第四章不定积分习题课-带解答

. 1 .
第四章 不定积分 习题课
1．原函数 若，则称为的一个原函数．
)()(x f x F =')(x F )(x f 若是的一个原函数，则的所有原函数都可表示为
)(x F )(x f )(x f ．
C x F +)(2．不定积分 的带有任意常数项的原函数叫做的不定积)(x f )(x f 分，记作．
⎰dx x f )(若是的一个原函数，则，
)(x F )(x f C x F dx x f +=⎰)()(3．基本性质
1），或；
)(])([x f dx x f ='⎰dx x f dx x f d )(])([=⎰2），或；
C x F x dF +=⎰)()(C x F dx x F +='⎰)()(3）；
⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([4），（，常数）．
⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(0≠k 4．基本积分公式（20个）
原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。

不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一．
5. 例题
例1　已知的一个原函数是，求．
)(x f x 2ln )(x f '解 ， ．
x x x x f 1ln 2)(ln )(2
⋅='=)ln 1(2ln 2)(2x x x x x f -='
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
='
. 2 .
例2　设，求．
C x dx x f +=⎰2
sin 2)()(x f 解　积分运算与微分运算互为逆运算，所以
．2
cos ]2sin
2[])([)(x C x dx x f x f ='+='=⎰例3　若的一个原函数是，求．
)(x f x 2⎰'dx x f )(解　因为是的原函数，故，所以
x 2)(x f 2ln 2)2()(x x x f ='=．
C C x f dx x f x +=+=
'⎰2ln 2)()(例4　求不定积分．
⎰-dx e x x 3解　被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即
．
⎰⎰--=dx e dx e x
x
x
)3(31
C e e x
+=--)3()3ln(111C e x x +-=-3ln 13例5　求不定积分．⎰
'⎪⎭
⎫
⎝⎛dx x x 2sin 解　利用求导运算与积分运算的互逆性，得
．
C x x dx x x +='
⎪⎭
⎫
⎝⎛⎰
22sin sin 例6　求不定积分．
⎰
⋅dx x
x
x 5
3
3解　先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分．
．
C x dx x dx x dx x
x
x +===⋅⎰
⎰⎰
-+15
26
15
115
3
3115
3
326
15
. 3 .
例7　求不定积分．⎰
++++dx x
x x x x 3
231
3解　分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即
⎰⎰
+++++=++++dx x
x x
x x x dx x x x x x 3
233232113
．
⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++=dx x x 121
12C x x x +++=arctan 2||ln 例8　求不定积分．
⎰
-dx x
2cos 11
解　用三角恒等式将被积函数变形，然后积分．
x x 2sin 212cos -=
．⎰⎰
=-dx x
dx x 2sin 212cos 11⎰=xdx 2
csc 21C x +-=cot 21例9　求不定积分．
⎰+dx x x )sec (tan 22解　用三角恒等式将被积函数统一化为的函数，1sec tan 22-=x x x 2sec 再积分．
⎰⎰+-=+dx
x x dx x x )sec 1(sec )sec (tan
2222
．
⎰-=dx x )1sec 2(2C x x +-=tan 2例10　求不定积分．⎰++dx x x x )
1(212
22
解　．⎰⎰
+++=++dx x x x x dx x x x )
1(1)1(21222
2222⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=dx x x 2
2111
C x x +-=1arctan
. 4 .
