周测二。函数及其性质

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人教版九年级数学上册第22章二次函数基础测试题(含答案)

人教版九年级数学第22章基础测试题（含答案）22.1 二次函数的图象和性质一、选择题（本大题共8道小题）1. 已知直线y＝bx－c与抛物线y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象可能是()2. 将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是() A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度3. (2019•岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1<1<x2，则c的取值范围是A．c<-3 B．c<-2C．c<14D．c<14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动．过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP 的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是()5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象可能是()6. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是()7. 如图，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6 cm，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝10 cm，点C和点M重合，点B，C(M)，N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1 cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止．设移动x s 后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y cm2，则y关于x的大致图象是()8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x …－2 －1 0 1 2 …y＝ax2＋bx＋c …t m －2 －2 n …且当x ＝－12时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：(1)abc>0；(2)－2和3是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝t 的两个根；(3)0<m ＋n<203.其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共8道小题）9. 抛物线y ＝12(x ＋3)2－2是由抛物线y ＝12x 2先向________(填“左”或“右”)平移________个单位长度，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位长度得到的.10. 函数y ＝－4x 2－3的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ________0时，y 随x 的增大而减小，当x ________时，y 有最________值，是________，这个函数的图象是由y ＝－4x 2的图象向________平移________个单位长度得到的．11. 二次函数y ＝－x 2＋6x －5的图象开口________，对称轴是________，顶点坐标是________；与x 轴的两个交点坐标分别是________，与y 轴的交点坐标是________；在对称轴左侧，即x ________时，y 随x 的增大而________，在对称轴右侧，即x ________时，y 随x 的增大而________，当x ＝________时，y 有最________值为________；抛物线y ＝－x 2＋6x －5是由抛物线y ＝－x 2向________(填“左”或“右”)平移________个单位长度，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位长度得到的．12. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a (x －2)2交于点B ，抛物线y ＝a (x －2)2交y 轴于点E ，过点B 作x 轴的平行线与两条抛物线分别交于D ，C 两点．若A 是x 轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD ，AC ，EC ，ED ，则四边形ACED 的面积为________．(用含a 的代数式表示)14. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)与x 轴交于A ，B 两点，顶点为P(m ，n)．给出下列结论：①2a ＋c ＜0；②若(－32，y 1)，(－12，y 2)，(12，y 3)在抛物线上，则y 1＞y 2＞y 3；③若关于x 的方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，则k ＞c －n ；④当n ＝－1a 时，△ABP 为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)15. 如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC 交y 2的图象于点E ，则DEAB ＝________．16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＞0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于点B .若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)求直线AB对应的函数解析式．18. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(5，－6)，C(6，0)．(1)求抛物线的解析式．(2)在直线AB下方的抛物线上是否存在点P，使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19. 已知：如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)．(1)求抛物线的解析式．(2)设点P在该抛物线上滑动，则满足条件S△PAB＝1的点P有几个？求出所有点P的坐标．(3)设抛物线交y轴于点C，该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20. (2019·山西)综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A (–2，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，D C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.人教版九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】C【解析】在A 中，抛物线的对称轴在y 轴右边，∴－b2a ＞0，∵a＞0，∴b ＜0；而从一次函数图象知b ＞0，∴选项A 错误；在B 中，抛物线对称轴－b2a ＞0，∵a ＜0，∴b ＞0；而从一次函数图象知b ＜0，∴选项B 错误；在C 中，抛物线的对称轴在y 轴左边，∴－b2a ＜0，∵a ＞0，∴b ＞0；抛物线与y 轴负半轴相交，∴c ＜0；而从一次函数图象知b ＞0，－c ＞0，∴c ＜0，∴选项C 正确；在D 中，抛物线与y 轴的正半轴相交，c ＞0，由一次函数图象知－c ＞0，即c ＜0，∴选项D 错误．2. 【答案】D [解析] A ．将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位长度得到函数y ＝(x ＋1)2的图象，它经过点(1，4)；B.将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位长度得到函数y ＝(x －3)2的图象，它经过点(1，4)；C.将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位长度得到函数y ＝x 2＋3的图象，它经过点(1，4)；D.将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝x 2－1的图象，它不经过点(1，4)．故选D.3. 【答案】B【解析】由题意知二次函数y=x2+2x+c 有两个相异的不动点x1、x2，所以x1、x2是方程x2+2x+c=x 的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c=0，所以∆=1–4c>0，又x2+x+c=0的两个不相等实数根为x1、x2，x1<1<x2，所以函数y=x2+x+c=0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则140110c c ->⎧⎨++<⎩，解得c<-2，故选B ．4. 【答案】B【解析】∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°.(1)当0≤x ≤2时，点P 在AB 边上，△BDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝BD ＝x ，y ＝12x 2 (0≤x ≤2)，其图象是抛物线的一部分； (2)当2＜x ≤4时，点P 在AC 边上，△CDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝CD ＝4－x ，∴y ＝12BD ·PD ＝12x (4－x ) (2＜x ≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B 的图象能大致反映y 与x 之间的函数关系．5. 【答案】C 【解析】抛物线开口向上，所以a ＞0，对称轴在y 轴右侧，所以a 、b 异号，所以b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＜0，所以直线y ＝ax ＋b过第一、三、四象限，反比例函数y ＝cx 位于第二、四象限，故答案为C.6. 【答案】D [解析] 由一次函数y ＝ax ＋a 可知，其图象与x 轴交于点(－1，0)，排除A ，B ；当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向上，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第一、二、三象限；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向下，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第二、三、四象限．排除C.7. 【答案】A [解析] (1)当点D 位于PM 上时，x ＝2.当0≤x ＜2时，重叠部分是等腰直角三角形，y ＝12x2，图象是顶点为(0，0)且开口向上的抛物线的一部分．(2)当点D 位于PN 上时，x ＝4.当2≤x≤4时，重叠部分是直角梯形，y ＝12×(x －2＋x)×2＝2x －2，图象是直线的一部分；(3)当4＜x≤6时，重叠部分是一个五边形，y ＝12×(2＋6)×2－12(6－x)2＝8－12(6－x)2，图象是顶点为(6，8)且开口向下的抛物线的一部分．故选A.8. 【答案】C [解析] (1)因为当x ＝－12时，与其对应的函数值y>0，由表格可知x ＝0时，y＝－2，x ＝1时，y ＝－2，可以判断在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，图象开口向上，a>0；由表格可知x ＝0时，y ＝－2，x ＝1时，y ＝－2，可得对称轴为直线x ＝12，所以b<0；当x ＝0时，y ＝－2，所以c ＝－2<0，故abc>0，(1)正确．(2)由于对称轴是直线x ＝12，x ＝－2和x ＝3关于对称轴对称，当x ＝－2时，y ＝t ，所以当x ＝3时，y ＝t ，即－2和3是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝t 的两个根，所以(2)正确．(3)依题意可得c ＝－2，a ＋b ＝0，当x ＝－12时，与其对应的函数值y>0可得a>83，当x ＝－1时，m ＝a －b －2＝2a －2>103.因为x＝－1和x ＝2关于对称轴对称，所以m ＝n ，所以m ＋n>203，故(3)错误．故选C.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】左3 下 2 [解析] 抛物线y ＝12x 2的顶点坐标为(0，0)，而抛物线y ＝12(x ＋3)2－2的顶点坐标为(－3，－2)，所以把抛物线y ＝12x 2先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，就得到抛物线y ＝12(x ＋3)2－2.10. 【答案】下y 轴 (0，－3) ＞＝0 大－3 下 311. 【答案】向下直线x ＝3 (3，4) (1，0)，(5，0) (0，－5) ＜3 增大＞3 减小 3 大4 右 3 上 412. 【答案】0 [解析] ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一交点的坐标为(1，0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.13. 