH ≌△EGH 得EH ＝AH ，进而证明△EHF ≌△AHD ，故②正确；
③由△EHF ≌△AHD 得∠EHF ＝∠AHD ，怀AH ＝EH 得∠AEF +∠HEF ＝45°，进而得∠AEF +∠HAD ＝45°，故③正确；
④如图，过点H 作MN ⊥AD 于点M ，与BC 交于点N ，设EC ＝FD ＝FG ＝x ，则BE ＝AF ＝EG ＝2x ，BC ＝DC ＝AB ＝AD ＝3x ，HM ＝12x ，AM ＝52x ，HN ＝52
x ，由勾股定理得AH 2，再由三角形的面积公式得BEH AHE S S
，便可判断④的正误．
【详解】 证明：
①在正方形ABCD 中，∠ADC ＝∠C ＝90°，∠ADB ＝45°，
∵EF ∥CD ，
∴∠EFD ＝90°，
∴四边形EFDC 是矩形．
在Rt △FDG 中，∠FDG ＝45°，
∴FD ＝FG ，
∵H 是DG 中点，
∴∠EFH ＝12
∠EFD ＝45° 故①正确；
②∵四边形ABEF 是矩形，
∴AF ＝EB ，∠BEF ＝90°，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠EBG ＝∠EGB ＝45°，
∴BE ＝GE ，
∴AF ＝EG ．
在Rt △FGD 中，H 是DG 的中点，
∴FH ＝GH ，FH ⊥BD ，
∵∠AFH ＝∠AFE +∠GFH ＝90°+45°＝135°，
∠EGH ＝180°﹣∠EGB ＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AFH ＝∠EGH ，
∴△AFH ≌△EGH （SAS ），
∴EH ＝AH ，
∵EF ＝AD ，FH ＝DH ，
∴△EHF ≌△AHD （SSS ），
故②正确；
③∵△EHF ≌△AHD ，
∴∠EHF ＝∠AHD ，
∴∠AHE ＝∠DHF ＝90°，
∵AH ＝EH ，
∴∠AEH ＝45°，
即∠AEF +∠HEF ＝45°，
∵∠HEF ＝∠HAD ，
∴∠AEF +∠HAD ＝45°，
故③正确；
④如图，过点H 作MN ⊥AD 于点M ，与BC 交于点N ，
设EC ＝FD ＝FG ＝x ，则BE ＝AF ＝EG ＝2x ，
∴BC ＝DC ＝AB ＝AD ＝3x ，HM ＝
12x ，AM ＝52x ，HN ＝52x ， ∴22225113222AH x x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＝， ∴2
11021132BEH AHE BE HN S =S AH ⋅=， 故④错误；
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，这是一道几何
综合型题，关键是根据正方形的性质得到线段的等量关系，然后利用矩形、等腰三角形的性质进行求解即可．
7．C
解析：C
【分析】
在矩形ABCD 中，由矩形边长，可得矩形面积是12，进而得134AOD ABCD S S ==矩形，由矩形对角线相等且互相平分得AO OC =，OB OD =，AC BD =，利用勾股定理可解得
5AC =,则52
OA OD ==，111()3222
AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF =+=+=+==，即可求出PE+PF 的值．
【详解】
解：连接PO ，如下图：
∵在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，
∴12ABCD S AB BC ==矩形,
AO OC =，OB OD =，AC BD =，
225AC AB +BC ，
∴1112344
AOD ABCD S S ==⨯=矩形, 52
OA OD ==， 11115()()322222
AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF PE PF =+=+=+=⨯+=，
∴12 2.45
PE PF +=
=； 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，利用等积法间接求三角形的高线长及用勾股定理求直角三角形的斜边；利用面积法求解，是本题的解题突破点． 8．C
解析：C
【分析】
连接AC交BD于O，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，延长CB到H，使得BH=DQ．
①正确．只要证明△AME≌△NMF即可；
②正确．只要证明△AOM≌△MPN即可；
③错误．只要证明∠ADQ≌△ABH，由此推出△ANQ≌△ANH即可；
④正确．只要证明△AME≌△NMF，证得四边形EMFB是正方形即可解决问题；【详解】
连接AC交BD于O，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，延长CB到H，使得BH=DQ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，222，∠DBA=∠DBC=45°，
∴ME=MF，
∵∠MEB=∠MFB=∠EBF=90°，
∴四边形EMFB是矩形，
∵ME=MF，
∴四边形EMFB是正方形，
∴∠EMF=∠AMN=90°，
∴∠AME=∠NMF，
∵∠AEM=∠MFN=90°，
∴△AME≌△NMF（ASA），
∴AM=MN，故①正确；
∵∠OAM+∠AMO=90°，∠AMO+∠NMP=90°，
∴∠AMO=∠MNP，
∵∠AOM=∠NPM=90°，
∴△AOM≌△MPN（AAS），
∴2，故②正确；
∵DQ=BH，AD=AB，∠ADQ=∠ABH=90°，
∴∠ADQ≌△ABH（SAS），
∴AQ=AH，∠QAD=∠BAH，
∴∠BAH+∠BAQ=∠DAQ+∠BAQ=90°，
∵AM=MN，∠AMN=90°，
∴∠NAQ=∠NAH=45°，
∴△ANQ≌△ANH（SAS），
