【新高考】高三数学一轮复习知识点讲解3-1 函数的概念及其表示

专题3.1 函数的概念及其表示
【考纲解读与核心素养】
1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.
2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.
3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
4.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 5．高考预测：
（1）分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．
（2）函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.
6.备考重点：
（1）理解函数的概念、函数的定义域、值域、函数的表示方法；
（2）以分段函数为背景考查函数的相关性质问题.
【知识清单】
1．函数的概念
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几
个部分组成，但它表示的是一个函数.
【典例剖析】
高频考点一 函数的概念
【典例1】（2020·洪洞县第一中学高三期中（文））下面各组函数中是同一函数的是（ ） A ．32y x =-与2y x x =- B ．()
2
y x =与y x =
C ．11y x x =
+⋅-与()()11y x x =
+-
D ．()2
21f x x x =--与()2
21g t t t =-- 【答案】D 【解析】
因为选项A 中，对应关系不同，选项B 中定义域不同，对应关系不同，选项C 中，定义域不同，选项D 中定义域和对应法则相同，故选D.
【典例2】在下列图形中，表示y 是x 的函数关系的是________．
【答案】①②
【解析】由函数定义可知，自变量x 对应唯一的y 值，所以③④错误，①②正确． 【规律方法】
函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 【变式探究】
1.x R ∈，则()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ） A. ()2
f x x =， ()2
g x x =
B. ()1f x =， ()()0
1g x x =-
C.
()()2
x f x x
=
， ()
()
2
x
g x x
= D. ()29
3
x f x x -=+， ()3g x x =-
【答案】C
【解析】A 中: ()2g x x =
2
x x =≠;B 中: ()()()0
110g x x x =-=≠;C 中：， ()
()
2
x f x x
=
1,0{
1,0
x x >=-< ， ()()
2
x
g x x =
1,0
{ 1,0x x >=-<；D 中： ()()29
333
x f x x x x -==-≠-+,因此选C.
2.（2018届江西省检测考试（二））设，
，函数
的定义域为，值
域为，则
的图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为定义域为
，所以舍去A;因为值域为
，所以舍去D;因为对于定义域
内每一个x 有且只有一个y 值，所以去掉C ；选B. 【易混辨析】
1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．
2.从图象看，直线x=a 与图象最多有一个交点. 高频考点二：求函数的定义域
【典例3】（2019·江苏高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】
由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤
解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.
【典例4】（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]- ，则(21)y f x =-的定义域是（ ） A ．[0,
5
2
] B ．[1,4]- C ．[5,5]- D ．[3,7]-
【答案】A 【解析】
因为函数(1)y f x =+定义域是[2,3]- 所以114x -≤+≤
所以1214x -≤-≤，解得：5
02
x ≤≤ 故函数(21)y f x =-的定义域是[0,52
] 故选：A
【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2 B.1[1]3
，
C.[-15]，
D.无法确定
【答案】C 【解析】
由已知02x ≤≤，
1315x ∴-≤-≤，
即函数()f x 的定义域是[-15]，
， 故选：C ． 【规律方法】
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 【变式探究】
1.（2019·
山东省章丘四中高三月考）函数1
()lg(1)
f x x =++ ）
A ．[2,2]-
B ．[2,0)(0,2]-
C ．(1,0)(0,2]-⋃
D ．(-1,2]
【答案】C 【解析】
101
1()lg(1)00(1,0)(0,2]lg(1)202
x x f x x x x x x x +>⇒>-⎧⎪
=++≠⇒≠⇒∈-⋃⎨+⎪-≥⇒≤⎩
故答案选C
2．（2020·福建省福州第一中学高三）已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21
f x
g x x =-的定义域为（ ）
A ．[)(]0,11,2
B ．[)(]0,11,4
C ．[)0,1
D ．(]
1,4 【答案】C 【解析】
函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()
21
f x
g x x =
-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠ .所以10
022
x x -≠⎧⎨
≤≤⎩ 解得01x ≤< 故答案为C 【特别提醒】
求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达． 高频考点三：求函数的解析式
【典例6】（2019·天津南开中学高一期中）设函数()f x 满足1(
)11x
f x x
-=++，则()f x 的表达式为（ ）
A ．2
2
11x x
-+ B ．221x + C ．21x + D ．11x x -+ 【答案】C 【解析】 设11x t x -=
+，则11t x t -=+，所以12()111t f t t t -=+=++，所以2
()1f x x
=+，故选C ．
【典例7】（2019·安徽省毛坦厂中学高三月考（理））已知二次函数()2
f x ax bx c =++，满足()02f =，
()()121f x f x x +-=-.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求()f x 在区间[]1,2-上的最大值；
（3）若函数()f x 在区间[],1a a +上单调，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()2
22f x x x =-+；（2）5；（3）(][),01,-∞⋃+∞.
【解析】
（1）由()02f =，得2c =，
由()()121f x f x x +-=-，得221ax a b x ++=-，
故221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12
a b =⎧⎨=-⎩， 所以()2
22f x x x =-+.
