八年级数学上学期全等三角形判定二(ASA,AAS)(基础)知识讲解——含课后作业与答案

全等三角形判定二（ASA ，AAS ）（基础）
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【要点梳理】
【高清课堂：379110 全等三角形判定二，知识点讲解】
要点一、全等三角形判定3——“角边角”
全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .
要点二、全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件
可选择的判定方法 一边一角对应相等
SAS AAS ASA 两角对应相等
ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能
全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定3——“角边角”
【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例5】
1、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．
求证：AE ＝CF ．
【答案与解析】
证明：∵AD ∥CB
∴∠A ＝∠C
在△ADF 与△CBE 中
A C AD C
B D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADF ≌△CBE （ASA ）
∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF
故得：AE ＝CF
【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．
举一反三：
【变式】（2014•青山区模拟）如图，已知AE=CF ，∠AFD=∠CEB，AD∥BC，求证：△ADF≌△CBE．
【答案】
证明：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF ，
即AF=CE；
∵AD∥BC，
∴∠A=∠C；
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（ASA）．
类型二、全等三角形的判定4——“角角边”
2、（2015•长乐市一模）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．求证：△ACD≌△CBE．
【思路点拨】根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°，然后根据同角的余角相等求出∠B=∠ACD，再利用“角角边”证明△ACD≌△CBE．
【答案与解析】
证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠E=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∵∠B+∠BCE=90°，
∴∠B=∠ACD，
在△BEC和△CDA中，，
∴△ACD≌△CBE（AAS）．
【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，求出∠B=∠ACD是证明三角形全等的关键．举一反三：
【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.
求证：BE＝CF.
【答案】
证明：∵AD 为△ABC 的中线
∴BD ＝CD
∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，
∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，
在△BED 和△CFD 中
BED CFD BDE CDF
BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
（对顶角相等） ∴△BED ≌△CFD （AAS ）
∴BE ＝CF
3、已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB ∥DC ，AB ＝DC ．
（1）求证：AC 与BD 互相平分；
（2）若过O 点作直线l ，分别交AB 、DC 于E 、F 两点，
求证：OE ＝OF.
【思路点拨】（1）证△ABO ≌△CDO ，得AO ＝OC ，BO ＝DO （2）证△AEO ≌△CFO 或△BEO ≌△DFO
【答案与解析】
证明：∵AB ∥DC
∴∠Ａ＝∠Ｃ
在△ABO 与△CDO 中
A C (AO
B COD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝对顶角相等） AB=CD
∴△ABO ≌△CDO （AAS ）
∴AO ＝CO ，BO=DO
在△AEO 和△CFO 中
A C (AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝AO=CO
＝对顶角相等） ∴△AEO ≌△CFO （ASA ）
∴OE ＝OF.
【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.
类型三、全等三角形判定的实际应用
4、（2014春•通川区校级期末）要测量河两岸相对两点A ，B 间的距离，先在过点B 的AB 的垂线上取两点C 、D ，使CD=BC ，再在过点D 的l 的垂线上取点E ，使A 、C 、E 三点在一条直线上，这时ED 的长就是A ，B 两点间的距离．你知道为什么吗？说说你的理由．
【思路点拨】利用“角边角”证明△ABC 和△EDC 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=DE ，从而得解．
【答案与解析】
解：∵AB⊥l，CD⊥l，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在△ABC 和△EDC 中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA ），
∴AB=DE，
即ED 的长就是A ，B 两点间的距离．
【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.
【巩固练习】
一、选择题
1. 能确定△ABC ≌△DEF 的条件是 （ ）
A ．A
B ＝DE ，B
C ＝EF ，∠A ＝∠E
B ．AB ＝DE ，B
C ＝EF ，∠C ＝∠E
C ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠D
D ．∠A ＝∠D ，AB ＝D
E ，∠B ＝∠E
2．如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是
（ ）
图4－3
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙3．（2015•滕州市校级模拟）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）
A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD 4．（2016•永州）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那
么最省事的方法是()
A.带①去
B.带②去
C.带③去
D.①②③都带去
6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）
A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BAC
C．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC
二、填空题
7.（2015•黑龙江二模）如图，线段AD与BC相交于点O，连结AB、CD，且∠B=∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是（只填一个即可）
8. 在△ABC 和△'''A B C 中，∠A ＝44°，∠B ＝67°，∠'C ＝69°，∠'B ＝44°，且AC ＝ ''B C ，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）
9. 已知，如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，AF ＝DE ，且BE ＝2，BC ＝10，则EF ＝________.
