福建省福州文博中学2015届高考数学(理)复习测试：期中考模拟二

（满分：150分，时间：120分钟） 班级_____ 姓名_________ 座号_____ 成绩_______
一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1．设i 是虚数单位， z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )
A ．1＋i
B ． 1－I
C ．－1＋i
D ．－1－i
2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则
A ．A ∩
B ＝∅ B ．A ∪B ＝R
C ．B ⊆A
D ．A ⊆B
3．下列命题中的假命题是( )
A ．∀x ∈R,2x －1>0
B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0
C ．∃x ∈R ，lg x <1
D ．∃x ∈R ，
tan x ＝2
4．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2
”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8
个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A.3π4
B.π4 C ．0 D ．－π4
6． a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )
A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665
7．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )
A ．335
B ．338
C ．1 678
D ．2 012 8．函数y ＝x 3
3x －1
的图象大致是( )
9.如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于 ( )
A.217
B.2114
C.32114
D.2128
10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|lg x |，0<x ≤10，－12
x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )
A ．(1,10)
B ．(5,6)
C ．(10,12)
D ．(20,24)
二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分）
11.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255
，则y ＝________. 12．由直线x ＝－π3，x ＝π3
，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积＝________. 13．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________. 14．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________.
15．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x
在
18．（13分）在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2,5a 3成等比数列．
(1)求d ，a n ； (2) 若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.
19．（13分）设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β).
(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b ＋c |的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .
20．（14分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路
AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35
. (1)求索道AB 的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
21．（14分）设函数f (x )＝x 2＋b ln(x ＋1)，其中b ≠0.
(1)当b >12
时，判断函数f (x )在定义域上的单调性； (2)求函数f (x )的极值点；
(3)当b ＝－1时，试证明对任意的正整数n ，不等式ln ⎝⎛⎭⎫1n ＋1>1n 2－1n 3都成立.。