【答案】8a[解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a(x －2)2交于点B ，∴BD ＝BC ＝2， ∴DC ＝4.∵y ＝a(x －2)2＝ax 2－4ax ＋4a ， ∴E(0，4a)，∴S 四边形ACED ＝S △ACD ＋S △CDE ＝12DC·OE ＝12×4×4a ＝8a.14. 【答案】②④ [解析] (1)当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0.由x ＝－b 2a ＜12和a ＞0可得－b＜a.∴0＜a －b ＋c ＜a ＋a ＋c ＝2a ＋c ，即2a ＋c ＞0，①错误； (2)结合图象易知②正确；(3)方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，即ax 2＋bx ＋c ＝c －k 有实数解．∵y ＝ax 2＋bx ＋c≥n ，∴c －k≥n ，即k≤c －n ，③错误；(4)设抛物线的解析式为y ＝－1n (x －m)2＋n(n ＜0)．令y ＝0，得－1n (x －m)2＋n ＝0.∴n 2－(x －m)2＝0，∴(n －x ＋m)(n ＋x －m)＝0.∴x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n.AB ＝|x 1－x 2|＝－2n.设对称轴交x 轴于点H ，则AH ＝BH ＝PH ＝－n ，∴△ABP 为等腰直角三角形，④正确．15. 【答案】3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，b)，则B(b ，b)，C(3b ，b)，D(3b ，3b)，E(3 b ，3b)．所以AB ＝b ，DE ＝3 b －3b ＝(3－3) b.所以DE AB ＝（3－3）bb＝3－ 3.16. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋1与x 轴仅有一个交点， ∴b 2－4ac ＝(2a)2－4a ＝0，解得a ＝1，a ＝0(舍去)， ∴抛物线的解析式：y ＝x 2＋2x ＋1.(3分)(2)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∵抛物线解析式y ＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2， ∴A(－1，0)，(4分)过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，如解图， ∵OC ⊥x 轴， ∴OC ∥BD ，∵C 是AB 中点， ∴O 是AD 中点， ∴AO ＝OD ＝1，(6分) ∴点B 的横坐标为1，把x ＝1代入抛物线中，得y ＝(x ＋1)2＝(1＋1)2＝4， ∴B 的坐标为(1，4)．(7分)把点A(－1，0) ，B(1，4)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧0＝－k ＋b 4＝k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝2b ＝2，∴直线AB 的解析式为： y ＝2x ＋2.(8分)18. 【答案】解：(1)设y ＝a(x ＋1)(x －6)，把(5，－6)代入解析式，得a(5＋1)(5－6)＝－6，解得a ＝1，∴y ＝(x ＋1)(x －6)＝x2－5x －6. (2)存在．如图，分别过点P ，B 向x 轴作垂线，垂足为M ，N.设P(m ，m2－5m －6)，其中－1＜m ＜5，设四边形PACB 的面积为S ，则PM ＝－m2＋5m ＋6，AM ＝m ＋1，MN ＝5－m ，CN ＝6－5＝1，BN ＝6，∴S ＝S △AMP ＋S 梯形PMNB ＋S △BNC ＝12(－m2＋5m ＋6)(m ＋1)＋12(6－m2＋5m ＋6)(5－m)＋12×1×6＝－3m2＋12m ＋36＝－3(m －2)2＋48，当m ＝2时，S 有最大值为48，这时m2－5m －6＝22－5×2－6＝－12， ∴P(2，－12)．19. 【答案】解：(1)将(1，0)，(3，0)分别代入y ＝－x2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－3.∴该抛物线的解析式为y ＝－x2＋4x －3. (2)设点P 的坐标为(x ，y)．∵AB ＝2，S △PAB ＝12AB·|y|＝1，∴y ＝±1.当y ＝1时，有1＝－x2＋4x －3，即x2－4x ＋4＝(x －2)2＝0，解得x1＝x2＝2；当y ＝－1时，有－1＝－x2＋4x －3，即x2－4x ＋2＝0，解得x1＝2－2，x2＝2＋ 2. ∴满足条件的点P 有3个，坐标分别为(2，1)， (2＋2，－1)，(2－2，－1)． (3)存在．作点C 关于抛物线的对称轴的对称点C′，连接AC′交抛物线的对称轴于点M ，连接MC ，任取抛物线对称轴上除点M 外的任意一点N ，连接NA ，NC ，NC′，如图所示．∵NA ＋NC ＝NA ＋NC′＞AC′＝MA ＋MC′＝MA ＋MC ， ∴当点A ，M ，C′共线时，△MAC 的周长最小． ∵抛物线的解析式为y ＝－x2＋4x －3，∴点C 的坐标为(0，－3)，抛物线的对称轴为直线x ＝－42×（－1）＝2，∴C′(4，－3)．设直线AC′的解析式为y ＝mx ＋n. ∵点A(1，0)，C′(4，－3)在直线AC′上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝0，4m ＋n ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，∴直线AC′的解析式为y ＝－x ＋1. 当x ＝2时，y ＝－x ＋1＝－1，∴直线AC′与抛物线对称轴的交点的坐标为(2，－1)，即M(2，－1)． ∴存在点M(2，－1)，使得△MAC 的周长最小．20. 【答案】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(–2，0)，B(4，0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(–2，0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0，6)，∴OC=6，∴S △OAC=1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=，∵S△BCD=34S△AOC，∴S△BCD=39642⨯=，设直线BC的函数表达式为y kx n=+，由B，C两点的坐标得406k nn+=⎧⎨=⎩，解得326kn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的函数表达式为362y x=-+，∴点G的坐标为3(,6)2m m-+，∴2233336(6)34224DG m m m m m=-++--+=-+，∵点B的坐标为(4，0)，∴OB=4，∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅，∴S△BCD=22133346242m m m m-+⨯=-+（），∴239622m m-+=，解得11m=(舍)，23m=，∴m的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，∵D点坐标为15(3,)4，∴点N点纵坐标为±154，当点N的纵坐标为154时，如点N2，此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)，∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ；当点N 的纵坐标为154-时，如点N3，N4，此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x =-=+∴315(114,)4N +-，415(114,)4N --， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合， ∵115(1,)4N -，D(3，154)，∴N1D=4， ∴BM1=N1D=4， ∴OM1=OB+BM1=8， ∴M1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M -，，，，，，，.【名师点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.【22.2二次函数与一元二次方程】一．选择题1．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴只有一个交点，则m的值为（）A．﹣6B．6C．3D．92．已知某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，若该二次函数图象的对称轴是直线x ＝3，且点A的坐标是（8，0），则AB的长为（）A．5B．8C．10D．113．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜2B．x＞2C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞2 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：x…0100400…y…2﹣22…则方程ax2+bx+4＝0的根是（）A．x1＝x2＝200B．x1＝0，x2＝400C．x1＝100，x2＝300D．x1＝100，x2＝5005．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，m）（2，m）（m＞0），与x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0．则下列结论：①若点（，y）是函数图象上一点，则y＞0；②若点（﹣），（）是函数图象上一点，则y2＞y1；③（a+c）2＜b2．其中正确的是（）A．①B．①②C．①③D．②③6．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c ＝0的一个解的范围是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20y﹣0.03﹣0.010.020.04A．﹣0.01＜x＜0.02B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.208．已知函数y＝3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b 9．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0），则b和c的值为（）A．b＝4，c＝﹣3B．b＝﹣4，c＝3C．b＝﹣4，c＝﹣3D．b＝4，c＝﹣3 10．如图，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x 轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（）A．或B．或C．或D．或二．填空题11．抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，则a的取值范围为．12．已知函数y＝（m+3）x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为13．已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是．14．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过点A（﹣2，0），B（3，0）两点．若关于x的一元二次方程a（x﹣h+m）2+k＝0的一个根是1，则m的值为．15．抛物线y＝ax2﹣3x+2与x轴正半轴交于A、B两点，且AB＝2，则a＝．三．解答题16．已知关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点，求k的取值范围．17．抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点D为顶点，对称轴l交x轴于点E，点P是抛物线上一点，AP交对称轴于点M，BP交对称轴于点N．求点D坐标及对称轴l．18．如图，已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y 轴于C点．（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣101234…y…50﹣3﹣4﹣30m…（1）二次函数图象的开口方向，顶点坐标是，m的值为；（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1y2（填＜、＞、＝）；（3）当y＜0时，x的取值范围是；（4）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为．20．如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝1，请你解答下列问题：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求出抛物线与x轴的交点；（Ⅲ）当y随x的增大而减小时x的取值范围是．（Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是．参考答案一．选择题1．解：根据题意得△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9．故选：D．2．