波动率的估计(ARCH模型)
股票波动率估计方法
股票波动率估计方法
股票波动率是衡量股价波动性的一种指标，有几种常见的估计方法：
历史波动率：基于过去一段时间内股价的历史数据，通过计算历史收益率的标准差来估计波动率。
历史波动率反映了实际市场波动的水平。
隐含波动率：来自期权市场，是通过期权定价模型（如Black-Scholes模型）反推出的波动率。
隐含波动率反映了市场对未来波动性的期望。
加权历史波动率：对历史波动率进行加权平均，给予近期数据更大的权重，以反映最新市场情况。
指数平滑波动率：使用指数平滑方法对历史波动率进行平滑处理，以减少短期波动对波动率估计的影响。
GARCH模型：广义自回归条件异方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，GARCH）是一种时间序列模型，通过考虑过去波动率的变动来估计未来波动率。
波动率地图：通过构建波动率地图，展示不同市场条件下波动率的变化情况，有助于更全面地理解波动性。
不同的估计方法适用于不同的情境，投资者和分析师通常会根据市场条件、数据可用性和需求选择合适的方法。
综合使用多种方法有助于更全面地理解股票的波动性。
波动率模型_ARCH_GARCH
波动率模型在金融领域主要有两个方面的重要作用：
衍生证券定价 风险管理
自回归条件异方差模型(ARCH)
ARCH模型的定义：Engle(1982)
ARCH(p)：p-阶自回归条件异方差过程
t ht vt
vt i.i.d .N (0,1) E (vt ) 0, E (vt2 ) 1 ht 0 j t2 j
识别ARCH模型的阶数，估计模型；
检验ARCH模型的残差是否满足独立同分布条件， 根据情况修改模型。
方法一：检验残差平方是否存在自相关。 计算残差的无条件方差：
ˆ
2
ˆ ( L) ˆ ˆ yt ， ˆ 计算出估计的残差值 t yt X 或ut ˆ ( L)
t2 / T ˆ
ARCH(1)过程{εt}的条件期望仍然是常数，但是条件 方差不再是常数。这样的过程根据定义是不相关的， 但是并不独立。
ARCH模型表明，如果εt-1异常地偏离它的条件期望，
那么εt的条件方差ht要比通常情况下大，所以有理由 预期εt会比较大，这样使得ht+1比较大；反之，如果 εt-1异常地小，那么条件方差ht要比通常情况下小，所 以有理由预期εt会比较小。这样使得ht+1比较小。虽然
所以{t2} 的形式类似于AR(1)。虽然过程{εt}不相关，但
{ t2}，在1 1 时的自相关函数为： 是过程
(h) 1|h| , h
2
{ t } 更高阶次的矩： 容易证明：
Et 1 ( t4 ) 3( 0 1 t21 )2
2 E ( t4 ) [3 0 (1 1 )] /[(1 1 )(1 312 )] 2 3 0 (1 1 ) (1 1 ) 2 峰度 E ( t4 ) / E ( t2 )2 2 (1 1 )(1 31 ) 02
第五章波动率的估计(GARCH模型)
2 h h v h t 1 0 1t t 1 t 2 ( ) h h ( v 1 ) 0 1 1 t 1t t
2 利用 E ( v 1 |F ) 0 从而得GARCH(1,1)以T为 T 1 T 预测原点的向前两步预测公式 h ( 2 ) E ( h ) T T 2|F T
练习题1：求GARCH(1,2)的向前一步和向 前两步预测公式
GARCH(1,2)模型： t ht vt
2 2 h h t 0 1 t 1 1 t 1 2 t 2
v t 是独立同分布的白噪声过程，并且
E (v , Var ( v 1 . t ) 0 t )
GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性 峰度=4阶原点矩/标准差的四次方 4 E ( v 正态分布的峰度=3意味着 t ) 3
GARCH(1,1)过程的峰度
2 E ( ) 6 1 K 3 2 2 [ E ( )] 1 2 ( ) 1 1 1 4 t 2 2 t
2 令w 合并同类项有 h t t t
j q 时 j 0
l p 时 l 0
而
w h t t 满足：
2 t
E (w t ) 0
cov( w , w ) 0 , j 1 t t j 但 w t 一般不是独立同分布的
GARCH(1,1)过程的峰度公式
ARMA和GARCH过程的比较
性质
髙斯 白噪声 常数 常数 正态 常数
ARMA
GARCH
ARMAGARCH 非常数 非常数 正态 常数
量化投资中的波动率模型
神经网络模型
神经网络是一种模拟人脑神经元网络结构的计算模型 ，由多个神经元相互连接而成。在股票波动率预测中 ，神经网络通常采用历史价格数据作为输入特征，预 测未来的波动率。
神经网络模型的优点在于其可以自适应地学习和处理复 杂的非线性关系，同时其结构可以根据问题的需要进行 灵活调整。然而，神经网络模型容易过拟合，并且其性 能高度依赖于训练数据的质量和数量。
详细描述
通过对历史数据法、统计理论法和机器学习法等不同 模型的比较分析，我们可以发现各种模型的优缺点和 适用范围。例如，历史数据法简单易用，但可能受到 历史数据和市场环境变化的影响；统计理论法较为严 谨，但需要足够的样本数据和假设条件；机器学习法 精度较高，但需要大量的训练数据和计算资源。此外 ，还需要对不同模型进行案例研究，以检验模型的准 确性和可靠性。
要点二
详细描述