∴NQ=NH=BN+BH=BN+DQ，
∴△CNQ的周长=CN+CQ+BN+DQ=4，故③错误；
∵BD+2BP=2BO+2BP=2AO+2BP=2PM+2BP，
∴BD+2BP=2BM，故④正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9．C
解析：C
【分析】
过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，
DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得
2
2
DP EC
，即可得到答案．
【详解】
证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
∴AP=EF；故①正确；
延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG=∠PFH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，
即AP ⊥EF ；故③正确；
∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∠ADP=45度，
∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD 是等腰三角形，
除此之外，△APD 不是等腰三角形，故②错误．
∵GF ∥BC ，
∴∠DPF=∠DBC ，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC ，
∴在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2， ∴22
DP EC =，故④错误． ∴正确的选项是①③；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
10．A
解析：A
【分析】
首先证明Rt △AFB ≌Rt △AFH ，推出BF=FH ，设EF=x ，则BF=FH=
12
x -，在Rt △FEH 中，根据222,EF EH FH =+构建方程即可解决问题；
【详解】
解：连接AF ．
∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=BC=1，∠B=90°，
∵BE=EC=
12， ∴2252
AB BE += 由翻折不变性可知：AD=AH=AB=1，
∴1-， ∵∠B=∠AHF=90°，AF=AF ，AH=AB ，
∴Rt △AFB ≌Rt △AFH ，
∴BF=FH ，设EF=x ，则BF=FH=
12x -， 在Rt △FEH 中，∵222,EF EH FH =+
∴2221()1),2x x =-+
∴52
x -= 故选：A ．
【点睛】
本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，
二、填空题
11．①③④
【分析】
由矩形的性质可得AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD ，由角平分线的性质和余角的性质可得∠F=∠FAD=45°，可得AD=DF=BC ，可判断①；通过证明
△DCG ≌△BEG ，可得∠BGE=∠DGC ，BG=DG ，即可判断②③；过点G 作GH ⊥CD 于H ，设AD=4x=DF ，AB=3x ，由勾股定理可求BD=5x ，由等腰直角三角形的性质可得
HG=CH=FH=
12x ，，由三角形面积公式可求解，可判断④． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD ，
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠F=∠FAD ，
∴AD=DF ，
∴BC=DF ，故①正确；
∵∠EAB=∠BEA=45°，
∴AB=BE=CD ，
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF 是等腰直角三角形，
∵点G 为EF 的中点，
∴CG=EG ，∠FCG=45°，CG ⊥AG ，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG 和△BEG 中，
===BE CD BEG DCG CG EG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴△DCG ≌△BEG （SAS ）．
∴∠BGE=∠DGC ，BG=DG ，
∵∠BGE ＜∠AEB ，
∴∠DGC=∠BGE ＜45°，
∵∠CGF=90°，
∴∠DGF ＜135°，故②错误；
∵∠BGE=∠DGC ，
∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA ，
∴∠CGA=∠DGB=90°，
∴BG ⊥DG ，故③正确；
过点G 作GH ⊥CD 于H ，
∵34
AB AD =， ∴设AD=4x=DF ，AB=3x ，
∴CF=CE=x ，22AB AD x +，
∵△CFG ，△GBD 是等腰直角三角形，
∴HG=CH=FH=
12x ，52x ， ∴S △DGF =
12×DF×HG=x 2，S △BDG =12DG×GB=254x 2， ∴254BDG FDG S S =，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
12．322或3102
【分析】 根据点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，分两种情况：1.P 、Q 点位于线段上；2.P 、Q 点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.