解：∵某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，该二次函数图象的对称轴是直线x ＝3，且点A的坐标是（8，0），∴点B的坐标为（﹣2，0），∴AB＝8﹣（﹣2）＝8+2＝10，故选：C．3．解：由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2，故选：D．4．解：由抛物线经过点（0，2）得到c＝2，因为抛物线经过点（0，2）、（400，2），所以抛物线的对称轴为直线x＝200，而抛物线经过点（100，﹣2），所以抛物线经过点（300，﹣2），所以二次函数解析式为y＝ax2+bx+2，方程ax2+bx+4＝0变形为ax2+bx+2＝﹣2，所以方程ax2+bx+4＝0的根理解为函数值为﹣2所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+4＝0的根为x1＝100，x2＝300．故选：C．5．解：∵抛物线经过点（0，m）（2，m）（m＞0），（x1，0）（﹣1＜x1＜0），∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，∴当x＝时，y＞0，则①正确；∵点（）到直线x＝1和点（）到直线x＝1的距离相等，∴y1＝y2，所以②错误；∵x＝1，y＞0；x＝﹣1，y＜0，即a+b+c＞0，a﹣b+c＜0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2，则③正确．故选：C．6．解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．故选：D．7．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故选：C．8．解：由3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0变形得（x﹣m）（x﹣n）＝3，∴x﹣m＞0，x﹣n＞0或x﹣m＜0，x﹣n＜0，∴x＞m，x＞n或x＜m，x＜n，∵a，b是方程的两个根，将a，b代入，得：a＞m，a＞n，b＜m，b＜n或a＜m，a＜n，b＞m，b＞n，观察选项可知：a＜b，m＜n，只有D可能成立．故选：D．9．解：抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．所以b＝﹣4，c＝3．故选：B．10．解：∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x+1）2﹣4a，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B（1，0），点D（﹣1，﹣4a），∴D′（3，4a），C（5，0），∵△CDD′是直角三角形，∴当∠DD′C＝90°时，4a＝×（5﹣1）＝2，得a＝，当∠D′CD＝90°时，CB＝DD′，∴5﹣1＝，解得，a1＝，a2＝﹣（舍去），由上可得，a的值是或，故选：A．二．填空题21．解：∵抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，∴，解得，a＞﹣1且a≠0，故答案为：a＞﹣1且a≠0．22．解：∵函数y＝（m+3）x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，∴或（m+3）＝0，解得，m＝﹣1或m＝﹣3，故答案为：m＝﹣1或m＝﹣3．23．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，若抛物线与x轴有一个交点，则当x＝﹣1，y＝0；当x＝1，y≥0时，在﹣2≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，即1+2+n≥0且4﹣4+n＜0，解得﹣3≤n ＜0；所以，n的取值范围是n＝1或﹣3≤n＜0．故答案为n＝1或﹣3≤n＜0．24．解：由已知可得：对称轴为x＝，∴h＝，∴y＝a（x﹣）2+k，将点A（﹣2，0）代入y＝a（x﹣）2+k，∴k＝﹣a，∵a（x﹣h+m）2+k＝0，∴a（x﹣+m）2﹣a＝0，∵a≠0，∴（x﹣+m）2＝，∵方程的一个根为1，∴（1﹣+m）2＝，故答案为m＝2或m＝﹣3．25．解：当y＝0时，ax2﹣3x+2＝0，∵a＞0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，解得x1＝，x2＝，∴A、B两点的坐标为（，0），（，0），∵AB＝2，∴﹣＝2，解得a＝．故答案为．三．解答题31．解：∵关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点，∴或，解得，k≤2且k≠1或k＝1，由上可得，k的取值范围是k≤2．32．解：把A（﹣3，0），C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，因为y＝﹣（x﹣1）2+4，所以D点坐标为（1，4），抛物线的对称轴l为直线x＝1．33．解：（1）令y＝0，得：﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴点A（﹣3，0），点B（1，0）；令x＝0，得：y＝3，∴点C（0，3）；设直线AC的解析式为：y＝kx+b，点A（﹣3，0），点C（0，3）在直线AC上，，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝x+3．（2）如图所示，设点P的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），由PM∥x轴，可知点M的纵坐标为﹣a2﹣2a+3，∴x＝﹣a2﹣2a，∴PM＝﹣a2﹣2a﹣a＝﹣a2﹣3a（﹣3＜a＜0），＝．当a＝时，PM最大34．解：（1）由表格可见，函数的对称轴为x＝1，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4），根据函数的对称性m＝5；故答案为：向上；（1，﹣4）；5；（2）从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故y1＞y2；故答案为：＞；（3）从表格看，当y＜0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3；（4）从表格看，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为：x＝﹣2或4，故答案为：x＝﹣2或4．35．解：（Ⅰ）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴m＝3；（Ⅱ）∵m＝3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；（Ⅲ）∵a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y的值随x的增大而减小，故答案为x＞1；（Ⅳ）当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，故答案为x＜﹣1或x＞3．22.3 实际问题与二次函数一、选择题（本大题共10道小题）1. 小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是()A．4 cm2B．8 cm2C．16 cm2D．32 cm22. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()A．50 m B．100 mC．160 m D．200 m3. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．有下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是()A．①④B．①②C．②③④D．②③4. 如图，利用一面墙，其他三边用80米长的篱笆围成一块矩形场地，墙长为30米，则围成矩形场地的最大面积为()A．800平方米B．750平方米C ．600平方米D ．2400平方米5. 如图，△ABC 是直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，点P 从点A出发，沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1 cm/s 的速度向点C 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则四边形BCQP 面积的最小值是( )A ．8 cm 2B ．16 cm 2C ．24 cm 2D ．32 cm 26. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB ＝90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为( )A ．y ＝26675x 2 B ．y ＝－26675x 2 C ．y ＝131350x 2D ．y ＝－131350x 27. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从点A 沿AC向点C 以1 cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2 cm/s 的速度运动(点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动)，在运动过程中，四边形P ABQ 的面积的最小值为 ( )A ．19 cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 28. 在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的一部分(如图)，其中出球点B 离地面点O 的距离是1 m ，球落地点A 到点O 的距离是4 m ，那么这条抛物线的解析式是( )A ．y ＝－14x 2＋34x ＋1B ．y ＝－14x 2＋34x －1C ．y ＝－14x 2－34x ＋1D ．y ＝－14x 2－34x －19. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m ，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )A ．此抛物线的解析式是y ＝－15x 2＋3.5 B ．篮圈中心的坐标是(4，3.05) C ．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D ．篮球出手时离地面的高度是2 m10. 一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD 是边长为80 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四点重合于图中的点O ，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE ＝CF ＝x cm ，要使包装盒的侧面积最大，则x 应取( )A．30 B．25 C．20 D．15二、填空题（本大题共7道小题）11. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m2.12. 已知一个直角三角形两直角边长的和为30，则这个直角三角形的面积最大为________．13. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.14. 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t·为正整数．．．．)的增大而增大，a 的取值范围应为________．15. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．16. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．17. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.三、解答题（本大题共4道小题）18. 某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若每件售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价x元．(1)每件衬衫的盈利为多少？(2)用含x的代数式表示每天可售出的衬衫件数．(3)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？(4)这次降价活动中，1920元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高日盈利值．19. 如图，工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)．(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕，并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形的边长；(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低为多少元？20. 如图，某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m2)．(1)如图②，当饲养室的长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图③，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室的长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．21. 