10. （2016•石景山一模） 如图，AD=AE ，请你添加一个条件______________，使得△ADC ≌△AEB ．
11. 如图, 已知：∠1 ＝∠2 , ∠3 ＝∠4 , 要证BD ＝CD , 需先证△AEB ≌△AEC , 根据是 ，再证△BDE ≌△ ，根据是 ．
12. 已知:如图，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，
（1）若以“ASA ”为依据，还缺条件
（2）若以“AAS ”为依据，还缺条件
（3）若以“SAS ”为依据，还缺条件
E D C B
A
三、解答题
13．（2014•丰台区一模）已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF．
14. 已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AC与BD互相平分.
15. 已知：如图, AB∥CD, OA ＝ OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且AE ＝ DF.
求证：EB∥CF.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】A 、B 选项是SSA ，没有这种判定，C 选项字母不对应.
2. 【答案】B ；
【解析】乙可由SAS 证明，丙可由ASA 证明.
3. 【答案】B ；
【解析】解：A 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若BD=CD ，则△ABD≌△ACD（SAS ）；
B 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若AB=A
C ，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；
C 、∵∠1=∠2，A
D 为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS ）；
D 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA ）；
故选：B ．
4. 【答案】D ；
【解析】解：∵AB=AC ，∠A 为公共角，
A 、如添加∠B=∠C ，利用ASA 即可证明△ABE ≌△ACD ；
B 、如添AD=AE ，利用SAS 即可证明△ABE ≌△ACD ；
C 、如添BD=CE ，等量关系可得AD=AE ，利用SAS 即可证明△ABE ≌△AC
D ；
D 、如添BE=CD ，因为SSA ，不能证明△AB
E ≌△ACD ，所以此选项不能作为添加的条件．
5. 【答案】C ；
【解析】由ASA 定理，可以确定△ABC.
6. 【答案】C ；
【解析】△ABO 与△CDO 中，只能找出三对角相等，不能判定全等.
二、填空题
7. 【答案】OB=OD ；
【解析】解：添加条件OB=OD ，
在△ABO 和△CDO 中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA ），
故答案为：OB=OD ．
8. 【答案】一定；
【解析】由题意，△ABC ≌△'''B A C ，注意对应角和对应边.
9. 【答案】6；
【解析】△ABF ≌△CDE ，BE ＝CF ＝2，EF ＝10－2－2＝6.
10.【答案】答案不唯一，B C ∠=∠或AC AB =等；
【解析】
11.【答案】ASA ，CDE ，SAS ；
【解析】△AEB ≌△AEC 后可得BE ＝CE.
12.【答案】（1）∠A ＝ ∠D ；（2）∠ACB ＝ ∠F ；(3) BC ＝EF.
三、解答题
13. 【解析】
证明：∵AB∥DF，
∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，
∵∠E=∠CPD．
∴∠E=∠B，
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA ）．
14.【解析】
证明： ∵BF ＝DE ，
∴BF －EF ＝DE －EF ，即BE ＝DF
在△ABE 和△CDF 中，
AB CD BE DF ,AE CF ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝
∴△ABE ≌△CDF （SSS ）
∴∠B ＝∠D ，
在△ABO 和△CDO 中
B D AOB COD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABO ≌△CDO （AAS ）
∴AO ＝OC ，BO ＝DO ，AC 与BD 互相平分.
15.【解析】
证明：∵AB ∥CD,
∴∠CDO ＝∠BAO
在△OAB 和△ODC 中，
CDO BAO OD OA DOC AOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△OAB ≌△ODC （ASA ）
∴OC ＝OB
又∵AE ＝ DF ，
∴AE ＋OA ＝DF ＋OD ，即OE ＝OF 在△OCF 和△OBE 中
OC OB DOC AOB OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△OCF ≌△OBE （SAS ） ∴∠F ＝∠E ，
∴CF ∥EB.。