【详解】
解：当P 点位于线段BC 上，Q 点位于线段CD 上时:
∵四边形ABCD 是矩形
,AP PQ ⊥
∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC
∵AP PQ =
∴ABP PCQ ≅
∴PC=AB=32，BP=BC-PC=3-32=32
∴AP=223
322+（）（）=322
当P 点位于线段BC 的延长线上，Q 点位于线段CD 的延长线上时:
∵四边形ABCD 是矩形
,AP PQ ⊥
∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC
∵AP PQ =
∴ABP PCQ ≅
∴PC=AB=32，BP=BC+PC=3+32=92
∴223
922+（）（）3102
故答案为：3
2
2
或
3
10
2
【点睛】
此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键.
13．3﹣32 2
【分析】
作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE的长，根据勾股定理可得BE的长，设AE＝x，证明△ABE≌△EQF（AAS），得FQ＝BE＝2，最后根据三角形面积公式可得结论．
【详解】
解：如图，过D作DH⊥AE于H，过E作EM⊥AD于M，连接DE，
∵EF⊥AE，DF⊥EF，
∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°，
∴四边形DHEF是矩形，
∴DH＝EF＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∵∠AME＝90°，
∴四边形ABEM是矩形，
∴EM＝AB＝2，
设AE＝x，
则S△ADE＝11
AD EM AE DH 22
⋅=⋅，
∴3×2＝x2，
∴x6，
∵x＞0，
∴x6，
即AE6，
由勾股定理得：BE22
(6)2
-2，
过F 作PQ ∥CD ，交AD 的延长线于P ，交BC 的延长线于Q ，
∴∠Q ＝∠ECD ＝∠B ＝90°，∠P ＝∠ADC ＝90°，
∵∠BAE ＋∠AEB ＝∠AEF ＝∠AEB ＋∠FEQ ＝90°，
∴∠FEQ ＝∠BAE ，
∵AE ＝EF ，∠B ＝∠Q ＝90°，
∴△ABE ≌△EQF （AAS ），
∴FQ ＝BE ，
∴PF ＝2，
∴S △ADF ＝
1AD PF 2⋅＝13(22⨯⨯＝3﹣2
． 【点睛】
此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题． 14．15.5
【分析】
先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得
6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得
1 4.52
EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】
由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠
AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥
90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒
B BDE ∴∠=∠
BE DE ∴=
1112622
DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ===
=⨯= 又,AE BE AF CF ==
∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点
EF ∴是ABC 的中位线
119 4.522
EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=
故答案为：15.5．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．
15．5
【分析】
过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则
OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．
【详解】
解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．
∵四边形OABC 是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，
∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，
∴AM ∥CN ，
∴四边形ANCM 是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM ，
∴∠OAF=∠BCD ，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC ，
在△OAF 和△BCD 中，
FOA DBC OA BC
OAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴
．
由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 16．32【详解】
解析：∵在正方形ABCD 中，AC=62
∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°
设EF 与AD 交点为O ，O 是AD 的中点,
∴AO=3
以AD 为对角线的所有▱AEDF 中，当EF ⊥AC 时，EF 最小，
即△AOE 是直角三角形，
∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=
22OA=322
， ∴EF=2OE=3217．65
【分析】
先由正方形的性质得到∠ABF 的角度，从而得到∠AEB 的大小，再证△AEB ≌△AED ，得到∠AED 的大小
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形
∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD
∵∠FBC=20°，∴ABF=70°
∴在△ABE 中，∠AEB=65°
在△ABE 与△ADE 中 45AB AD BAE EAD AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△ABE≌△ADE
∴∠AED=∠AEB=65°
故答案为：65°
本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出
∠AEB的大小.