统计理论法通常采用随机游走、自回归模型、GARCH模型 等统计模型来描述市场数据的分布特征和波动性，从而预 测未来市场的走势和波动率。此外，还可以通过分析不同 市场指数之间的相关性，预测市场指数之间的联动关系和 风险传递效应。
基于机器学习的实证分析
总结词
机器学习法是一种基于人工智能的方法，通过训练大量 数据来学习市场的内在规律和特征，从而预测未来市场 的走势和波动率。
指数加权移动平均模型
总结词
指数加权移动平均模型是一种基于历史数据的波动率模 型，它根据时间的远近为不同时期的平均值分配不同的 权重，且权重呈指数递减。
详细描述
指数加权移动平均模型的基本原理是，为近期的价格变 动分配较大的权重，且权重随着时间的推移呈指数递减 。这可以更好地反映近期价格变动对未来波动率的影响 。指数加权移动平均模型的计算公式为：EMA(n) = (1 α) * EMA(n-1) + α * Pn，其中EMA(n)表示指数加权移 动平均值，α表示平滑因子，Pn表示第n天的价格。
非线性金融时间序列分析模型
非线性金融时间序列分析模型非线性金融时间序列分析模型是金融学领域中一种重要的工具，用于对金融市场中复杂且非线性的行为进行建模和预测。
该模型通过捕捉金融市场中的非线性关系、非常态分布和时间序列的长期依赖性，为投资者和决策者提供了更具深度和准确性的市场分析和预测手段。
在传统的线性金融时间序列模型中，常常假设金融市场的行为服从线性关系，即市场变量与时间线性相关。
然而，实际金融市场往往存在着非线性关系，这造成了传统模型的局限性。
非线性金融时间序列分析模型则可以更好地反映市场的真实运行情况，提高分析的精确度。
一种常用的非线性金融时间序列分析模型是ARCH（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型。
ARCH模型通过引入方差的自回归分析，捕捉了金融市场中波动率具有自相关性的特点。
该模型广泛应用于金融风险管理和衍生品定价等领域。
然而，ARCH模型本身仅考虑了波动率的异方差性，对非线性关系的捕捉相对欠缺。
为了更好地建模金融市场中的非线性关系，研究者们基于ARCH模型提出了更加复杂和精确的非线性金融时间序列分析模型。
例如，GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型和EGARCH（Exponential GARCH）模型。
GARCH模型通过添加波动率的滞后值和波动率与预测变量的交互项来扩展ARCH模型，从而更好地捕捉了市场中的非线性关系。
而EGARCH模型则在GARCH模型的基础上引入了杠杆效应，更好地描述了极端事件对市场波动率的冲击。
除了以上提到的模型，还存在一系列的非线性金融时间序列分析模型，如TGARCH（Threshold-GARCH）模型、APARCH（Asymmetric Power Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型等。
garch model 的arch effect结果整理
garch model 的arch effect结果整理
GARCH模型是一种用于对金融时间序列数据进行建模和预测的统计模型，它通过考虑波动率的异方差性来捕捉金融市场的ARCH效应（自回归条件异方差）。
ARCH效应指的是金融市场波动率的自相关性，即波动率的变化会受到过去波动率的影响。
GARCH模型的核心思想是通过引入ARCH效应，建立一个波动率模型，以更准确地预测未来的波动率。
GARCH模型的结果整理如下：
1. 条件方差（Conditional Variance）：GARCH模型可以估计条件方差，即在已知历史信息的情况下，未来一期的波动率。
这是一个重要的结果，因为它可以用于计算风险价值和构建投资组合。
2. 参数估计：GARCH模型中有几个重要的参数需要估计，包括ARCH系数、GARCH系数和常数项。
这些参数的估计结果可以用于判断波动率的长期和短期变化，以及波动率对过去波动率的反应程度。
3. 模型拟合：GARCH模型通常用于拟合一系列金融时间序列数据，如股票价格、汇率等。
通过比较模型的拟合效果和实际数据之间的残差，可以评估模型的准确性和可靠性。
4. 预测波动率：GARCH模型可以用来预测未来波动率，提供
了一种有力的工具来辅助投资决策和风险管理。
预测结果可以用于调整投资组合的权重，控制风险暴露。
综上所述，GARCH模型的arch effect结果整理主要包括条件方差、参数估计、模型拟合和预测波动率等方面。
这些结果对于理解和解释金融市场的波动性具有重要意义。
波动模型
第三章波动模型有许多经济时间序列，可能在某一段时间内呈现出相对平稳性，接着可能会呈现出剧烈的波动性。
条件方差在变化，但无条件方差可能是个常数。
因为资产持有者总是关注持有期内收益的波动，而不是整个历史期间内的波动。
能够估计、预测某种特定资产的风险十分重要的。
本章将介绍条件异方差模型（ARCH）的建模方法。
3.1 经济时间序列：典型化特征图形3.1到3.6说明了重要的宏观经济变量的变化行径。
当然需要有正式的检验来证实这些第一印象。
在视觉上，这些序列是非平稳的，样本均值不是常量，有很强的异方差性等重要的典型化特征：（1）大多数序列都包含有明显的趋势。
虽然实际GDP中的实际投资、政府支出比实际GDP和消费波动性更大，实际GDP和消费有一个明显向上趋势。