有一块形状如图所示的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B ＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．(1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．人教版九年级数学 22.3 实际问题与二次函数同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A [解析] 设矩形的一边长为x cm ，则另一边长为()4－x cm ，故矩形的面积S ＝x ()4－x ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，所以当x ＝2时，S 最大值＝4.故矩形的最大面积为4 cm2.2. 【答案】C [解析] 以2 m 长线段所在直线为x 轴，以其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度．3. 【答案】D [解析] ①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m ，故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；③∵小球抛出3秒时达到最高点，∴速度为0，故③正确； ④设函数解析式为h ＝a(t －3)2＋40，把O(0，0)代入得0＝a(0－3)2＋40. 解得a ＝－409，∴函数解析式为h ＝－409(t －3)2＋40.把h ＝30代入解析式，得30＝－409(t －3)2＋40，解得t ＝4.5或t ＝1.5，∴小球的高度h ＝30 m 时，t ＝1.5 s 或4.5 s ，故④错误．故选D.4. 【答案】B[解析] 设矩形场地中平行于墙的边长为x 米，则垂直于墙的边长为80－x2米，围成矩形场地的面积为y 平方米，则y ＝x ·（80－x ）2＝－12x 2＋40x ＝－12(x －40)2＋800.∵a <0，∴x <40时，y 随x 的增大而增大，由于墙长为30米，∴0<x ≤30，∴当x ＝30时，y 取得最大值，为－12×(30－40)2＋800＝750.5. 【答案】A[解析] 设运动时间为t s ，四边形BCQP 的面积为S m 2，。

2020届高考数学一轮第二篇函数及其性质专题.函数的概念练习

专题2.1 函数的概念【考试要求】1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.【知识梳理】1.函数的概念设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【微点提醒】1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( )(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )(3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 【解析】(1)错误.函数y ＝1的定义域为R ，而y ＝x 0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数. (2)错误.值域C ⊆B ，不一定有C ＝B. (3)错误.f(x)＝x －3＋2－x 中x 不存在.(4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 【教材衍化】2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 B【解析】 A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2]. 3.(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( )A.y ＝(x ＋1)2B.y ＝3x 3＋1 C.y ＝x 2x＋1D.y ＝x 2＋1【答案】 B【解析】对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C.函数y ＝x 2x＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域x ∈R 不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数.【真题体验】4.(2019·北京海淀区期中)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( ) A.15lg 2 B.12lg 5 C.13lg 2 D.12lg 3 【答案】 A【解析】令x 5＝2，则x ＝215，∴f (2)＝lg 215＝15lg 2.5.(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x＋ln(x ＋4)的定义域为________. 【答案】 (－4，1]【解析】 f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4>0，解得－4<x ≤1.6.(2019·济南检测)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________. 【答案】－2【解析】由题意知点(－1，4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2. 【考点聚焦】考点一求函数的定义域【例1】 (1)函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)的定义域为________； (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________. 【答案】 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1 (2)[0，1) 【解析】 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π2(k∈Z ).∴－1≤x ≤1且π4＋k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，可得π4<x ≤1.则函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1. (2)因为y ＝f (x )的定义域为[0，2]，所以要使g (x )有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.所以g (x )的定义域是[0，1).【规律方法】 1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域. 【训练1】 (1)(2019·深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A.(－2，1)B.[－2，1]C.(0，1)D.(0，1](2)(2019·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A.(－9，＋∞) B.(－9，1) C.[－9，＋∞)D.[－9，1)【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，ln x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，x >0且x ≠1.∴函数的定义域是(0，1).(2)易知f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg （1－x ）>0，解得－9<x <1.故f [f (x )]的定义域为(－9，1). 考点二求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________.【答案】 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13【解析】 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，将x 换成1x ，则1x换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.【规律方法】求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).【训练2】 (1)(2019·杭州检测)已知函数f (x )＝ax －b (a >0)，且f [f (x )]＝4x －3，则f (2)＝________； (2)若f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________. 【答案】 (1)3 (2)3x【解析】 (1)易知f [f (x )]＝a (ax －b )－b ＝a 2x －ab －b ， ∴a 2x －ab －b ＝4x －3(a >0)，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 所以f (x )＝2x －1，则f (2)＝3. (2)因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 由①②解得f (x )＝3x . 考点三分段函数角度1 分段函数求值【例3－1】 (2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.【答案】22【解析】因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f (15)＝f (－1)＝12，因此f [f (15)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 角度2 分段函数与方程、不等式问题【例3－2】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A.1B.78C.34D.12(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________.【答案】 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞【解析】 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32时，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78，不合题意舍去.若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b＝4，解得b ＝12. (2)当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋32>1，解得－14<x ≤0，当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x＋x ＋12>1，该式恒成立，当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12，又x >12时，2x＋2x －12>212＋20＝1＋2>1恒成立，综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.【规律方法】 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 【提醒】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f [f (1)]＝( )A.－12B.2C.4D.11(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 【解析】 (1)由题意知f (1)＝12＋2＝3，因此f [f (1)]＝f (3)＝3＋13－2＝4.(2)当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <12.【反思与感悟】1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法. 【易错防范】1.复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( )A.[0，2)B.(2，＋∞)C.[0，2)∪(2，＋∞)D.(－∞，2)∪(2，＋∞)【答案】 C【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0，x －2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≠2，所以函数的定义域为[0，2)∪(2，＋∞). 2.(2019·郑州调研)如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )【答案】 D【解析】由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意. 3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y ＝xB.y ＝lg xC.y ＝2xD.y ＝1x【答案】 D 【解析】函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ；D 中y ＝1x 的定义域、值域均为(0，＋∞).4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12【答案】 C【解析】根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1， ∴f (log 212)＝2(log 212)－1＝2log 26＝6，因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.5.