1.5.1 平行关系的判定学案(北师大版必修2)

5.1 平行关系的判定
自主学习
1．通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理．
2．在理解、掌握两个判定定理的基础上，灵活运用解决一些实际问题．
1．直线与平面平行的判定定理
若__________一条直线与____________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
符号：__________________________________________________________________．2．平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
符号：___________________________________________________________________．
对点讲练
直线与平面平行的判定
例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．
变式训练1如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在P A、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．
求证：EF∥平面PBC．
平面与平面平行的判定
例2已知E、F、E1、F1分别是三棱柱A1B1C1—ABC棱AB、AC、A1B1、A1C1的中点．求证：平面A1EF∥平面E1BCF1．
点评 要证平面平行，依据判定定理只需要找出一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面即可．另外在证明线线、线面以及面面平行时，常进行如下转化：线线平行
――→线面平行的判定
线面平行――→面面平行的判定
面面平行． 变式训练2 如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心．
(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ； (2)求S △MNG ∶S △ADC ．
线面平行、面面平行的综合应用
例3 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1
的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?
点评 解答开放性问题，要结合题目本身的特点与相应的定理，大胆地猜想，然后证明． 变式训练3 如图所示，已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA ＝SB ＝SC ，SG 为△SAB 上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并给予证明．
2．平行关系的判定基本思路：
线线平行⇒线面平行⇒面面平行．
面面平行，归根到底是找线面平行，但一定是找两条相交的直线．
课时作业
一、选择题
1．若三条直线a，b，c满足a∥b∥c，且a⊂α，b⊂β，c⊂β，则两个平面α、β的位置关系是()
A．平行B．相交
C．平行或相交D．不能确定
2．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是() A．平面ABC必平行于α
B．平面ABC必与α相交
C．平面ABC必不垂直于α
D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
3．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
4．经过平面α外两点，作与平面α平行的平面，则这样的平面可以作()
A．1个或2个B．0个或1个
C．1个D．0个
5．点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
6．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行；经过直线外一点有________条直线与已知直线平行．
7．下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m，n 为直线，α，β为平面)，则此条件应为________________．
8．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足__________________时，有MN∥平面B1BDD1．
三、解答题
9．如图所示，ABCD与ABEF均为平行四边形，且不在同一平面内，M为对角线AC 上的一点，N为对角线FB上的一点，AM∶FN＝AC∶BF．求证：MN∥平面BCE．
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．
求证：平面EFG∥平面BDD1B1．
§5 平行关系
5．1 平行关系的判定
答案
自学导引
1．平面外 此平面内 a ⊆α，b α，且a ∥b ⇒a ∥α
2．两条相交直线 a β，b β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥α 对点讲练
例1 证明 取D 1B 1的中点O ， 连接OF ，OB ．
∵OF 綊12B 1C 1，BE 綊1
2
B 1
C 1，
∴OF 綊BE ．
∴四边形OFEB 是平行四边形， ∴EF ∥BO ．
∵EF ⊆平面BDD 1B 1，
BO 平面BDD 1B 1， ∴EF ∥平面BDD 1B 1．
变式训练1 证明 连接AF 延长交BC 于G ， 连接PG ．
在▱ABCD 中，
易证△BFG ∽△DF A ． ∴GF F A ＝BF FD ＝PE EA ， ∴EF ∥PG ．
而EF ⊆平面PBC ， PG 平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ． 例2 证明
∵EF 是△ABC 的中位线， ∴EF ∥BC ．
∵EF ⊆平面E 1BCF 1，
BC 平面E 1BCF 1， ∴EF ∥平面E 1BCF 1． ∵A 1E 1綊EB ，
∴四边形EBE 1A 1是平行四边形，∴A 1E ∥E 1B ．
∵A 1E ⊆平面E 1BCF 1，E 1B 平面E 1BCF 1，
∴A 1E ∥平面E 1BCF 1．
又∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面A 1EF ∥平面E 1BCF 1．
变式训练2 (1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H ．
∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，
则有BM MP ＝BN NF ＝BG
GH
＝2．
连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF ．
又PF 平面ACD ，MN ⊆平面ACD ，
∴MN ∥平面ACD ．
同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD ．
(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝2
3
，
∴MG ＝23PH ．又PH ＝12AD ，∴MG ＝1
3AD ．
同理NG ＝13AC ，MN ＝1
3
CD ．
∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ACD ＝1∶9．
例3 解 当Q 为CC 1的中点时， 平面D 1BQ ∥平面P AO ．
∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点， ∴QB ∥P A ．
∵P 、O 分别为DD 1、DB 的中点， ∴D 1B ∥PO ．
∴D 1B ∥面P AO ，QB ∥面P AO ，又D 1B ∩QB ＝B ， ∴平面D 1BQ ∥平面P AO ．
变式训练3 解 SG ∥平面DEF ．证明如下： 连接GC 交DE 于点H ，连接FH ． ∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ∥AB ．
在△ACG 中，D 是AC 的中点， 且DH ∥AG ，
∴H 为CG 的中点．
∴FH 是△SCG 的中位线， ∴FH ∥SG ．
又SG ⊆平面DEF ，FH 平面DEF ， ∴SG ∥平面DEF ． 课时作业
1．C
2．D[A，B，C在平面α的异侧时，A错；而A，B，C在平面α同侧时，B错；A，B，C在平面α的异侧时，平面ABC有可能垂直于平面α，C错．]
3．A
4．B[两点的连线可能与平面相交，此时为0个；两点的连线也可能与平面平行，此时可作一个平面．]
5．C[由线面平行的判定定理知：
BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH．]
6．无数17．m，n相交
8．M∈线段FH
解析∵HN∥BD，HF∥DD1，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
∴平面NHF∥平面B1BDD1，
故线段FH上任意点M与N连接，
有MN∥平面B1BDD1．
9．证明如图所示，过M作MM1∥AB，交BC于M1，
过N作NN1∥AB，交BE于N1，
则MM1∥NN1，
又AM∶FN＝AC∶BF，
∴AM
AC＝
FN
BF，
∴MM1
AB＝
NN1
EF．
又∵AB＝EF，∴MM1＝NN1．
连接M1N1，则四边形MNN1M1是平行四边形．∴MN∥M1N1，
又M1N1⊂平面BCE．
∴MN∥平面BCE．
10．证明如图所示，
连接SB，SD，
∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD．
又∵SD 平面BDD1B1，
FG 平面BDD1B1，
∴直线FG∥平面BDD1B1．
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又∵直线EG 平面EFG，
直线FG 平面EFG，
直线EG∩直线FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1．。