18．10+55
【分析】
取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得55
NG=．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值．
【详解】
如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM．
∵∠AOB＝90°，
∴OM＝1
2
AB＝5．
同理ON＝5．
∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10，
∴2222
10555
NG DN DG
++
＝＝＝．
在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），
如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝1
2
∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，
M、O、N、G四点共线，此时等号成立，
∴线段MG取最大值5
故答案为：5
此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键．
19．4
【分析】
证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．
【详解】
解：∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE=BE．
∵∠CEF=∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA）．
∴CF=BD．
∴四边形CDBF是平行四边形．
作EM⊥DB于点M，
∵四边形CDBF是平行四边形，22
BC=
∴BE=1
2
2
BC=，DF=2DE，
在Rt△EMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM
∴EM=1，
在Rt△EMD中，
∵∠EDM=30°，
∴DE=2EM=2，
∴DF=2DE=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，
20．20 7
【分析】
根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由“AAS”可证△OEF≌△OBP，可得出OE=OB、
EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=5-x、BF=PC=3-x，进而可得出AF=2+x，在Rt△DAF中，利用
勾股定理可求出x 的值，即可得AF 的长．
【详解】
解：∵将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，
∴DC =DE =5，CP =EP ．
在△OEF 和△OBP 中，
90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
, ∴△OEF ≌△OBP （AAS ），
∴OE =OB ，EF =BP ．
设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =5-x ，
又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，
∴AF =AB -BF =2+x ．
在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，
∴（2+x ）2+32=（5-x ）2，
∴x =67
∴AF =2+67=207
故答案为：
207 【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
三、解答题
21．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒
【分析】
（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；
（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．
【详解】
解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：
∵DE BC ⊥，
90DFE ∴∠=︒，
∵90ACB ∠=︒，
ACB DFB ∴∠=∠，
//AC DE ∴，
∵//MN AB ，即//CE AD ，
∴四边形ADEC 是平行四边形，
CE AD ∴=； D 为AB 中点，
AD BD ∴=，
BD CE ∴=，
∵//BD CE ，
∴四边形BECD 是平行四边形，
∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，
12
CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；
（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：
∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，
45ABC ∴∠=︒，
∵四边形BECD 是菱形，
12
ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，
∴四边形BECD 是正方形．
故答案为：45︒．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．
22．（1）见解析；（2）t ＝2；（3）t ＝1．
【分析】
（1）由菱形的性质可得AB ＝CD ，AB ∥CD ，可求CF ＝AE ，可得结论；
（2）由菱形的性质可求AD ＝2cm ，∠ADN ＝60°，由直角三角形的性质可求AN ＝
cm ，由三角形的面积公式可求解；
（3）由菱形的性质可得EF ⊥GH ，可证四边形DFEM 是矩形，可得DF ＝ME ，由直角三角形的性质可求AM ＝1，即可求解．