(2019·西安联考)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－1，2]C.[－1，2]D.[2，5]【答案】 C【解析】 f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4. 当x ＝2时，f (2)＝4.由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，得x ＝5或x ＝－1.∴要使f (x )在[m ，5]上的值域是[－5，4]，则－1≤m ≤2.6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510【答案】 B【解析】代表人数与该班人数的关系是除以10的余数大于6，即大于等于7时要增加一名，故y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.7.(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8【答案】 C【解析】由已知得0<a <1，则f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2a ，所以a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝f (4)＝2(4－1)＝6. 8.(2019·上饶质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)【答案】 D【解析】当a ＝0时，显然不成立.当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2－2a >0，解得a >2. 当a <0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2＋2a >0，解得a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞). 二、填空题9.函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.【答案】 (0，1]【解析】要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0，1].10.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋1xf (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝________.【答案】 72【解析】令x ＝2，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1② 联立①②解得f (－2)＝72.11.下列四个结论中，正确的命题序号是________.①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.【答案】 ②③【解析】对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域和对应关系均分别对应相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 【解析】由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12. 故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝ln 1－x 1＋x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1. 其中满足“倒负”变换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①【答案】 B【解析】对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f (x )＝ln 1－x 1＋x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ). 所以满足“倒负”变换的函数是①③.14.(2019·河南八市联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1（λ∈R ），2x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a )成立，则λ的取值范围是( ) A.(0，2]B.[0，2]C.[2，＋∞)D.(－∞，2) 【答案】 C【解析】当a ≥1时，2a ≥2.∴f [f (a )]＝f (2a )＝22a ＝2f (a )恒成立.当a <1时，f [f (a )]＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞).15.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________. 【答案】 f (x )＝－log 2 x【解析】根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x . 16.(2019·绍兴调研)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3（x 2－1），x ≥2，则f (f (1))＝________；不等式f (x )＞2的解集为________.【答案】 1 (1，2)∪(10，＋∞)【解析】 f (1)＝2e 0＝2，f (f (1))＝f (2)＝log 3(4－1)＝1.当x ＜2时，f (x )＞2即ex －1＞1＝e 0，∴x ＞1，∴1＜x ＜2.当x ≥2时，f (x )＞2即为log 3(x 2－1)＞2＝log 332，∴x 2＞10，即x ＞10或x ＜－10，∴x ＞10.【新高考创新预测】17.(多选题)已知定义域内的函数f (x )满足：f (f (x ))－x >0恒成立，则f (x )的解析式不可能是( )A.f (x )＝2 019xB.f (x )＝e xC.f (x )＝x 2D.f (x )＝lg 1＋x 2 【答案】 ACD【解析】A 中，f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 109x ＝x (x ≠0)恒成立，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，A 正确；B 中，因为e x >x ，所以ee x >e x >x ，所以f (f (x ))＝ee x>x 恒成立，B 错误；C 中，f (f (x ))＝x 4＝x ，此方程有x ＝0或x ＝1两个根，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，C 正确；D 中，x ＝0时，f (f (x ))＝x 成立，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，D 正确.。

2023年高考数学复习：函数及其性质多选题(原卷版)

【多选题与双空题满分训练】专题3 函数及其性质多选题 2022年高考冲刺和2023届高考复习满分训练新高考地区专用1．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数()1x f x x+=，则（） A ．()f x 的定义域为R B ． ()f x 是奇函数 C ．()f x 在()0,+∞上单调递减D ． ()f x 有两个零点2．（2022·湖南永州·三模）已知函数()21ln 12f x x x x =--+，则（） A ．()f x 的图象关于直线1x =对称 B ．()f x 在[)2,+∞上为减函数 C ．()f x 有4个零点 D ．00x ∃>，使()00f x >()221111222y x x x =-+=--+ 3．（2022·湖北十堰·三模）已知函数()lg f x x =，则( )A ．()2f ，f，()5f 成等差数列B ．()2f ，()4f ，()8f 成等差数列C ．()2f ，()12f ，()72f 成等比数列D ．()2f ，()4f ，()16f 成等比数列4．（2022·山东枣庄·三模）已知a 、()0,1∈，且1a b +=，则（） A ．2212a b +≥B ．ln ln 2ln 2a b +≤-C ．2ln ln ln 2≥a bD ．ln 0+<a b5．（2022·重庆·模拟预测）已知1e a b <<<（e 为自然对数的底数），则（） A ．b a a b <B ．e e aba b >C ．e e ba a a >D ．e e bb a a <6．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有()()11f x f x -=-+，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+-，则（）A ．()f x 是以2为周期的周期函数B ．点()3,0-是函数()f x 的一个对称中心C ．()()202120222f f +=-D ．函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点7．（2022·江苏盐城·三模）已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，下列说法正确的有（）A ．()f x 图象关于直线1x =-对称B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意R x ∈都有()()2f x f x -=8．（2023·福建漳州·三模）若函数()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭（）的图象与()()cos 2g x x θ=+的图象关于y 轴对称，则（） A ．2ω=B ．θ的值可以是π3C ．函数f (x )在ππ[,]122单调递减D ．将()y f x =的图象向右平移6π个单位长度可以得到g (x )的图象9．（2022·辽宁沈阳·二模）已知奇函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且()()1120f x f x x --++=恒成立，若()f x 在[]0,1单调递增，则（） A ．()f x 在[]1,2上单调递减 B ．()00f = C ．()20222022f =D ．()20231f '=10．（2022·辽宁锦州·一模）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+ ）A ．7839f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 在()6,8上为减函数C ．点()3,0是函数()f x 的一个对称中心D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解11．（2022·河北·模拟预测）若函数()21f x +（x ∈R ）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于点()1,0对称B ．2是函数()f x 的一个周期C ．()20210f =D ．()20220f =12．（2022·河北沧州·模拟预测）已知三次函数32()1f x ax bx cx =++-，若函数()()1g x f x =-+的图象关于点（1，0）对称，且(2)0g -<，则（）A ．0a <B ．()g x 有3个零点C ．()f x 的对称中心是(1,0)-D ．1240a b c -+<13．（2021·四川省泸县第二中学一模（理））已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1f x -关于(1,0)中心对称，()1f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则下列选项中说法不正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 周期为2C ．912f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()2f x -是奇函数14．（2022·河北石家庄·二模）已知函数()sin(sin )cos(cos )f x x x =+，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 的一个周期为2π B ．函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C．函数()f xD ．函数()f x 图象关于直线2x π=对称15．（2022·重庆八中模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意R x ∈，有()()11f x f x +=--，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+-，则（） A ．()f x 是以4为周期的周期函数 B ．()()202120222f f +=-C ．函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点D ．当[]3,4x ∈时，()2918f x x x =-+16．（2022·湖北·一模）已知函数12)||+||cos f x x x =-，则下列说法正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在（0，+∞）上单调递减 C ．()f x 是周期函数D ．()f x ≥-1恒成立17．