（2）对序列的冲击显示很强的持久性短期利率和长期利率都没有明显的向上或向下的随机趋势。
但都有很强的持久性。
（联邦基金利率）（某种债券收益）(3) 许多时间序列的波动性并不是常量（上证指数）(取对数再差分)可以看出，平静的期间内也伴随着不同的波动程度。
虽然无条件（或长期）方差是常量，但也有方差变化较大的期间，这样的序列称为条件异方差。
（4）一些序列似乎是随机游走没有特别增加或减少的趋势，没有返到长期均值的趋势。
这种随机游动类型是典型的非平稳序列。
(上证指数收盘价)（5）一些序列与其它序列有着“公共趋势”联邦基金利率和10年期美国政府债券收益没有返回到长期均值的趋势。
但两个序列从未分离开太远，对联邦基金利率的冲击也同样出现在10年政府债券收益。
这种“共同运动”不足奇怪，因为推动短期、长期利益的原因是相同的。
这些增长率趋势之间是否统计上有显著差别，都需要正式的统计检验。
3.2 ARCH 过程在传统的计量经济模型中，扰动项的方差都被假设为常数。
但上一节我们看到，许多经济时间序列都显示了非常的大波动期之后又显示了一段相对平缓期，在这样情况下，常量方差的假设是不适当的。
【时间序列】波动率建模之ARCH模型
【时间序列】波动率建模之ARCH模型1. ARCH1.1 异方差在传统计量经济学模型中，都假设干扰项的方差为常数（同方差）。
但是在现实世界中，许多经济时间序列的波动具有丛聚性等特征。
例如：股市中可能存在的涨跌，当遇到结构性风险，股票价格可能存在大涨或者大跌的情况，这种类时间序列被称为条件异方差，即使无条件异方差是恒定的，但是也会存在方差相对较高的时候，而这个波动率是通常会呈现出持续性，这被称为波动丛聚性。
1.2 ARCH过程ARCH （atuoregressive conditional heteroskedastic，自回归条件异方差）模型可以描述一个序列阶段性的稳定和波动：表示白噪音过程，满足 ;相互独立,和都为常数，且把代入到中可得：这便是序列的一阶自回归异方模型ARCH(1)，推广到高阶则可得我们为什么要用条件异方差呢，首先来考虑估计一个平稳的ARMA模型，则的条件均值为，用条件均值去预测下一期，则预测误差的方差为如果使用无条件预测，结果一般是时间序列的长期均值。
则无条件预测误差方差为其中白噪音过程，，，可得由此可得无条件预测方差大于条件预测方差，所以使用条件预测结果更好。
所以针对一些时间序列的异方差性，可以使用一些模型去拟合条件方差。
1.3 ARCH性质1.ARCH模型，误差项的条件均值和无条件均值都等于0.对于所有，因此，序列具有序列不相关性，但是误差并不相互独立（误差），换个角度看， ARCH(1) 的方差是等于AR（1）的：2.为条件异方差将导致也为异方差，所以ARCH模型可以表示出序列中阶段性的稳定和波动3.ARCH误差和序列的自相关参数相互作用。
的变化和序列的持续较大的方差有关，越大，持续时间越长，的变化越持久。
ARCH是使用AR（P）来对条件方差建模，如果加上MA(q) 过程又会如何呢？由此衍生出了GARCH2. GARCH假设误差过程为：表示白噪音过程，均值为0，方差为1，因此的条件与无条件均值都为0.此模型将自回归以及异方差的移动平均项结合了起来。
egarch 常数项
egarch 常数项EGARCH（Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）是在金融计量经济学中常用的一个模型，用于建模股票市场的波动性。
EGARCH模型是对ARCH （Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型的改进，它考虑了波动率的对称性和杠杆效应。
EGARCH模型的公式可以表示为：rr = μ + rrrr = √r^r +rrrr = (rr−r−r2/2)/√rr其中，rr是观测值，rr是误差项，r是均值，r^2 是波动率，rr是条件波动率的函数。
EGARCH模型的核心是建立波动率的条件模型，波动率用于度量时间序列数据的波动情况。
在EGARCH模型中，考虑到波动率对称性的特点，引入了对数收益率和波动率的杠杆效应。
在金融领域，杠杆效应是指资产价格下跌对波动率的影响更大，即股票市场中价格的下跌更容易引发市场的恐慌，从而增加了波动性。
EGARCH模型通过引入杠杆效应来捕捉这一现象。
EGARCH模型的常数项是EGARCH常数r，它表示波动率的非线性对称效应。
r决定了波动率的均值、方差的条件波动率和波动率随时间的关系。
当r>0时，表示杠杆效应存在，即负收益率和正收益率对波动率影响的不对称性。
当r<0时，表示波动率的响应是对称的。
如果r=0，则EGARCH模型退化为ARCH模型。
EGARCH模型的常数项r可以通过最大似然估计方法来估计。
估计过程中可以引入一些收敛性的约束条件，如r>−1、∑_{r+r+1}^r r r^2 <1 等。
这些约束条件可以保证估计值的稳定性和可靠性。
EGARCH模型常用于金融领域的波动性建模，例如股票市场中的波动率预测、期权定价和风险管理等。
通过估计EGARCH模型，可以得到关于波动率的更准确的估计和预测，从而为投资者提供更有效的决策依据。
ARCH模型和GARCH模型
ARCH模型和GARCH模型研究内容：研究随时间而变化的风险。
（回忆：Markowitz均值－方差投资组合选择模型怎样度量资产的风险）本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。
