波动率的估计(ARCH模型)
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n越大，曲线越平滑，n越小曲线越不平滑； 如果市场没有什么异常变换，n的选择对波
动率预测影响不大； n大时如果在某个时刻收益率出现异常，那
么计算的波动率就会在今后一段时间都 大，持续的时间长度是n的大小；
指数滑动平均(EWMA)
计算公式
ˆ t 2 t 2 1 ( 1 )t 2 2 ( 1 ) 2t 2 3 .
金融时间序列模型
第五章：波动率的估计
金融时间序列模型
ARCH模型概念
波动率模型
金融衍生市场，计算期权等衍生工具的 价格需要了解股票的波动率
金融风险管理,度量金融风险的大小，计 算VaR。
异方差性（heteroscedasticity ）
经典线性回归模型的一个重要假定是： 总体回归函数中的随机误差项满足同方 差性，即它们都有相同的方差。如果这 一假定不满足，则称线性回归模型存在 异方差性。
HEW0.8
HEWV0.2
波动率的特性： P194, (1)-(6)
实现的波动率
使用日内数据计算样本方差做为一天内波 动率的估计。
假设一天内收集到价格 计算日内收益率
pt,0, pt,1,..p.t,n
r t,1 ,r t,2 ,.r t.,n ,.r t,i, ln p t,i 1 ( ) ln p t,i)(
数学表达： Yt = βXt＋εt (1)
其中， Yt为被解释变量， Xt为解释变量， εt为误差项。
2 t
的特点
令 t t2Et1(t2) 即t t2 ht
重新表述ARCH（1）模型：
t2
01
2
ˆT21
1 T
T
t2
t1
历史波动率
34 32 30 28 26 24 22
1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 HV
滑动平均波动率
滑动平均
ˆ
2 t
1 n
n
2 ti
t1
1 n
n
r
t
2
i
i1
滑动平均波动率
30，60，120，240天滑动平均 60
实际波动率估计公式：
2 t
n
rt
2 ,i
i 1
用计算出的实际波动率来建立AR模型对未
来波动率进行预测
自回归条件异方差
几个主要的自回归条件异方差模型
Engle(1982)ARCH Bollerslev(1986)GARCH Nelson(1991)EGARCH GJR模型 ARCH-M
对金融资产的收益率作折线图： P14 图1.3.3
波动率的重要性
股票(期权)定价 P193,公式(5.1) 货币政策制定 证券管理 风险分析
估计波动率的几种方法
历史波动率Historical Volatility 滑动平均moving average 指数加权滑动平均Exponentially
异方差性例子：在实际经济问题中，随机
扰动项Ui往往是异方差的，例如
（1）调查不同规模公司的利润，发现大公 司的利润波动幅度比小公司的利润波动幅度大；
（2）分析家庭支出时发现高收入家庭支出 变化比低收入家庭支出变化大。
在分析家庭支出模型时，我们会发现高收入 家庭通常比低收入家庭对某些商品支出有更大 的方差。
等价于如下形式
ˆt2 t2 1(1)ˆt2 1
指数滑动平均
可以选择的范围是0.25~0.02之间。 如果使用EWMA模型进行短期预测选择较
大的，否则选择较小的 。
指数滑动平均计算结果
140
120
100
80
60
40
20
0 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850
ARCH(q) t htt
h t01t2 1 qt2 q
Vt是独立白噪声过程 E(vt | vt1,...)0 Var(vt | vt1,...)1
0 >0, j 0, j=1,…q, 1 + 2 +…+ q <1
ARCH过程的特点
{t }是ARCH(1)过程
t htt
ht 01t21
Weighted Moving Averages 隐含波动率Implied Volatility 实现的波动率realized volatility 自回归条件异方差类模型
数据
以上证日收益率为例
r1 ,r2,r3,…,rT
实际波动率计算公式
2 t
rt2
波动率年度化
*2501/2*100%
历史波动率的估计
异方差性破坏了古典模型的基本假定，如果
我们直接应用最小二乘法估计回归模型，将得 不到准确、有效的结果。
异方差性
异方差性另一例子：波动率据聚类性。
资本市场的波动性通常用收益率的标准差 来度量,也称为波动率.大量研究表明股票 收益率表现为在某个时间段波动大,而在 另一个时间段收益率波动又比较小的现 象, 这种现象被称为波动率聚类性。
50Fra Baidu bibliotek
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H120V
H60V
H240V
滑动平均波动率
30天与240天 60
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H240V
滑动平均波动率－关于n的选择
ARCH(自回归条件异方差)模型的基本思想
ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下， 某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。该 正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化 的量(即为条件异方差)。并且这个随时间变化 的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合 (即为自回归)。这样就构成了自回归条件异方 差模型。
ARCH(1)过程的无条件均值，条件均值，无条件方差 和条件方差
ARCH(1)过程的无条件均值
E(t)E( htvt)0
无条件方差
var(t
)
0 11
ARCH(1)过程的条件均值
Et1(t)0
条件方差
vat1r(t)ht
ARCH过程的性质
该过程表明,如果t-1异常的偏离他的条件期望 0,那么t的条件方差要比通常情况下大, 所以 有理由预期t会比较大.这样使得ht+1比较大,反 之,如果t-1异常的小,那么条件方差要比通常 情况下小,所以有理由预期t会比较小. 这样使 得ht+1比较小. 虽然方差大或小会持续一端时 间,但是不会一直持续下去,会回到无条件方 差上去.