例11　求不定积分．
⎰
+dx x x )
1(1
24解　类似于例10，拆项后再积分
⎰⎰
++--+=+dx
x x x x x x dx x x )
1(1)1(1
24442224
．⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-=dx x x x 2
241111
C x x x +++-=arctan 1313例12　一连续曲线过点，且在任一点处的切线斜率等于
，)3,(2e x
2求该曲线的方程．
解　设曲线方程为，则，积分得)(x f y =x
x f 2
)(=
'
． （曲线连续，过点，故C x dx x
x f +==⎰
ln 22
)()3,(2e ）
0>x 将代入，得，解出．所以，曲线方程为3)(2=e f C e +=2ln 231-=C ．
1ln 2-=x y 例13　判断下列计算结果是否正确
1）； 2）．C x dx x
x +=+⎰32
2)(arctan 31
1)(arctan (
)
C e dx e
x x
++=+⎰
1ln 11
解　1），所以计算结果正确．2
23
1)(arctan )(arctan 31x x C x +='
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+2）， 计算结果不正确，即
[
]
x
x x x
e e e C e +≠+='++111)1ln(．(
)
C e dx e
x x
++≠+⎰
1ln 11
. 5 .
以下积分都要用到“凑微分”．请仿照示例完成其余等式
1）时，．0≠a ⎰
⎰++=
+)()(1
)(b ax d b ax f a dx b ax f 2）．
⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin 3）=⎰xdx x f sin )(cos 4）⎰=dx x
x f 1)(ln 5），时，0>a 1≠a =
⎰dx a a f x x )(6）时，0≠μ1()f x x dx μμ-=⎰7）=⎰xdx x f 2sec )(tan 8）=
⎰xdx x f 2csc )(cot 9）=
-⎰dx x
x f 2
11)(arcsin 10）=+⎰dx x
x f 2
11
)(arctan 11）='⎰
dx x f x f )
()
(例14　求．
⎰
dx x
x x
cos sin tan ln 解　⎰⎰
⋅=xdx x x dx x x x 2sec tan tan ln cos sin tan ln ⎰=x
d x
x
tan tan tan ln ．⎰=)tan (ln tan ln x d x ()C x +=
2tan ln 2
1
. 6 .
注
由于被积函数中含有，表明，故
x tan ln 0tan >x ．x d x d x
tan ln tan tan 1
=例15　求下列不定积分
1）；
2）．
⎰
+dx x
x x
ln 1ln ⎰+dx x x 100)1(解　1）　(请注意加1、减1的技巧)⎰
⎰
⋅+-+=+dx x
x x dx x
x x
1
ln 111ln ln 1ln
⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-+=)
ln 1(ln 11ln 1x d x x
　．
C x x ++-+=21
23
)ln 1(2)ln 1(3
2
2）dx
x x dx x x 100100)1()11()1(+-+=+⎰⎰
)
1()1()1()1(100101++-++=⎰⎰x d x x d x
．C x x ++-+=
101102)1(101
1
)1(1021例16　设，不求出，试计算不定积分
C x dx x f +=⎰2)()(x f ．
⎰-dx x
xf )1(2
解 （将看作变量）2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=-
--⎰⎰
2
1x -u ．C x +--=22)1(2
1
例17　设，求．x e x f -=)(⎰
'dx x
x f )
(ln 解　先凑微分，然后利用写出计算结果．即
C u f u d u f +='⎰)()(
. 7 .
．⎰⎰
'='x d x f dx x x f ln )(ln )(ln C x f +=)(ln C e x +=-ln C x
+=1
例18　计算不定积分．⎰
+dx x x )
1(1
2
4 【提示】 分母中有时，考虑用“倒代换”．
k x t
x 1
=解　设，则，t x 1
=
dt t
dx 21-=
422
4
21
1
11
1(1)1dx dt x x t t t ⎛⎫
=- ⎪+⎛⎫⎝⎭
+ ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰+-=dt t t 241⎰++--=dt t t 2
4111
⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛++--=dt t t 22
1113arctan 3t t t C =-+-+
．3
111arctan 3C x x x
=-
+-+例19　求不定积分．
⎰
+dx x x )
4(1
6解　⎰
⎰
+=+dx x x x dx x x )
4()
4(1665
6⎰
+=)
()
4(161666x d x x
()
⎰
+=dt t t t
x
41
6
1
6
⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=
dt t t 411241 ． 1ln 244t C t =++6
61ln 244
x C x =++分部积分
．
⎰⎰⎰⎰'-
=-
'vdx u uv vdu
uv udv
dx
v u v
u 、交换凑微分
目的，使公式右边的积分要比左边的积分容易计算，
u vdx '⎰⎰'dx v u 关键在于正确地选取和凑出．
u
. 8 .