波动率的聚类性（volatility clustering）：一段时间内，随机扰动项的波动的幅度较大，而另外一定时间内，波动的幅度较小。
如图，0.80.60.40.20.0-0.2500100015002000§1、ARCH 模型1、条件方差多元线性回归模型：t t t y X βε=+条件方差或者波动率（Condition variance ，volatility ）定义为211var ()var(|)t t t t t σεεψ--≡=其中1t ψ-是信息集。
2、ARCH 模型的定义Engle （1982）提出ARCH 模型（autoregressive conditional heteroskedasticity ，自回归条件异方差）。
ARCH(q)模型：t t t y βε=+x （1）t ε的无条件方差是常数，但是其条件分布为21|(0,)t t t N εψσ-22211t t q t q σωαεαε--=+++ （2）其中1t ψ-是信息集。
方程（1）是均值方程（mean equation ）✓ 2t σ：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差方程（2）是条件方差方程（conditional variance equation ），由二项组成 ✓ 常数ω✓ ARCH 项2t i ε-：滞后的残差平方习题： 方程（2）给出了t ε的条件方差，请计算t ε的无条件方差。
证明：利用方差分解公式：Var(X) = Var Y [E(X|Y)] + E Y [Var(X|Y)]由于21|(0,)t t t N εψσ-，所以条件均值为0，条件方差为2t σ。
波动率的估计(ARCH模型)ppt课件
ˆt2 t2 1(1)ˆt2 1
指数滑动平均
可以选择的范围是0.25~0.02之间。 如果使用EWMA模型进行短期预测选择较
大的，否则选择较小的 。
指数滑动平均计算结果
140
120
100
80
60
40
20
0 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850
实际波动率估计公式：
2 t
n
r2 t ,i
i 1
用计算出的实际波动率来建立AR模型对未
来波动率进行预测
自回归条件异方差
几个主要的自回归条件异方差模型
Engle(1982)ARCH Bollerslev(1986)GARCH Nelson(1991)EGARCH GJR模型 ARCH-M
Weighted Moving Averages 隐含波动率Implied Volatility 实现的波动率realized volatility 自回归条件异方差类模型
数据
以上证日收益率为例
r1 ,r2,r3,…,rT
实际波动率计算公式
2 t
rt2
波动率年度化
*2501/2*100%
历史波动率的估计
t ht vt
ht
0
2 1 t1
vt ~i.i.d (0,1) 正态分布，v t 与 t 1 相互独立
特点：P199
ARCH模型的性质总结：P201
ARCH过程缺点总结
不能反应波动率的非对称特点 约束强，要求系数非负，如果要求高阶
矩存在，还有更多的约束 不能解释为什么存在异方差，只是描述
金融时间序列模型
ARCH模型介绍
i 1
m
建模过程
1.通过检验数据的序列相关性建立一个均值方程，如果 必要，对收益率建立一个计量经济模型来消除线性 依赖。 2.对均值方程的残差进行ARCH效应检验。 3.如果ARCH效应在统计上是显著的，则指定一个波率 模型，并对均值和波动率进行联合估计。 4.仔细地检验所拟合的模urtosis=5.21>3，收益率分布呈现超峰（也就是厚尾性）。 2.J-B统计量P值为0，收益率分布不服从正态分布。
HS300的ARCH效应检验
稳定性检验，通过建立简单的AR（1）方程：
rt 0 1rt 1 et
通过Dickey-Fuller检验，ADF=-28.91，P-value=0，拒 绝 1 为1的原假设，收益率为平稳时间序列。
当p=q=3时，AIC值最小，通过建立时间序列模型 ARMA（3，3）消除线性依赖性。
rt 0.000681 0.08068rt 1 0.80418rt 2 0.977559rt 3 0.79767ut 1 0.79127ut 2 0.94776ut 3 ut
其中 t 是均值为0，方差为1的独立同分布随机变量 序列。对 i 1,i 0,0 0 t 通常假定服从标准正态分布、t分布。
ARCH模型效应
2 a 从上述模型结构上看，过去大的平方“扰动” t i
会 导致 at 的大的条件方差 。从而 at 有取较大的值的 倾向，也就是在资产收益率中所观察到的“波动率 聚集性”，所谓的ARCH效应，条件异方差 t2 的序列 相关性。
HS300的ARCH效应检验
HS300收益率ARMA（p，q）模型的AIC值
AR/MA 0 1 2 3 4 0 -4.883474 -4.881948 -4.88053 -4.880873 -4.883304 1 -4.882576 -4.881404 -4.879472 -4.881379 -4.881865 2 -4.881722 -4.880098 -4.885823 -4.88291 -4.882285 3 -4.88264 -4.88249 -4.883247 -4.891375 -4.88169 4 -4.885674 -4.883595 -4.883581 -4.882339 -4.891784