动率预测影响不大； n大时如果在某个时刻收益率出现异常，那
么计算的波动率就会在今后一段时间都 大，持续的时间长度是n的大小；
指数滑动平均(EWMA)
计算公式
ˆ t 2 t 2 1 ( 1 )t 2 2 ( 1 ) 2t 2 3 .
金融时间序列模型
第五章：波动率的估计
金融时间序列模型
ARCH模型概念
波动率模型
金融衍生市场，计算期权等衍生工具的 价格需要了解股票的波动率
金融风险管理,度量金融风险的大小，计 算VaR。
异方差性（heteroscedasticity ）
经典线性回归模型的一个重要假定是： 总体回归函数中的随机误差项满足同方 差性，即它们都有相同的方差。如果这 一假定不满足，则称线性回归模型存在 异方差性。
HEW0.8
HEWV0.2
波动率的特性： P194, (1)-(6)
实现的波动率
使用日内数据计算样本方差做为一天内波 动率的估计。
假设一天内收集到价格 计算日内收益率
pt,0, pt,1,..p.t,n
r t,1 ,r t,2 ,.r t.,n ,.r t,i, ln p t,i 1 ( ) ln p t,i)(
数学表达： Yt = βXt＋εt (1)
其中， Yt为被解释变量， Xt为解释变量， εt为误差项。
2 t
的特点
令 t t2Et1(t2) 即t t2 ht
重新表述ARCH（1）模型：
t2
01
2
ˆT21
1 T
T
t2
t1
历史波动率
34 32 30 28 26 24 22
1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 HV
滑动平均波动率
滑动平均
ˆ
2 t
1 n
n
2 ti
t1
1 n
n
r
t
2
i
i1
滑动平均波动率
30，60，120，240天滑动平均 60
实际波动率估计公式：
2 t
n
rt
2 ,i
i 1
用计算出的实际波动率来建立AR模型对未
来波动率进行预测
自回归条件异方差
几个主要的自回归条件异方差模型
Engle(1982)ARCH Bollerslev(1986)GARCH Nelson(1991)EGARCH GJR模型 ARCH-M
对金融资产的收益率作折线图： P14 图1.3.3
波动率的重要性
股票(期权)定价 P193,公式(5.1) 货币政策制定 证券管理 风险分析
估计波动率的几种方法
历史波动率Historical Volatility 滑动平均moving average 指数加权滑动平均Exponentially
异方差性例子：在实际经济问题中，随机
扰动项Ui往往是异方差的，例如
（1）调查不同规模公司的利润，发现大公 司的利润波动幅度比小公司的利润波动幅度大；
（2）分析家庭支出时发现高收入家庭支出 变化比低收入家庭支出变化大。
在分析家庭支出模型时，我们会发现高收入 家庭通常比低收入家庭对某些商品支出有更大 的方差。
等价于如下形式
ˆt2 t2 1(1)ˆt2 1
指数滑动平均
可以选择的范围是0.25~0.02之间。 如果使用EWMA模型进行短期预测选择较
大的，否则选择较小的 。
指数滑动平均计算结果
140
120
100
80
60
40
20
0 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850
ARCH(q) t htt
h t01t2 1 qt2 q
Vt是独立白噪声过程 E(vt | vt1,...)0 Var(vt | vt1,...)1
0 >0, j 0, j=1,…q, 1 + 2 +…+ q <1
ARCH过程的特点
{t }是ARCH(1)过程
t htt
ht 01t21
Weighted Moving Averages 隐含波动率Implied Volatility 实现的波动率realized volatility 自回归条件异方差类模型
数据
以上证日收益率为例
r1 ,r2,r3,…,rT
实际波动率计算公式
2 t
rt2
波动率年度化
*2501/2*100%
历史波动率的估计
异方差性破坏了古典模型的基本假定，如果
我们直接应用最小二乘法估计回归模型，将得 不到准确、有效的结果。
异方差性
异方差性另一例子：波动率据聚类性。
资本市场的波动性通常用收益率的标准差 来度量,也称为波动率.大量研究表明股票 收益率表现为在某个时间段波动大,而在 另一个时间段收益率波动又比较小的现 象, 这种现象被称为波动率聚类性。
50Fra Baidu bibliotek
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H120V
H60V
H240V
滑动平均波动率
30天与240天 60
50
40
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0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H240V
滑动平均波动率－关于n的选择
ARCH(自回归条件异方差)模型的基本思想
ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下， 某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。该 正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化 的量(即为条件异方差)。并且这个随时间变化 的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合 (即为自回归)。这样就构成了自回归条件异方 差模型。
ARCH(1)过程的无条件均值，条件均值，无条件方差 和条件方差
ARCH(1)过程的无条件均值
E(t)E( htvt)0
无条件方差
var(t
)
0 11
ARCH(1)过程的条件均值
Et1(t)0
条件方差
vat1r(t)ht
ARCH过程的性质
该过程表明,如果t-1异常的偏离他的条件期望 0,那么t的条件方差要比通常情况下大, 所以 有理由预期t会比较大.这样使得ht+1比较大,反 之,如果t-1异常的小,那么条件方差要比通常 情况下小,所以有理由预期t会比较小. 这样使 得ht+1比较小. 虽然方差大或小会持续一端时 间,但是不会一直持续下去,会回到无条件方 差上去.