利用空间向量求空间角与距离

【反思·感悟】空间距离包括两点间的距离、点到线的距离、 点到面的距离等.其中点到点、点到线的距离可以用空间向量的 模来求解，而点到面的距离则借助平面的法向量求解，也可借 助于几何体的体积求解.
用空间向量解决探索性问题 【方法点睛】
探索性问题的类型及解题策略 探索性问题分为存在判断型和位置判断型两种： (1)存在判断型 存在判断型问题的解题策略是：先假设存在，并在假设的前提 下进行推理，若不出现矛盾则肯定存在，若出现矛盾则否定假 设.
t2 t2 4 t 2 2t2 2
即
4
5
解得t= 或t=4(舍去，因为AD=4-t>0)，
所以AB=4 .……………………………………………………8分
5
②假设在线段AD上存在一个点G(如图)，使得点G到点P、B、 C、D的距离都相等，
设G(0,m,0)(其中0≤m≤4-t)，则
GC 1,3 t m,0,GD 0,4 …t …m,…0…,G9P分 (0, m, t)
【例1】(1)(2012•合肥模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则直线 BC1与平面A1BD夹角的余弦值是( )
(A) 2
4
(C) 3
3
(B) 2
3
(D) 3
2
(2)(2012·天津模拟)如图，在五面 体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD,
AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点， AF=AB=BC=FE= 1 AD.
点容易造成失分，在备考时要高度关注：
(1)建系前缺少证明垂直关系而使步骤不完整.
备 考 (2)建系不恰当，导致点的坐标不易确定或求解时繁琐.
建 议
(3)不会利用直线的方向向量及平面法向量解决相应问题.
(4)计算失误导致结果不正确.
另外需要熟练掌握直线方向向量及平面法向量的求法，
有利于快速正确地解题.
(2)直线与平面的夹角
平面外一条直线与它_在__该__平__面__内__的__投__影__的夹角叫作该直线与此
平面的夹角.
设直线l的方向向量为s，平面π的法向量为n，直线l与平面π的
｜s n｜
夹角为θ,则sinθ=｜cos〈s，n〉｜=｜__s_｜__｜_n_｜__.
(3)平面间的夹角 如图所示，平面π1与π2相交 于直线l，点R为直线l上任意 一点，过点R，在平面π1上 作直线l1⊥l,在平面π2上作 直线l2⊥l，则l1∩l2=R.我们把 _直__线__l_1和__l_2的__夹__角__叫作平面π1与π2的夹角.
由 | GC || GD | 得12+(3-t-m)2=(4-t-m)2,即t=3-m.① 由 | GD || 得GP(|4-m-t)2=m2+t2.② 由①②消去t，化简得m2-3m+4=0.③ 由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使 得点G到点P，B，C，D的距离都相 等. …………………………12分
利用空间向量求空间角与距离
1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的 夹角的计算问题. 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
1.利用直线的方向向量和平面的法向量求空间角与距离是高考 的热点，尤其是用向量法求平面与平面的夹角和点到平面的距 离； 2.本节的重点是利用向量法求空间角，难点是正确地进行计算 3.高考对本节的考查多以解答题的形式出现，综合考查空间想 象能力、运算能力及数形结合思想.
已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2，
当0≤〈n1，n2〉≤
2
时，平面π1与π2的夹角等于〈__n_1，__n__2〉_;
当
2
＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于
_π__-_〈__n_1_，__n_2_〉__.
(1)长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点， 则异面直线BC1与AE夹角的余弦值为______.
3.(2012·福州模拟)如图，已知三 棱锥O—ABC的侧棱OA，OB，OC两两 垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的 中点. (1)求O点到平面ABC的距离； (2)求异面直线BE与AC夹角的余弦值； (3)求平面EAB与平面ABC夹角的余弦值.
1.(2012·西安模拟)如图，正方体ABCD
-A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1 的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
(A) 1
2
(C) 2
2
(B) 2
4
(D) 3
2
2.(2012·鞍山模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M， N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM夹角的正弦值为 ______．
(2)位置判断型
①与平行、垂直有关的探索性问题的解题策略为：将空间中的
平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决.
②与角有关的探索性问题的解题策略为：将空间角转化为与向
量有关的问题后应用公式cosθ=
|
n1 n1 |
n2 | n2
|(其中n1,n2是两平面
的法向量或两直线的方向向量)即可解决.
【例3】(2011·浙江高考)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D 为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8， PO=4，AO=3，OD=2. (1)证明：AP⊥BC； (2)在线段AP上是否存在点M， 使得二面角A-MC-B为直二面角？ 若存在，求出AM的长； 若不存在，请说明理由．
【解题指南】(1)证明平面PAB中的直线AB⊥平面PAD，从而 可推得平面PAB⊥平面PAD；(2)以A为坐标原点，建立空间直 角坐标系，然后用空间向量法进行求解探究.
【规范解答】(1)因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所 以PA⊥AB， 又AB⊥AD,PA∩AD=A， 所以AB⊥平面PAD.又AB 平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAD.………………………………………3 分 (2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图).在平面ABCD 内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.
