【医学英文课件】 《生物医学信号处理(双语)》精品课件

另外注意连续时间和离散时间的傅里叶变换是否具有 周期性: X(ejω)具有周期性, 周期2π。X(jω)不具有周期性。
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连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系
奥本海姆《 信号与系统》在 “第7章 采样”的“7.4 Discrete-Time Processing of Continuous-time Signals”一 节中, 因对连续时间信号xc(t)进行采样(得到xd[n]), 在分 析频谱时需要同时涉及到连续时间信号的傅里叶变换和
Time Signal
2
4.0 Introduction
➢Continuous-time signal processing can be implemented through a process of sampling, discrete-time processing, and the subsequent reconstruction of a continuous-time signal.
ifs a m p lin g p e r io d T 1 6 0 0 0 .
Solution:
x n x c n T c o s 4 0 0 0 T n c o s 2 3 n c o s w 0 n
T h e h i g h e s tf r e q u e n c y o ft h e s i g n a l : 0 4 0 0 0
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连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系
在奥本海姆的《信号与系统》教材里, 在 “第7章 采样”
内容之前，连续时间傅里叶变换X(jω), 和离散时间傅里
叶变换X(ejω)中涉及的频率都用相同的频率符号ω表示,
没有加以区分, 各说各话。
X(ej) x[n]ejn,
X(j) xtejtdt,
T 1 6000
Xs j
T T2
3
1 s
1 s
12000
12000
T
T
从积X分( e(相j 同) 的面积)或 冲 击23函 数的定义可证T
T
Ex.4.2: Aliasing in sampling an sinusoidal signal
Compare the continuous-time and discrete-time
1 T
Xc
j
T
,
T
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F[xc t ]
st=t nT
xcnTxn
n
Sj2Tk ks F s t
F[xS t ]
aliasing frequency
s 2
2 T = s
T
sNN s 2N
不满足采样定理条件 aliasing
xstxctst
Xs(j)T1k Xc(j(ks))
X(ej)Xs(j)| T
T:
t
sampling
period
n
impulse train sampling
xstxcttnT n xcnTtnT n
x[n]xc(nT)
Sampling sequence 4
冲激串的傅立叶变换： Sj2T k ks
T：sample period; fs=1/T:sample rate;Ωs=2π/T:sample rate
Sampling 4.3 Reconstruction of a Bandlimited Signal
from its Samples 4.4 Discrete-Time Processing of Continuous-
Time signals 4.5 Continuous-time Processing of Discrete-
n
但要注意频率的单位, 一个是rad/s, 另一个无单位; 另
外, 频率高低与ω取值范围的关系：连续时间傅里叶变换
X(jω)中的ω值越大, 频率越高；但是离散时间傅里叶变
换X(ejω)中的ω值越大, 频率却未必越高：X(ejω)中的ω的
值是π的奇数倍的时候, 表示频率最高; ω的值是π的偶数
倍的时候, 表示频率最低。
T
T
5
4.2 Frequency-Domain Representation of Sampling
xssttxnctsttn Tx c ,t S j t n 2T T k x ckn T st n T
n
n x [ n ]
Xsj 21 Xcj *Sj 21 SjXcj( )d
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Chapter 4: Sampling of Continuous-Time Signals
4.0 Introduction 4.1 Periodic Sampling 4.2 Frequency-Domain Representation of
discrete-time FT of
xn c o s2 3 n c o sw 0 n
1 ej23nej23n 2
4000 0
4000
X (e j ) Xs jT 1k Xc j k s ,s 12000
22
X (e j )= Xs jT 1k Xc j k s
T1kXcj T2Tk 4 0 0 0 4 0 0 0
n
(在535页的最后一段中开始)特别将两种傅里叶变换中
的频率符号加以区分(仅7.4一节, 其他章节没有区分):
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连续时间傅里叶变Βιβλιοθήκη 和离散时间傅里叶变换间的联系Xd(ej) xd[n]ejn, Xc(j) xctejtdt,
n
因为采样, 两种不同的傅里叶变换联系起来了,不但两种
变换的变换结果可建立起表达式关系, 而且其各自变换
2 s a m p lin gfr e q u e n c y s T 1 2 0 0 0 2 0
21
Example 4.1: Sampling and
Reconstruction of a sinusoidal signal
continuous-time FT of
xctco 4s0t0 012 ej4000t ej4000t X c j 4 0 0 0 4 0 0 0
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连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系