【详解】
证明：（1）∵动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动， ∴DF ＝BE ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，
∴CF ＝AE ，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）如图1，过点A作AN⊥CD于N，
∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴DN＝1
2
AD＝1cm，AN＝3DN＝3cm，
∴S△ADF＝1
2×DF×AN＝
1
2
×
1
2
t×3＝
3
，
∴t＝2；
（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴FA＝CE，
∵点G是AF的中点，点H是CE的中点，
∴FG＝CH，
∴四边形FGHC是平行四边形，
∴CF∥GH，
∵四边形EHFG为菱形，
∴EF⊥GH，
∴EF⊥CD，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
又∵DM⊥AB，
∴四边形DFEM是矩形，
∴DF＝ME，
∵∠DAB ＝60°，
∴∠ADM ＝30°，
∴AM ＝12
AD ＝1cm ， ∵AM+ME+BE ＝AB ，
∴1+12t+12
t ＝2， ∴t ＝1．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
23．（1）AE t =；122AD t =-；DF t =；（2）证明见解析；（3）3t =；理由见解析．
【分析】
（1）根据题意用含t 的式子表示AE 、CD ，结合图形表示出AD ，根据直角三角形的性质表示出DF ；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）由题意得，AE t =，2CD t =，
则122AD AC CD t =-=-，
∵DF BC ⊥，30C ∠=︒，∴12
DF CD t =
= （2）∵90ABC ∠=︒，DF BC ⊥，∴AB DF ， ∵AE t =，DF t =，∴AE DF =，
∴四边形AEFD 是平行四边形；
（3）当3t =时，四边形EBFD 是矩形，
理由如下：∵90ABC ∠=︒，30C ∠=︒， ∴162
BC AC cm ==， ∵BE DF ∥，
∴BE DF =时，四边形EBFD 是平行四边形，
即6t t -=，解得，3t =，
∵90ABC ∠=︒，∴四边形EBFD 是矩形，
∴3t =时，四边形EBFD 是矩形．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握平行四边形、矩形的判定定理是解题的关键．
24．（1）8-2t ，8-t ；（2）
83或74
【分析】 （1）根据P 、Q 的运动速度以及AB 和CD 的长即可表示；
（2）分PQ=PB 、BP=BQ 和QP=QB 三种情况进行分析即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
DP=2t ，AQ=t ，
∴PC=8-2t ，BQ=8-t ，
故答案为：8-2t ，8-t ；
（2）当PQ=PB 时，
如图①，QH=BH ，
则t+2t=8，
解得，t=83
， 当PQ=BQ 时，
（2t-t ）2+62=（8-t ）2，
解得，t=74
， 当BP=BQ 时，
（8-2t ）2+62=（8-t ）2，
方程无解；
∴当t=
83或74
时，△BPQ 为等腰三角形． 【点睛】 本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定，掌握性质并灵活运用性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
25．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）由ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=︒，E 为BC 的中点，得到
12
DE AE BC ==
，从而EDA EAD ∠=∠，根据//DC AE 得到ADC EDA ∠=∠，再根据等腰三角形的性质得到EF DA ⊥；
（2）由4BC =求出DE=AE=2，根据EF DA ⊥，得到12
DO AD ==理求出EO ，由此得到22EF EO ==.
【详解】 （1）∵ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=︒，E 为BC 的中点
∴12
DE AE BC ==
∴EDA EAD ∠=∠
∵//DC AE
∴ADC EAD ∠=∠
∴ADC EDA ∠=∠ ∵DF DE =
∴EF DA ⊥.
(2)∵4BC =, ∴122
DE BC ==
∵DE AE =, ,EF DA AD ⊥=
∴12DO AD =
=
Rt DEO 中，1EO =
∵DF DE =
∴22EF EO ==
【点睛】
此题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用.（1）中点的运用很关键，确定边相等，利用等边对等角求得角的相等关系；（2）在证明中利用（1）的结论求
得12
DO AD ==是解题的关键.
26．（1）2；（3【分析】
（1）利用勾股定理即可求出.
（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，证出
ECD FEH ∆∆≌，进而求得MF ，BM 的长，再利用勾股定理，即可求得.
（3）分两种情况讨论，同（2）证得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.
【详解】
（1）由勾股定理得：BF ===
（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，如图2所示：。