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（） A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点18．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b的取值可以是（） A ．1B ．2C ．3D ．419．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）对于偶函数sin ()xf x x a=+，下列结论中正确的是（）A ．函数()f x 在3π2x =处的切线斜率为249πB ．函数()1f x <恒成立C ．若120π,x x <<< 则12()()f x f x <D ．若()m f x <对于π0,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则m 的最大值为2π20．（2022·福建厦门·模拟预测）已知函数()2441x x xf x x =+--，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的图象关于点()1,1对称C ．()f x 有唯一一个零点D ．不等式()()223f x f x +>的解集为()()1,13,-+∞21．（2022·江苏南通·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不间断，当0x ≥时，()()121f x f x +=-，且当0x >时，()()110f x f x '++'-<，则下列说法正确的是（） A ．()10f =B ．()f x 在(]–,1∞上单调递减C ．若()()1212,x x f x f x <<，则122x x +<D ．若12,x x 是()()cos g x f x x π=-的两个零点，且12x x <，则()()2112f x f x << 22．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤ B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中k ∈N ；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； 23．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）函数ln ()(0)sin ax x f x a x+=≤在[]2,2ππ-上的大致图像可能为（）A ．B ．C ．D ．24．（2022·广东茂名·模拟预测）所谓整数划分，指的是一个正整数n 划分为一系列的正整数之和，如n 可以划分为{}123,,,,k m m m m ，1k n ≤≤．如果{}123,,,,k m m m m 中的最大值不超过m ，即{}123max ,,,,k m m m m m ≤，则称它属于n 的一个m 划分，记n 的m 划分的个数为(),f n m ．下列说法正确的是（）A ．当1n =时，m 无论为何值，(),1f n m =B ．当1m =时，n 无论为何值，(),1f n m =C ．当m n =时，()(),1,1f n m f n m =+-D ．()6,46f =25．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R 上的单调递增的函数()f x 满足：任意x ∈R ，有()()112f x f x -++=，()()224f x f x ++-=，则（）A ．当x ∈Z 时，()f x x =B ．任意x ∈R ，()()f x f x -=-C ．存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x Tf xD ．存在非零实数c ，使得任意x ∈R ，()1f x cx -≤26．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设()f x 是定义在R 上的函数，对于x ∈R ，令1()(123)n n x f x n -==，，，，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0<j <k 时，0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点.若122()12(1)2x x f x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，，下列各值是()f x 周期为2的周期点的有（）A ．0B ．13C ．23D ．1。

专题二函数概念及其基本性质(必修1)

log2（2－x），2x－1，x≥的定义域为( ）2，x≤0，若f(0)是f(＋a，x>0.)考向1　求函数的定义域(1)(2014·(1)(2012·(1)(2014·(2015·(1)(2014·(2015·1．(2015·安徽宣城三模，3)函数f(x)＝上的函数f(x)＝2|x－m|－“f(x＋y)＝f(x)考向1　确定函数的单调性自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(1)(2014·(1)(2011·]＋1(1)(2015·(2014· 1．(2015·四川泸州三模，3)下列函数中，在上单调递增．故选B.－cos x，则f(0.6) 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是的定义域都为1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(是奇函数，f(1)＝1，得f(1)＋12＋f考向1　函数奇偶性的判断及其应用(1)(2013·可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性．②所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)(2011·(1)(2012·(2012·(1)(2012·(2012· 1．(2015·山东烟台模拟，3)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是3]上的解集为x∈(－1，f(x)在区间[－5，5]上是奇函数，在区间的方程f(x)－log a(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根可转化为函数的图象有且只有三个不同的交点，时间：90分钟__分数：120分。

专题检测-函数概念与基本初等函数

专题二函数概念与基本初等函数2.1 函数及其性质一、选择题1.(2022届广西玉林育才中学10月月考,8)函数g(x)=2x-√x +1的最小值为( ) A.-178 B.-2 C.-198 D.-94答案 A 设t=√x +1(t ≥0),则x=t 2-1,则原函数可化为y=2(t 2-1)-t=2t2-t-2=2(t -14)2-178(t ≥0),当t=14时,有最小值-178.故选A.2.(2022届湖北襄阳五中10月月考,2)已知函数y=f(x)的定义域为(-1,1),则函数F(x)=f(|2x -1|)的定义域为( )A.(-∞,1)B.(-1,1)C.(0,+∞)D.[0,1)答案 A ∵y=f(x)的定义域为(-1,1),∴-1<|2x -1|<1,即-1<2x -1<1,∴0<2x <2,解得x<1,∴F(x)=f(|2x -1|)的定义域为(-∞,1).3.(2022届广东普通高中10月质检,3)函数f(x)=1x +4x 在[1,2)上的值域是( ) A.[5,172) B.[4,172)C.(0,172) D.[5,+∞)答案 A 因为f '(x)=-1x 2+4=(2x+1)(2x -1)x 2,所以当x ∈[1,2)时, f '(x)>0, f(x)是增函数,所以f(1)≤f(x)<f(2),即5≤f(x)<172.故选A. 4.(2022届山东鱼台一中月考一,2)已知函数f(x)={(12)x,x≤0,x -2,x >0,设f(1)=a,则f(a)=( )A.2B.12 C.-12 D.-32 答案 A 因为f(x)={(12)x,x ≤0,x -2,x >0,所以f(1)=1-2=-1,所以a=-1,所以f(-1)=(12)-1=2.5.(2022届广东深圳七中月考,7)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={log 9(1-x),x ≤0,f(x -10),x >0,则f(2 018)=( )A.12 B.-12 C.-1 D.1答案A∵f(x)={log9(1-x),x≤0,f(x-10),x>0,∴f(2018)=f(2008)=f(1998)=…=f(8)=f(-2),∴f(2018)=log93=1 2 .故选A.6.(2022届河北保定重点高中月考,7)设定义在R上的函数f(x)=x·|x|,则f(x)()A.既是奇函数,又是增函数B.既是偶函数,又是增函数C.既是奇函数,又是减函数D.既是偶函数,又是减函数答案A∵f(-x)=-x·|-x|=-x·|x|=-f(x),且f(x)的定义域关于原点对称,∴函数f(x)为奇函数,∵f(x)=x·|x|={x2,x≥0,-x2,x<0,∴函数f(x)为增函数,故选A.7.(2022届广东深圳六校联考,3)若定义在R上的函数f(x)不是偶函数,则下列命题正确的是()A.∀x∈R,f(x)+f(-x)=0B.∃x∈R,f(x)+f(-x)=0C.∃x∈R,f(x)≠f(-x)D.∀x∈R,f(x)≠f(-x)答案C∵定义在R上的函数f(x)不是偶函数,∴∃x∈R,f(x)≠f(-x).故选C.8.(2022届北京一六一中学10月月考,3)下列函数中,值域为R的是()A.y=1x B.y=1+1xC.y=x+1x D.y=x-1x答案D对于函数y=1x,因为x≠0,所以y≠0,故它的值域不是R,所以A不满足题意;对于函数y=1+1x,因为x≠0,所以y≠1,故它的值域不是R,所以B不满足题意;对于函数y=x+1x,由对勾函数的性质可知值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),所以C不满足题意;对于函数y=x-1x =x2-1x,可得关于x的方程x2-yx-1=0有解,∵Δ=y2+4>0,∴y可以取任意实数,即y∈R,故D满足条件.故选D.9.(2022届北京大峪中学10月月考,2)设函数f(x)={log2(2-x),x<1,2x,x≥1,则f(-2)+f(log26)=()A.2B.6C.8D.14答案C f(-2)+f(log26)=log2(2+2)+2log26=log24+6=2+6=8.故选C.10.(2022届北京一六一中学10月月考,4)已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=log2(x+1)+ax,且f(-3)=a,则a=()A.12 B.-12C.log23D.2答案B∵函数f(x)为奇函数,∴f(-3)=-f(3)=a.从而f(3)=log24+3a=-a,解得a=-12.故选B.11.(2022届北京九中10月月考,7)已知函数f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f(-52)+f(1)等于()A.-2B.0C.2D.1答案A∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,且周期为2,∴f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),∴f(1)=0,f(-52)=f(-12)=-f(12)=-412=-2,∴f(-52)+f(1)=-2.故选A.12.(2022届人大附中10月月考,9)已知函数f(x)={|2x-1|,x≤2,-x+4,x>2,若实数a,b,c满足a<b<c且f(a)=f(b)=f(c),则2a+b+2b+c的取值范围为()A.(4,8)B.(4,16)C.(8,32)D.(16,32)答案D作出函数f(x)的图象,如图所示.当x<0时,f(x)=|2x-1|=1-2x∈(0,1),由图可知,f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1),所以a<0<b<1,3<c<4,则8<2c<16,由f(a)=f(b),得|2a-1|=|2b-1|,即1-2a=2b-1,可得2a+2b=2,因此,2a+c+2b+c=2c(2a+2b)=2×2c∈(16,32).故选D.13.(2022届华中师大琼中附中月考,8)已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,则不等式f(log2x)>0的解集为()A.(0,12)∪(2,+∞) B.(12,1)∪(2,+∞)C.(0,12) D.(2,+∞)答案 A 因为函数f(x)是定义在R 上的偶函数,所以不等式f(log 2x)>0等价于f(|log 2x|)>0,因为函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,所以f(|log 2x|)>f(1),即|log 2x|>1,即log 2x>1或log 2x<-1,解得x>2或0<x<12.故选A.二、填空题14.(2022届江西新余第一中学二模,13)已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f (x2)+f(x-1)的定义域是 . 答案 (0,2)解析由题意得{-1<x2<1,-1<x -1<1,解得0<x<2,∴函数g(x)的定义域为(0,2).15.(2022届北京四中10月月考,12)函数f(x)=√2-x +ln(x+3)的定义域是 . 答案 (-3,2]解析 ∵f(x)=√2-x +ln(x+3), ∴{2-x ≥0,x +3>0,解得-3<x ≤2, ∴函数f(x)的定义域为(-3,2].16.(2022届河南重点中学调研一,14)已知f(x)={x 2-ax,x >0,-x +a +1,x ≤0,若方程f(x)=-x 有实根,则a 的取值范围是 . 