例 20　求不定积分．
⎰
dx x
x
arcsin 解一　这是一道综合题，先作变量代换，再分部积分．令，x t =则，，
2t x =tdt dx 2= ⎰
⎰
=tdt t t
dx x
x
2arcsin arcsin ⎰=v u
t d t arcsin 2
(
)
⎰-=t
d t t t arcsin arcsin 2⎰
--=dt
t
t
t t 2
12arcsin 2
22arcsin (1)
t t t =+-
C
t t t +-+=212arcsin 2
．
C x x x +-+=12arcsin 2解二　先凑微分，再代换，最后分部积分，即
⎰⎰=x
d x dx x
x
arcsin 2arcsin ⎰=dt t t
x arcsin 2
⎰
--=dt t
t t t 2
12arcsin 2．
C t t t +-+=212arcsin 2C x x x +-+=12arcsin 2例 21　已知的一个原函数是，求．
)(x f 2
x e
-⎰'dx x f x )(【提 示】 不必求出，直接运用分部积分公式．
)(x f '解　由已知条件，，且，故
)(x f ()
'=-2
x e ⎰dx x f )(C e x +=-2
⎰⎰=')()(x xdf dx x f x ⎰-=dx
x f x xf )()(
()C
e
e
x x x +-'
=--2
2
. 9 .
．
C e e x x x +--=--2
222例 22　设，求．
x x x f ln )1()(ln +=')(x f 解　先求出的表达式．设，则，
)(x f 't x =ln t e x =)
1()(+='t e t t f
　⎰+=dt e t t f t )1()(⎰⎰+=tdt
tde t
,
22t dt e te t
t +-=⎰C t e te t
t ++-=2
2所以
．
C x e xe x f x x
++-=2
)(2
例23　求不定积分．
5432
x x dx x x
+--⎰
解　将分子凑成，
23332()()2x x x x x x x x x x -+-+-++-把分式化为多项式与真分式的和
；5422
33221x x x x x x x x x x
+-+-=+++--再将真分式化为最简分式的和，
232
x x x x
+--，23
2(2)(1)22(1)21(1)(1)(1)(1)1
x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-++-====--+-+++于是
542
3221(1)1
x x dx x x dx x x x x +-=+++--+⎰
⎰
．32
2ln ln 132x x x x x C =+++-++
. 10 .
例24 求不定积分．⎰
+-dx x x x )
1(18
8
解
=
+-⎰
dx x x x )
1(188
⎰
+-dx x x x x 7
888)
1(1⎰
+-=
)
()
1(1818
888x d x x x （换元，令）⎰+-=
du u u u )
1(18
18
x u =⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=
du u u 12181 C u u ++-=)1ln(4
1ln 8
1(
)C x x ++-=881ln 4
1ln 8
1
．
(
)
C x x ++-=81ln 4
1
||ln 例25　求不定积分．⎰
+dx x
sin 11
解　⎰⎰
--=+dx x
x dx x 2sin 1sin 1sin 11⎰-=dx x x
2cos sin 1
．
⎰-=dx x x x )sec tan (sec 2C x x +-=sec tan 例26 求不定积分．
⎰
+++++dx x x x
)
11()1(113
6
5
解　为同时去掉三个根式，设，则，，
t x =+6116-=t x dt t dx 56= dt t t t t dx x x x
5
2533
6
5
6)
1(1)
11()1(11++=+++++⎰
⎰
32161t t t dt t +-+=+⎰
⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+++-=dt t t t t 221116
(
)
C t t t +++-=arctan 61ln 3322．
(
)
3311ln 313x x ++-+=C x +++61arctan 6。