资产波动率计算方法(一)
资产波动率计算方法(一)资产波动率计算方法引言资产波动率是衡量金融市场中资产价格波动程度的指标，对于投资者和风险管理者来说，了解资产波动率是非常重要的。
本文将介绍几种常见的资产波动率计算方法。
1. 历史波动率历史波动率是最常见的计算方法之一，它根据过去一段时间内的价格数据来计算资产的波动率。
具体计算步骤如下：1.收集过去一段时间内的资产价格数据。
2.计算资产的对数收益率（即每个时间段的价格变化的自然对数）。
3.计算对数收益率的标准差，该标准差即为历史波动率。
2. 波动率指数法波动率指数法是一种在市场中衡量波动率的方法，它基于期权市场的买卖情况来计算波动率指数。
具体计算步骤如下：1.收集某一期权合约的买卖情况。
2.根据期权市场的价格计算出期权的隐含波动率。
3.将多个期权的隐含波动率加权平均，得到波动率指数。
3. GARCH模型GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型是一种时间序列分析模型，通过考虑资产价格的自回归和条件异方差性，来计算波动率。
具体计算步骤如下：1.根据历史数据估计资产价格的自回归项和条件异方差项。
2.根据自回归项和条件异方差项预测未来资产价格的波动率。
4. 基于波动率交易的模型基于波动率交易的模型是一种基于资产波动率进行投资决策的方法。
它通过根据波动率预测，选取适当的投资组合来获取超额收益。
具体计算步骤如下：1.收集资产价格和波动率数据。
2.根据波动率数据预测未来的波动率。
3.根据预测的波动率选择适当的投资组合。
结论以上介绍了几种常见的资产波动率计算方法，每种方法都有其适用的场景和优缺点。
选择合适的计算方法需要根据具体的需求和数据情况来进行判断。
希望本文对读者了解资产波动率计算有所帮助。
注意：本文仅供参考，投资决策需谨慎。
5. 隐含波动率法隐含波动率法是一种基于期权市场来计算资产波动率的方法。
几种异质自回归实现波动率模型的有效性
几种异质自回归实现波动率模型的有效性作者：芮明娣来源：《价值工程》2016年第35期摘要：本文对 HAR-RV-CJ 模型了进一步的改进，提出的假定模型回归系数为1的整合的IHAR-RV-CJ模型，实证对比了HAR模型，含跳的HAR-J和HAR-CJ模型在系数通过合理的约束为整1后以及原始模型对中国股市波动率的刻画和预测问题。
实证结果显示，在四种损失函数综合对比下，IHAR模型同样适用于刻画对中国股市波动率，相对于原始模型提高了模型的预测精度，且我们所构建的IHAR-RV-CJ模型预测的有效性要高于IHAR-RV-J模型。
Abstract： This paper further improves the HAR-RV-CJ model， puts forward the integrated IHAR-RV-CJ model which the assumed model regression coefficient is 1. The empirical comparison of the HAR model is carried out. The jumpy HAR-J and HAR-CJ models are compared when the coefficients are reasonably constrained to be 1. The description and prediction of the volatility of Chinese stock market by the original model are put forward. The empirical results show that the IHAR model also can be used to describe the volatility of Chinese stock market with the comprehensive comparison of the four kinds of loss functions. Compared with the original model， the prediction accuracy of the model is improved， and the validity of IHAR-RV-CJ model is higher than that of IHAR-RV-J model.关键词：integrated HAR；HAR-RV-J；HAR-RV-CJKey words： integrated HAR；HAR-RV-J；HAR-RV-CJ中图分类号：F224 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2016）35-0183-041 引言和文献综述金融市场的快速发展，新的、复杂的金融工具不断更新，对金融时间序列波动率的理论和经验知识的需要日渐增长。
第3章波动率模型
第3章波动率模型第3章波动率模型⾦融市场数据有着和⼀般时间序列数据不⼀样的特征。
在⾦融研究中，⽐较关注的是资产的回报率和风险。
⼀般使⽤波动率来衡量风险。
这⾥的波动率指资产回报的条件标准离差，它也是影响资产定价的⼀个重要因素。