答案 {a|a=-1或a>1}解析当x>0时,由f(x)=-x 得x 2=(a-1)x,所以x=a-1>0,即a>1;当x ≤0时,由f(x)=-x 得a+1=0,所以a=-1,所以a 的取值范围是{a|a=-1或a>1}. 17.(2022届广东深圳三中月考,15)已知函数f(x)={13x 3-ax +1,0≤x <1,alnx,x ≥1,若f(x)≥f(1)恒成立,则正实数a 的取值范围是 . 答案 (0,43]解析 ∵a>0,∴当x ≥1时, f(x)=aln x ≥f(1),当0≤x<1时, f(x)=13x 3-ax+1, f '(x)=x 2-a. (1)若a ≥1,则f '(x)<0, f(x)单调递减, f(x)≥f(1)成立,则13-a+1≥0,解得a ≤43,∴1≤a ≤43,(2)若0<a<1,则当0<x<√a时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当√a<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,因此x=√a时,f(x)min=f(√a)=13(√a)3-(√a)3+1=-23a32+1,所以-23a32+1≥0,显然成立,∴0<a<1.综上,a的取值范围是(0,43].18.(2022届北京一六一中学10月月考,12)已知函数f(x)=e|x-1|在区间[a,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.答案[1,+∞)解析将函数y=e|x|的图象向右平移1个单位长度,可得函数f(x)=e|x-1|的图象,因为y=e|x|在[0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,因为函数f(x)=e|x-1|在区间[a,+∞)上是增函数,所以[a,+∞)⊆[1,+∞),解得a≥1,所以实数a的取值范围是[1,+∞).19.(2022届北京师大附中10月月考,14)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且x≤0时,f(x)=ae x-1,则a=,f(x)的值域是.答案1;(-1,1)解析因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=ae0-1=a-1=0,所以a=1.当x≤0时,f(x)=e x-1,在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)∈(-1,0],因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以当x>0时,f(x)∈(0,1),综上,f(x)的值域是(-1,1).20.(2022届广东汕头金山中学期中,13)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=.答案-3解析因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=20+m=0,m=-1,所以x≥0时,f(x)=2x-1.则f(-2)= -f(2)=-(22-1)=-3.21.(2022届华中师范大学琼中附中月考,15)已知函数f(x)是R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2010)+f(2011)的值为.答案1解析∵当x≥0时,都有f(x+2)=f(x),∴函数的周期T=2,又f(x)是R上的偶函数,且当x∈[0,2)时, f(x)=log2(x+1),∴f(-2010)+f(2011)=f(2010)+f(2011)=f(0)+f(1)=log21+log2(1+1)=1.三、解答题22.(2022届北京师大附中10月月考,16)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a、b为实数,a≠0,x∈R),函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点(-1,0).(1)求f(x)的表达式;(2)当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.解析(1)由题意可知f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a.又f(x)=ax2+bx+1,所以{b=2a,a=1,可得{a=1,b=2,故f(x)=x2+2x+1.(2)g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1(-2≤x≤2),其图象开口向上,对称轴为直线x=k-22.若函数g(x)在[-2,2]上为增函数,则k-22≤-2,解得k≤-2;若函数g(x)在[-2,2]上为减函数,则k-22≥2,解得k≥6.综上所述,实数k的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞).思路分析(1)分析可知f(x)=a(x+1)2,对比f(x)=ax2+bx+1可求得a、b的值,即可得出函数f(x)的表达式;(2)分两种情况讨论:函数g(x)在[-2,2]上为增函数或函数g(x)在[-2,2]上为减函数.根据g(x)的图象特征可得出关于实数k的不等式,由此可解得实数k的取值范围.23.(2022届北京九中10月月考,16)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=lo g12(-x+1).(1)求f(3)+f(-1)的值;(2)求函数f(x)的解析式;(3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围.解析(1)∵f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=lo g12(-x+1),∴f(3)+f(-1)=f(-3)+f(-1)=lo g124+lo g122=-2-1=-3.(2)当x>0时,-x<0,f(-x)=lo g12(x+1).∴x>0时,f(x)=f(-x)=lo g12(x+1),则f(x)={log12(-x+1),x≤0, log12(x+1),x>0.(3)∵f(x)为定义在R上的偶函数,且f(x)=lo g12(x+1)在(0,+∞)上单调递减,f(1)=-1,∴f(a-1)<-1=f(1),∴|a-1|>1,解得a>2或a<0.∴实数a的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).24.(2022届福建长汀一中月考二,20)已知a,b∈R且a>0,函数f(x)=4x+b4x-a是奇函数.(1)求a,b的值;(2)对任意x∈(0,+∞),不等式mf(x)-f(x2)>0恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即2-2ab+(b-a)(4x+4-x)=0恒成立,∴{b-a=0,2-2ab=0,又a>0,所以解得a=b=1.(2)不等式mf(x)-f(x2)>0⇔m(1+24x-1)-(1+24x2-1)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,令2x=t(t>1),则m>t+1t-1t2+1t2-1=(t+1)2t2+1=t2+1+2tt2+1=1+2tt2+1=1+2t+1t对t>1恒成立,∵y=2t+1t在(1,+∞)上单调递减,∴y=1+2t+1t<2,∴m≥2,∴m的取值范围为[2,+∞).。

函数概念与性质(综合测试卷)(原卷版)附答案.docx

《函数概念与性质》综合测试卷一、单选题1．（2019·浙江南湖嘉兴一中高一月考）下列四组函数中,()f x 与()g x 表示同一函数是（）A ．()1f x x =-,()211x g x x -=+B ．()1f x x =+,()1,11,1x x g x x x +≥⎧=⎨--<-⎩C ．()1f x =,()()01g x x =+D ．()f x =()2g x =2．（2020·浙江高一课时练习）已知2()f x x x =+,则(1)f x -等于（）A ．21x x -+B ．2x x -C ．221x x --D ．22x x -3．（2020·浙江高一课时练习）函数y x=的定义域为A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-⋃4．（2020·全国高一课时练习）下列函数()f x 中,满足对任意()12,0,x x ∈+∞,当x 1<x 2时,都有()()12f x f x >的是( ) A ．()2f x x =B ．()1f x x=C ．()f x x =D ．()21f x x =+5．（2020·,则函数235y x x =+-的值域为（）A ．(,)-∞+∞B ．[0,)+∞C ．[7,)-+∞D ．[5,)-+∞6．（2020·全国高一课时练习）函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则（）A ．12m >B ． 12m <C ．12m >-D ．12m <-7．（2020·全国高一课时练习）若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩,是定义在R 上的减函数,则a 的取值范围为（）A ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭8．（2019·浙江高一期中）已知函数222,0()1,0x x f x xx x ⎧++<⎪=⎨⎪--≥⎩,则()f x 的最大值是( )A ．2+B ．2-C ．1-D ．19．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知奇函数()f x 的定义域为R ,若()2f x +为偶函数,且()11f -=-,则()()20172016f f +=（） A ．2-B ．1-C ．0D ．110．（2019·山西高一月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-,且在(0,)+∞上是增函数,不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立,则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1二、多选题11．（2019·山东莒县高一期中）已知函数2()23(0)f x ax ax a =-->,则（）A ．()()33f f ->B ．()()23f f -<C ．()()42f f =-D ．()()43f f >12．（2020·浙江高一单元测试）函数2()xf x x a=+的图像可能是（） A ． B ．C ．D ．13．（2019·山东莒县高一期中）下列命题为真命题的是（） A ．函数1y x =-既是偶函数又在区间[)1,+∞上是增函数B ．函数()f x =的最小值为2C ．“2x =”是“2x -=的充要条件D ．1,1x R x x∃∈<+ 14．（2019·山东黄岛高一期中）已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的,且满足以下条件：①R x ∀∈,()()f x f x -=；②12,(0,)x x ∀∈+∞,当12x x ≠时,都有()()21210f x f x x x ->-；③(1)0f -=.则下列选项成立的是（） A ．(3)(4)>-f fB ．若(1)(2)-<f m f ,则(,3)∈-∞mC ．若()0f x x>,(1,0)(1,)x ∈-+∞ D ．x R ∀∈,∃∈M R ,使得()f x M ≥三、填空题15．（2020·全国高一课时练习）已知函数f (x )＝24,03,0x x x x ->⎧⎨--<⎩则f (f (－4))＝________.16．（2020·全国高一课时练习）函数()f x 在R 上是减函数,且()()||1f x f >,则x 的取值范围是________.17．（2020·全国高一课时练习）若f (x )M ,g (x )N ,令全集为R ,则()RM N ＝________.四、双空题18．（2019·浙江湖州高一期中）若定义域为[]210,3a a -的函数()25231f x x bx a =+-+是偶函数,则a =______,b =______.19．（2020·安达市第七中学高一月考）已知函数2(),()2f x x g x x =-=-,设函数()y M x =,当()()f xg x >时,()()M x f x =；当()()g x f x ≥时,()()M x g x =,则()M x =________ ；函数()y M x =的最小值是________.20．（2020·山西高一期末）已知函数22,0(),,0x ax x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩是奇函数,且在(1)2m m +，上单调递减,则实数a =______；实数m 的取值范围用区间表示为______.21．（2018·浙江余姚中学高一月考）已知()f x 是定义在R 上的偶函数,若()f x 在[0,)+∞上是增函数,则满足(1)(1)f m f -<的实数m 的取值范围为________;若当0x ≥时,2()4f x x x =+,则当0x <时,()f x 的解析式是________. 五、解答题22．（2020·全国高一课时练习）如图是定义在区间[5-,5]上的函数()y f x =,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数？23．（2020·全国高一课时练习）已知f (x )＝11xx-+ (x ≠－1).求：（1）f (0)及12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）f (1－x )及f (f (x )).24．