奥本海姆《 信号与系统》在 “第7章 采样”的“7.4 Discrete-Time Processing of Continuous-time Signals”一 节中, 两种傅里叶变换的表示方法:
Xd(ej) xd[n]ejn, Xc(j) xctejtdt,
s a m p lin gfr e q u e n c y s 2 T 1 2 0 0 0 2 0
x n x c n T c o s 1 6 , 0 0 0 T n c o s 1 6 , 0 0 0 n / 6 0 0 0
c o s 2 n 2 n /3 c o s2 3 n
离散时间序列的傅里叶变换。
这是两种不同的傅里叶变换, 需加以区分(如下所示: Ω
是数字频率, ω是模拟频率)。因为两种傅里叶变换的频
谱特性, 特别是随频率变化而变化的特性, 如上页所述,
表现各有特点, 有相似的地方, 也有截然不同之处。
Xd(ej) xd[n]ejn, Xc(j) xctejtdt,
without Aliasing
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F[xc t ]
st=t nT
xcnTxn
n
Sj2Tkks
F s t
xstxctst
F[xS t ]
2 T
Xs(j)T1k Xc(j(ks))
X(ej)Xs(j)| T
T
s=2 T No aliasing
T1kXc(
j(k2))
T
s NN
s 2N
满足采样定理条件, 无频率混叠
T: sampling period
x n xc nT , f=1/T: sampling frequency n s 2 T , ra /sd
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Unit impulse
train
冲激串序列
(t nT ) n
4.1 Periodic Sampling
Continuoustime signal
T 1 2 1 k 2 Tk k s X k c s j( X c j)( d)T 1d k Xc jks
Representation of
Xs j in terms of
X e jw
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Representation of Xejw in terms of Xsj , Xc j
j ks
T1kXcj T2Tk
if
Xcj0,
=
TT
Xc j
X(ej)T1Xcj,
T
X(ej)1
T
Xc
jT,
-
T
1
T X (e j )
T
- s
-
T
Continuous FT of Sampling
T
DTFT
s
without Aliasing
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Representation of X(ejω) in terms of Xc(jΩ)
的自变量频率之间也有表达式关系: Ω=ωT, Ω是数字频
率, ω是模拟频率。Xd(ej)T 1k Xc jks
也就是说两种变换的频率含义并非完全相同, 而是既区 别又有联系。也恰恰是因为采样的缘故, 建立起了两种 变换的频率之间的表达式关系: Ω=ωT。
《 信号与系统》第7章7.4节中的538页最上面一段中解 释了Ω=ωT的比例关系: 用“4.3-5 Time and Frequency Scaling” 性质解释。
X
(e
j
)
1 TkXc
j ks
T1kXcj T2Tk
if
Xcj0,
=
TT
， T
X(ej)1
T
Xc
jT,
2 T T
T 2 T
Aliasing
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Nyquist Sampling Theorem
• Let X c t be a bandlimited signal with X cj 0 , fo r N. Then X c t is
T1kXc(
j(k2))
T
1 T
Xc
j
T
,
T
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Example 4.1: Sampling and Reconstruction of a sinusoidal signal
Compare the continuous-time and discrete-time
FTs for sampled signal xctcos4000t,
s(t)为冲激串序列，可展开傅立叶级数
st
n
tnT
a e jkst k
k
1 e jkst T k
akT 1 T T//22
(t)ejkstdt1 T
…
s(t)
1
…
-T 0 T
t
ejk st F 2 ( k s)
S ( j)
2
Sj2T k ks
…T
…
2 0 2
n
这与奥本海姆《离散时间信号处理》教材中用的频率符 号正好相反(该教材中数字频率ω=ΩT, Ω是模拟频率):
X(ej)
x[n]ejn,
X(j) xtejtdt,
n
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Representation of Xejw in terms of Xc j
X (e j )
DTFT
1 TkXc
xstxctst xcn TtnT
n
Xs(j )xcnTtnTej tdt
n
e
xc nT ejTn
n
T
x[n] jnX(ej)
x[n]xc(nT)
数字角频率ω，rad 模拟角频率Ω, rad/s
X(e j T )
n
DTFT
2
Xs jT 1k Xc j k s
s T
采样角频率, rad/s
uniquely determined by its samples
x n x cn T ,n 0 , 1 , 2 , ,
if
s
2
T
2N
.
• The frequency N is commonly referred
as the Nyquist frequency.
• The frequency 2 N is called the Nyquist rate, which is the minimum sampling rate (frequency).
FTs for sampled signal xctcos16,000t
ifs a m p lin g p e r io d T 1 6 0 0 0
Solution:
T h e h i g h e s tf r e q u e n c y o ft h e s i g n a l : 0 1 6 , 0 0 0