本章主要以⾦融时间序列为主要研究对象，介绍条件波动率模型，它为⾦融市场上的资产回报波动率建模，包括ARCH 模型，GARCH模型，以及TARCH模型等。
恩格尔（Engle，R.,1982）最早提出了⾃回归条件异⽅差模型（autoregressive conditional heteroskedasticity model，ARCH 模型），并由博勒斯莱⽂（Bollerslev，T.1986）发展成为GARCH模型（generalized ARCH model）——⼴义⾃回归条件异⽅差模型。
这些模型⼴泛应⽤于经济学的各个领域，特别是在⾦融时间序列中有重要的应⽤。
3.1 引⾔1、问题的提出以前介绍的异⽅差属于递增型异⽅差，即随机误差项⽅差的变化随解释变量的增⼤⽽增⼤。
但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异⽅差却不属于递增型异⽅差。
例如，汇率，股票价格常常⽤随机游⾛过程描述，x t = x t -1 + u t(3.1)其中u t为⽩噪声过程。
1995-2000年⽇元兑美元汇率时间序列及差分序列见图3.1和图3.2。
80100120140160JPY (1995-2000)-8-6-4-2246200400600800100012001400D(JPY) (1995-2000)图3.1 ⽇元兑美元汇率序列JPY(1995-2000) 图3.2 ⽇元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)2468Volatility of returns102030405060200400600800100012001400DJPY^2图3.3 收益绝对值序列 (1995-2000) 图3.4 D(JPY)的平⽅ (1995-2000)可以看出，汇率既有平静的时刻，也有⼤涨或⼤跌的时候，序列的波动并不会⼀直持续。
ARCH类模型
根据 2 取ARCH或GARCH形式而将模型称之为ARCH-M或GARCH-M模
t
型。这一扩展在描述资产预期收益与预期风险紧密相连的金融领域
有十分重要的意义。
ARCH-M模型
• 若用 y t表示某金融资产的收益率水平，方差 t 作为风险指标，表 示收益率水平的波动程度，那么模型（1.5）意味着除了包含传统 的解释金融资产收益率的各因素之外，还将风险因素 2 作为解释 t 变量，直接引入收益率的决定过程中。根据资产定价理论，股票 风险是决定股票价格的重要因素，一个证券投资者在做出某一投 资决策时，不但要考虑证券的收益率，还要考虑收益率的波动， 或者说风险的大小。方差的增加将导致预期收益率的增加，因此， 模型（1.5）所示的ARCH-M模型或GARCH-M模型恰好反映了“应将 风险因素引入金融资产定价过程”的思想，因而模型一经提出即 获得了广泛的应用。
特征应用于对未来时期变化的预测。我们将要利用估计出来的序列的模
型来预测该序列未来的变化，所以必须假定该序列所反映的随机变量的 特征在不同时期里，包括在过去和将来的时期里是保持不变的。 在此部分采用ADF来对平稳性进行检验。如果ADF统计量小于相应的 临界值，则序列是平稳的。如果ADF统计量大于相应的临界值，则表明序 列非平稳。
ARCH类模型分析检验的一般步骤
ARCH族模型分析一般包括如下五个主要步骤： 第一步，考察时间序列的统计特征。
检验序列值 y t 的均值、方差、峰度、偏度及Jarque-Bera等指标，
从而分析其正态性。如果序列显示出高峰厚尾的分布特征（如序列呈 偏态、峰度系数大于3）、 Jarque-Bera统计量显示其具有非正态性，则
log
log
2 t
基于ARCH模型的中国经济波动分析
140基于AＲCH 模型的中国经济波动分析刘莹作者简介：刘莹（1996．08－），女，汉族，山西运城人，研究生，天津财经大学，研究方向：经济统计学。
（天津财经大学天津300222）摘要：一个国家的经济波动是经济发展的重要现象。
各类大大小小的研究已经证明，我国在经济飞速发展的同时，随之而来的是经济的不断波动。
建国以来我国经济总体不稳定、易波动，这也使得我国经济增长为国民所带来的实际益处有所收缩。
如果不保持经济健康平稳发展，中国经济转型发展可能较为困难。
由此可见，研究中国经济波动特征就显得尤为重要。
论文主要围绕中国经济波动展开研究。
首先解释了笔者的选题背景，并对世界相关领域的研究现状和目前所获成果进行了列举。
接着，对我国经济波动进行建模分析，以中国实际GDP 增长率数据为研究对象运用AＲCH 类模型进行实证分析，使其能够更加客观、准确地反映中国经济波动特征，从而使相关政策制定工作更加完善。
论文研究结果表明：我国的经济波动特征可以用GAＲCH 模型进行较好地拟合，即我国的经济波动具有持续记忆性和聚集性；关键词：经济；波动；AＲCH 类模型一、选题背景正如人们所了解的那样，在经济学这片汪洋大海中，一个重要的研究问题就是经济波动。
在过去，它常常被人们认为是资产主义经济的产物。
然而，在第二次世界大战过后，前苏联、东欧以及中国的经济实践证明经济波动也存在于社会主义国家［1］。
新中国建国以来，我国已经陆陆续续走过了多次的经济调整和经济周期。
即使改革以来我国的经济波动系数已经有了很大程度的下降，但经济波动大仍是我国经济发展的显著特点之一。
我国多年的经济发展经历表明，经济稳定是建立在其他各种政治生活要素之上的。