2
①求异面直线BF与DE夹角的大小； ②证明：平面AMD⊥平面CDE； ③求平面ABCD与平面CDE夹角的余弦值.
【反思·感悟】1.异面直线的夹角与向量的夹角不同，应注意 思考它们的联系和区别； 2.直线与平面的夹角可以转化为直线的方向向量与平面的法向 量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联 系.
【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以 得到以下失分警示和备考建议：
在解答本题时有两点容易造成失分： 失 分 (1)建立坐标系后，求点的坐标时出现错误； 警 示 (2)解答第(2)问时，不知根据条件将问题转化为方程
的知识来解决，使解题思路受阻而无法解题．
解决空间向量在立体几何中的应用问题时，还有以下几
在平面π上 任取一点P
计算向量 PA
找到平面π 的法向量 n
计算 PA 在向量 n 上的投影 PA n0 计算点A到平面π的距离d= PA n0
【即时应用】 (1)思考：如何求线面距离与面面距离？ 提示：求这两种距离，通常都转化为求点到平面的距离.
(2)思考：如何推导点到平面的距离公式？
提示：如图,点A到平面α的距离就是向
2.距离的计算 (1)点到直线的距离 空间一点A到直线l的距离的算法框图为：
在直线l上 任取一点P
确定直线l的 方向向量s
计算向量 PA
计算 PA 在向量 s 上的投影 PA s
计算点A到直线l的距离d=
2
2
PA PA s
(2)平行直线间的距离 求平行直线间的距离通常转化为求_点__到__直__线__的__距__离___. (3)点到平面的距离 空间一点A到平面π的距离的算法框图为：
用空间向量求空间距离 【方法点睛】
求平面α外一点P到平面α的距离的步骤 (1)求平面α的法向量n； (2)在平面α内取一点A,确定向量 PA 的坐标； (3)代入公式 d | n PA | 求解.
|n|
【例2】(1)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的 中点，则点C1到平面A1ED的距离是______. (2)(2012·衡水模拟)已知四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCD，且 PA=4PQ=4，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD= 2 ，M，N分 别是PD，PB的中点. ①求证：MQ∥平面PCB； ②求截面MCN与底面ABCD夹角的大小； ③求点A到平面MCN的距离.
1.夹角的计算
(1)直线间的夹角
①两直线的夹角
当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中,范围在 ［__0_,__2__］__内的角叫作两直线的夹角.
②异面直线的夹角
当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我 们把_直__线__l_1_和__直_线__A_B__的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角. 设s1，s2分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
①设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
由 n CD,n ,得PD
x y 0
4 t y tz 0.
取x=t，得平面PCD的一个法向量n=(t,t,4-t).
……………………………………………………………………6
分
| n PB |,
由题意得co2ts2604°t =
| n | | PB | 1,
用空间向量求空间角 【方法点睛】 1.两异面直线夹角的求法 利用空间向量求异面直线的夹角可利用直线的方向向量转化成 向量的夹角. 2.利用向量求直线与平面夹角的方法 (1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化 为求两个方向向量的夹角(或其补角);
(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法 向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面的夹角. 3.求平面与平面夹角的常用方法 (1)分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的 夹角得到平面与平面夹角的大小. (2)分别在两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量, 则这两个向量的夹角(或其补角)的大小就是平面与平面夹角的 大小.
在Rt△CDE中，DE=CD·cos45°=1.设AB=AP=t，则
B(t,0,0),P(0,0,t)， PB t,0,t.
由AB+AD＝4得AD=4-t，所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4t,0).
CD 1,1,0,PD …0,…4 …t,…t…. …………………5分
【反思·感悟】1.开放性问题是近几年高考中出现较多的一种 题型，向量法是解此类问题的常用方法. 2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转 化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若 有解但不满足题意或无解则不存在.
【满分指导】用空间向量解答立体几何问题的规范解答 【典例】(12分)(2011·福建高考)如 图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD. 四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4， CD= 2 ，∠CDA=45°. (1)求证：平面PAB⊥平面PAD； (2)设AB=AP.①若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长； ②在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相 等？说明理由.
量 AB在平面α 的法向量n上投影的绝 对值,即
d=|AB|sin∠ABO =｜| AB|cos〈 A,nB〉｜= ｜｜AB｜｜AAB｜B｜ nn｜｜｜A｜Bn｜n｜. 利用该公式求点到平面的距离简便易行.
(3)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形， 高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是_____.
l1与l2的夹角θ
s1与s2的夹角〈s1,s2〉
范围
0 2
0 〈s1，s2〉＜
求法 关系
cos ｜cos〈s1，s2〉｜
s1 s2 ｜s｜1 ｜s｜2
cos〈s1，s2〉｜s｜s11 ｜s2 s｜2
当0
〈s1 , s2〉
时, 2
〈s1 , s2〉;
ห้องสมุดไป่ตู้当 2
〈s1 , s 2〉＜时，
〈s1 , s 2〉