（2）由（1）得：()()2
22211f x x x x =-+=-+， 则()f x 的图象的对称轴方程为1x =， 又
()15f -=，()22f =，
所以当1x =-时()f x 在区间[]1,2-上取最大值为5. （3）由于函数()f x 在区间[],1a a +上单调， 因为()f x 的图象的对称轴方程为1x =， 所以1a ≥或11a +≤，解得：0a ≤或1a ≥，
因此a 的取值范围为：(][),01,-∞⋃+∞. 【规律方法】
1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．
2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．
3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．
4.若()f x 与1
()f x
或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解． 【变式探究】
1.（2018届安徽省安庆市第一中学）已知单调函数，对任意的
都有
，则
( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8 【答案】C 【解析】 设，则
，且
，
令，则，
解得，
∴，
∴．
故选C ．
2．（2020·江苏省高三专题练习）已知2()
(1)()2
f x f x f x +=
+，(1)1f =，（x N +∈），()f x =__________．
【答案】21
x + 【解析】
()()()212
f x f x f x +=
+
11111111(1)1(1)(1)()2()(1)222x x x f x f x f x f +⇒
=+⇒=+-⨯=+-⨯=⇒+ ()2
1
f x x =+
高频考点四：求函数的值域
【典例8】（2019·浙江省镇海中学高一期中）函数()()1
0f x x x x
=+
<的值域为（ ）
A ．[)2,+∞
B ．(][),2
2,-∞+∞ C ．(],2-∞-
D ．R
【答案】C 【解析】
当0x <时，0x ->，()12f x x x ⎛
⎫∴=---≤-=- ⎪⎝
⎭（当且仅当1x x -=-，即1x =-时取等号），
()f x ∴的值域为(],2-∞-.
故选：C .
【典例9】（2020·甘肃省武威十八中高三期末（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]
2.12=，已知函数
()1
12
x x
e f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是__________ 【答案】{}1,0- 【解析】
依题意()111111221x x x
e f x e e +-=-=-++，由于11x
e +>，故11112212x e -<-<+，即()
f x 的值域为11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，所以函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是{}1,0-. 故填：{}1,0-.
【典例10】（2020·辽河油田第二高级中学高二月考）函数()f x x =的值域是________________． 【答案】1,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
函数()f x x ，
令0t t =
≥
则21122
x t =
-， 则()221111
2222
f t t t t t =+-=+-
()2
1112
t =+-，0t ≥. 由二次函数性质可知，在[)0,t ∈+∞内单调递增，
所以当0t =即1
2x =-时取得最小值，最小值为12
-，
因而()1,2x f ⎡⎫∈-
+∞⎪⎢⎣⎭
， 故答案为：1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
. 【规律方法】
函数值域的常见求法： (1)配方法
配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法
若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法． (3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性
①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即
若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )； 若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．
②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．
③形如y ＝x ＋k x (k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋k
x (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋k
x (k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决． *(5)导数法
利用导函数求出最值，从而确定值域．高频考点五：分段函数及其应用
【典例11】（2019·永济中学高一月考）已知
5,6
()
(2),6
x x
f x
f x x
-≥
⎧
=⎨
+<
⎩
，则(3)
f为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
(3)(32)(52)752
f f f
=+=+=-=
故选：A
【典例12】（2018届湖北省5月）设函数，若，则实数的值为（）A. B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】因为，所以
所以
选B.
【典例13】（2018年新课标I卷文）设函数，则满足的x的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将函数的图象画出来，观察图象可知会有，解得，所以满足
的x的取值范围是，故选D.
【典例14】（2020·上海高三）若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩
（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．
【答案】(]
1,2
【解析】 由于函数()()6,2{0,13log ,2
a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.
【总结提升】
1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；
2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.
【变式探究】
1.（2020·辽宁省高三二模（理））设函数21log (2),1(),1x x x f x e x +-<⎧=⎨
≥⎩，则(2)(ln 6)f f -+=（ ） A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 【答案】C
【解析】 由题意，函数21log (2),1(),1x x x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩
， 则ln 62(2)(ln 6)1log [2(2)]1269f f e -+=+--+=++=.
2.（2020·浙江省高三二模）已知函数()231,0,2,0,
x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩若存在唯一的整数x ，使得()()0x f x a ⋅-<成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．12a ≤≤
B ．01a ≤<或28a <≤
C ．28a <≤
D ．11a -<<或28a <≤ 【答案】B
【解析】
如图所示，画出函数()f x 图像，
当0x >时，()()0x f x a ⋅-<，即()f x a <，故()()12f a f <≤，
即23131a -<≤-，即28a <≤；
当0x =时，易知不满足；
当0x <时，()()
0x f x a ⋅-<，即()f x a >，故()01a f ≤<-，
即()011a f ≤<-=.
综上所述：01a ≤<或28a <≤.
故选：B.
3.（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是
__________． 【答案】.
由，得或， 得或，即得取值范围是
， 故答案为
. 4．（2020·江苏省高三月考）已知函数()2,0228,2
x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则
1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值是_____.
【答案】2
【解析】
由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，
当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，
所以02a <<，由()(+2)f a f a =得 22(2)8a a a +=-++，解得1a =， 则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭
. 故答案为：2.
【易错提醒】
因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．。