我国经济正在优化转变发展方式的关键期。
过去四十年，中国经济发展的效益取决于增长速度本身的状况［2］。
因此，对我国在经济发展过程中的经济波动的研究就成为了分析我国经济运行态势的关键。
由于我国的经济波动频繁地被影响实际GDP 增长率的内外部冲击所改变，也就说明了它的条件方差不是恒定的［3］。
ARCH模型(1)
Distribution，GED)， Bollerslev, Engle and Nelson(1994)用广义t 分布。 考虑到分布的非对称性，一些学者用混合分布，如正态-普
中信指数报酬平方序列自相关系数
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
z 天报酬平方序列存在显著自相关
中信指数报酬绝对值序列自相关系数
0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10
ARCH
既然条件方差ht是偏差εt 平方的期望值，那么，滞后误差平方的线性组
合是对近期方差趋势的一种度量，通过条件方差方程已将近期方差融入 在条件方差ht中。令 ηt=ε t ht
其中， ηt Ψt−1 ~ N (0,1) 。既然ht 是信息集合Ψt-1元素的函数。在Ψt -1的条件
下，ht是固定的。因而，εt是条件正态分布，其均值和方差为：
0.048*** 211.40* 294.90* 393.24*
绝对值 0.244* 0.253* 0.220* 0.177* 0.174* 0.174* 0.171* 0.168* 0.159* 0.137* 0.159* 0.110* 382.46* 584.25* 847.47*
报酬 0.042 -0.025 0.040 0.026 -0.007 -0.034 0.019 0.019 -0.008 -0.024 -0.029 0.115* 6.638 24.228** 47.768*
第3章 波动率模型
第3章波动率模型金融市场数据有着和一般时间序列数据不一样的特征。
在金融研究中，比较关注的是资产的回报率和风险。
一般使用波动率来衡量风险。
这里的波动率指资产回报的条件标准离差，它也是影响资产定价的一个重要因素。
本章主要以金融时间序列为主要研究对象，介绍条件波动率模型，它为金融市场上的资产回报波动率建模，包括ARCH 模型，GARCH模型，以及TARCH模型等。
恩格尔（Engle，R.,1982）最早提出了自回归条件异方差模型（autoregressive conditional heteroskedasticity model，ARCH模型），并由博勒斯莱文（Bollerslev，T.1986）发展成为GARCH模型（generalized ARCH model）——广义自回归条件异方差模型。
这些模型广泛应用于经济学的各个领域，特别是在金融时间序列中有重要的应用。
3.1 引言1、问题的提出以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。
但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。
例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，x t = x t -1 + u t(3.1)其中u t为白噪声过程。
1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图3.1和图3.2。
80100120140160JPY (1995-2000)-8-6-4-2246200400600800100012001400D(JPY) (1995-2000)图3.1 日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000) 图3.2 日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)2468Volatility of returns102030405060200400600800100012001400DJPY^2图3.3 收益绝对值序列 (1995-2000) 图3.4 D(JPY)的平方 (1995-2000)可以看出，汇率既有平静的时刻，也有大涨或大跌的时候，序列的波动并不会一直持续。
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异方差性破坏了古典模型的基本假定，如果
我们直接应用最小二乘法估计回归模型，将得 不到准确、有效的结果。
异方差性
异方差性另一例子：波动率据聚类性。
资本市场的波动性通常用收益率的标准差 来度量,也称为波动率.大量研究表明股票 收益率表现为在某个时间段波动大,而在 另一个时间段收益率波动又比较小的现 象, 这种现象被称为波动率聚类性。
异方差性例子：在实际经济问题中，随机
扰动项Ui往往是异方差的，例如
（1）调查不同规模公司的利润，发现大公 司的利润波动幅度比小公司的利润波动幅度大；
（2）分析家庭支出时发现高收入家庭支出 变化比低收入家庭支出变化大。
在分析家庭支出模型时，我们会发现高收入 家庭通常比低收入家庭对某些商品支出有更大 的方差。
HEW0.8
HEWV0.2
波动率的特性： P194, (1)-(6)
实现的波动率
使用日内数据计算样本方差做为一天内波 动率的估计。
假设一天内收集到价格 计算日内收益率
pt,0, pt,1,..p.t,n
r t,1 ,r t,2 ,.r t.,n ,.r t,i, ln p t,i 1 ( ) ln p t,i)(
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H120V
H60V
H240V
滑动平均波动率
30天与240天 60
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H240V
滑动平均波动率－关于n的选择
对金融资产的收益率作折线图： P14 图1.3.3
波动率的重要性
股票(期权)定价 P193,公式(5.1) 货币政策制定 证券管理 风险分析
估计波动率的几种方法
历史波动率Historical Volatility 滑动平均moving average 指数加权滑动平均Exponentially
等价于如下形式
ˆt2 t2 1(1)ˆt2 1
指数滑动平均
可以选择的范围是0.25~0.02之间。 如果使用EWMA模型进行短期预测选择较
大的，否则选择较小的 。
指数滑动平均计算结果
140
120
100
80
60
40
20
0 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850
ARCH(q) t htt
h t01t2 1 qt2 q
Vt是独立白噪声过程 E(vt | vt1,...)0 Var(vt | vt1,...)1
0 >0, j 0, j=1,…q, 1 + 2 +…+ q <1
ARCH过程的特点
{t }是ARCH(1)过程
t htt
ht 01t21
ARCH(1)过程的无条件均值，条件均值，无条件方差 和条件方差
ARCH(1)过程的无条件均值
E(t)E( htvt)0
无条件方差
var(t
)
0 11
ARCH(1)过程的条件均值
Et1(t)0
条件方差
vat1r(t)ht
ARCH过程的性质
该过程表明,如果t-1异常的偏离他的条件期望 0,那么t的条件方差要比通常情况下大, 所以 有理由预期t会比较大.这样使得ht+1比较大,反 之,如果t-1异常的小,那么条件方差要比通常 情况下小,所以有理由预期t会比较小. 这样使 得ht+1比较小. 虽然方差大或小会持续一端时 间,但是不会一直持续下去,会回到无条件方 差上去.
实际波动率估计公式：
2 t
n
rt
2 ,i
i 1
用计算出的实际波动率来建立AR模型对未
来波动率进行预测
自回归条件异方差
几个主要的自回归条件异方差模型
Engle(1982)ARCH Bollerslev(1986)GARCH Nelson(1991)EGARCH GJR模型 ARCH-M
ARCH(自回归条件异方差)模型的基本思想
ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下， 某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。该 正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化 的量(即为条件异方差)。并且这个随时间变化 的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合 (即为自回归)。这样就构成了自回归条件异方 差模型。
金融时间序列模型
第五章：波动率的估计
金融时间序列模型
ARCH模型概念
波动率模型
金融衍生市场，计算期权等衍生工具的 价格需要了解股票的波动率
金融风险管理,度量金融风险的大小，计 算VaR。
异方差性（heteroscedasticity ）
经典线性回归模型的一个重要假定是： 总体回归函数中的随机误差项满足同方 差性，即它们都有相同的方差。如果这 一假定不满足，则称线性回归模型存在 异方差性。
数学表达： Yt = βXt＋εt (1)
其中， Yt为被解释变量， Xt为解释变量， εt为误差项。
2 t
的特点
令 t t2Et1(t2) 即t t2 ht
重新表述ARCH（1）模型：
t2
01
2
n越大，曲线越平滑，n越小曲线越不平滑； 如果市场没有什么异常变换，n的选择对波
动率预测影响不大； n大时如果在某个时刻收益率出现异常，那
么计算的波动率就会在今后一段时间都 大，持续的时间长度是n的大小；
指数滑动平均(EWMA)
计算公式
ˆ t 2 t 2 1 ( 1 )t 2 2 ( 1 ) 2t 2 3 .
Weighted Moving Averages 隐含波动率Implied Volatility 实现的波动率realized volatility 自回归条件异方差类模型
数据
以上证日收益率为例
r1 ,r2,r3,…,rT
实际波动率计算公式
2 t
rt2
波动率年度化
*2501/2*100%源自 历史波动率的估计ˆT21
1 T
T
t2
t1
历史波动率
34 32 30 28 26 24 22
1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 HV
滑动平均波动率
滑动平均
ˆ
2 t
1 n
n
2 ti
t1
1 n
n
r
t
2
i
i1
滑动平均波动率
30，60，120，240天滑动平均 60