（2020·全国高一课时练习）某市“招手即停”大众汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里),票价2元；(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.25．（2020·浙江高一课时练习）若函数()f x 的定义域为[0,1],求()()()(0)g x f x m f x m m =++->的定义域．26．（2020·浙江高一课时练习）已知函数22()x x a f x x++=在[1,)+∞上单调递增,若对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围.27．（2020·浙江高一课时练习）定义在(0,)+∞上的函数()f x ,满足()()()(,0)f mn f m f n m n =+>,且当1x >时,()0f x >.（1）求(1)f 的值.（2）求证：()()m f f m f n n ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （3）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数.（4）若(2)1f =,解不等式(2)(2)2f x f x +->.（5）比较2m n f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()2f m f n +的大小.《函数概念与性质》综合测试卷一、单选题1．（2019·浙江南湖嘉兴一中高一月考）下列四组函数中,()f x 与()g x 表示同一函数是（）A ．()1f x x =-,()211x g x x -=+B ．()1f x x =+,()1,11,1x x g x x x +≥⎧=⎨--<-⎩C ．()1f x =,()()01g x x =+D ．()f x =()2g x =【参考答案】B 【解析】两个函数如果是同一函数,则两个函数的定义域和对应法则应相同,A 选项中,()f x 定义域为R ,()g x 的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞,所以二者不是同一函数,所以A 错误；B 选项中,1,1()11,1x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩,与()g x 定义域相同,都是R ,对应法则也相同,所以二者是同一函数,所以B 正确；C 选项中,()f x 定义域为R ,()g x 的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞,所以二者不是同一函数, 所以C 错误；D 选项中,()f x 定义域为R ,()g x 的定义域为[0,)+∞,所以二者不是同一函数,所以D 错误. 故选：B2．（2020·浙江高一课时练习）已知2()f x x x =+,则(1)f x -等于（）A ．21x x -+B ．2x x -C ．221x x --D ．22x x -【参考答案】B 【解析】因为2()f x x x =+,所以22(1)(1)(1)f x x x x x -=-+-=-．故选：B3．（2020·浙江高一课时练习）函数y =A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-⋃【参考答案】D 【解析】由2340x x --+≥可得{}/41x x -≤≤,又因为分母0x ≠,所以原函数的定义域为[4,0)(0,1]-⋃． 4．（2020·全国高一课时练习）下列函数()f x 中,满足对任意()12,0,x x ∈+∞,当x 1<x 2时,都有()()12f x f x >的是( )A ．()2f x x =B ．()1f x x=C ．()f x x =D ．()21f x x =+【参考答案】B 【解析】由12x x <时,()()12f x f x >,所以函数()f x 在()0,∞+上为减函数的函数.A 选项,2y x 在()0,∞+上为增函数,不符合题意.B 选项,1y x=在()0,∞+上为减函数,符合题意.C 选项,y x =在()0,∞+上为增函数,不符合题意.D 选项,()21f x x =+在()0,∞+上为增函数,不符合题意.故选B.5．（2020·,则函数235y x x =+-的值域为（）A ．(,)-∞+∞B ．[0,)+∞C ．[7,)-+∞D ．[5,)-+∞【参考答案】D 【解析】∵0x ,且函数235y x x =+-的对称轴为302x =-< ∴2355x x +-- 故选：D6．（2020·全国高一课时练习）函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则（） A ．12m >B ．12m < C ．12m >-D ．12m <-【参考答案】B 【解析】根据题意,函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数,则有210m -＜, 解可得12m <, 故选B ．7．（2020·全国高一课时练习）若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩,是定义在R 上的减函数,则a 的取值范围为（）A ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【参考答案】A 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数,所以310314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩,解得1183a ≤<. 故选：A.8．（2019·浙江高一期中）已知函数222,0()1,0x x f x xx x ⎧++<⎪=⎨⎪--≥⎩,则()f x 的最大值是() A ．2+ B ．2-C ．1- D ．1【参考答案】B 【解析】（1）当0x <时,2()2=++f x x x,任取120x x <<,则1212121212222()()22()1⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++-++=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f x f x x x x x x x x x ,当12<<x x ,12122()10⎛⎫--< ⎪⎝⎭x x x x ,即12()()f x f x <,函数()f x 单调递增；当120<<<x x 时,12122()10⎛⎫-->⎪⎝⎭x x x x ,即12()()f x f x >,函数()f x 单调递减；所以max ()(2f x f ==-（2）当0x ≥时,2()1f x x =--单调递减,所以max ()(0)1f x f ==-；而21->-,所以max ()2f x =- 故选：B9．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知奇函数()f x 的定义域为R ,若()2f x +为偶函数,且()11f -=-,则()()20172016f f +=（） A ．2- B ．1-C ．0D ．1【参考答案】D 【解析】奇函数()f x 的定义域为R ,若(2)f x +为偶函数,(0)0f ∴=,且(2)(2)(2)f x f x f x -+=+=--,则(4)()f x f x +=-,则(8)(4)()f x f x f x +=-+=, 则函数()f x 的周期是8,且函数关于2x =对称,则(2017)(25281)f f f =⨯+=（1）(1)(1)1f =--=--=,(2016)(2528)(0)0f f f =⨯==,则(2017)(2016)011f f +=+=, 故选：D ．10．（2019·山西高一月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-,且在(0,)+∞上是增函数,不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立,则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【参考答案】A 【解析】()()f x f x =- ()f x ∴为定义在R 上的偶函数,图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤- 21ax ∴+≤,即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立 31a x x∴-≤≤-在[]1,2上恒成立 312a ∴-≤≤-,即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 二、多选题11．（2019·山东莒县高一期中）已知函数2()23(0)f x ax ax a =-->,则（）A ．()()33f f ->B ．()()23f f -<C ．()()42f f =-D ．()()43f f >【参考答案】ACD2()23(0)f x ax ax a =-->对称轴为1x =,且在[1,)+∞是增函数,()()3(5)3f f f -=>,选项A 正确； ()()2(4)3f f f -=>,选项B 错误；()()42f f =-,选项C 正确； ()()43f f >,选项D 正确.故选:ACD.12．（2020·浙江高一单元测试）函数2()xf x x a=+的图像可能是（） A ． B ．C ．D ．【参考答案】ABC由题可知,函数2()xf x x a=+, 若0a =,则21()x f x x x==,选项C 可能；若0a >,则函数定义域为R ,且(0)0f =,选项B 可能；若0a <,则x ≠选项A 可能, 故不可能是选项D, 故选：ABC.13．（2019·山东莒县高一期中）下列命题为真命题的是（） A ．函数1y x =-既是偶函数又在区间[)1,+∞上是增函数B ．函数()f x =的最小值为2C ．“2x =”是“2x -=的充要条件D ．1,1x R x x∃∈<+ 【参考答案】CD 【解析】1y x =-当1x =时,0y =,当1x =-时,2y =,所以1y x =-不是偶函数,选项A 错误；令1[3,),()t g t t t=+∞=+根据对勾函数的单调性可得,()g t 在[3,)+∞是增函数,()g t 的最小值为103, 即()f x 的最小值为103,选项B 错误；20,20,2x x x -=≥-≥∴=,选项C 正确；当1x =时,11x x<+成立,选项D 正确. 故选:CD.14．（2019·山东黄岛高一期中）已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的,且满足以下条件：①R x ∀∈,()()f x f x -=；②12,(0,)x x ∀∈+∞,当12x x ≠时,都有()()21210f x f x x x ->-；③(1)0f -=.则下列选项成立的是（） A ．(3)(4)>-f f B ．若(1)(2)-<f m f ,则(,3)∈-∞m C ．若()0f x x>,(1,0)(1,)x ∈-+∞ D ．x R ∀∈,∃∈M R ,使得()f x M ≥【参考答案】CD 【解析】由条件①得()f x 是偶函数,条件②得()f x 在(0,)+∞上单调递增所以(3)(4)(4)f f f <=-,故A 错若(1)(2)-<f m f ,则12m -<,得13m -<<,故B 错若()0f x x >则0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩,因为(1)(1)0f f -== 所以1x >或01x <<,故C 正确因为定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的,且在(0,)+∞上单调递增所以min ()(0)f x f =,所以对x R ∀∈,只需(0)M f ≤即可,故D 正确故选：CD 【点睛】1.偶函数的图象关于y 轴对称,比较函数值的大小即比较自变量到y 轴的远近2. 12,(,)x x a b ∀∈,当12x x ≠时,都有()()21210f x f x x x ->⇔-()f x 在(,)a b 上单调递增；12,(,)x x a b ∀∈,当12x x ≠时,都有()()21210f x f x x x -<⇔-()f x 在(,)a b 上单调递减.三、填空题15．（2020·全国高一课时练习）已知函数f (x )＝24,03,0x x x x ->⎧⎨--<⎩则f (f (－4))＝________.【参考答案】－2 【解析】由题得(4)(4)31f -=---=, 所以f (f (－4))=(1)242f =-=-. 故参考答案为：－216．（2020·全国高一课时练习）函数()f x 在R 上是减函数,且()()||1f x f >,则x 的取值范围是________. 【参考答案】(－1,1) 【解析】函数()f x 在R 上是减函数,且()()||1f x f >, ||1x ∴<,解得11x -<<, 故参考答案为：(1,1)-17．（2020·全国高一课时练习）若f (x )M ,g (x )N ,令全集为R ,则()RM N ＝________.【参考答案】{x |x <2} 【解析】由题意{}100M xx x x ⎧⎫=≥=>⎨⎬⎩⎭,{}{}202N x x x x =-≥=≥, 所以{}{}{}022M N x x x x x x ⋂=>⋂≥=≥,所以(){}2RM N x x ⋂=<.故参考答案为：{}2x x <.四、双空题18．（2019·浙江湖州高一期中）若定义域为[]210,3a a -的函数()25231f x x bx a =+-+是偶函数,则a =______,b =______. 【参考答案】2 0 【解析】偶函数()f x 的定义域为[]210,3a a -,则21030a a -+=,解得2a =,所以()2525f x x bx =+-,满足()f x 的对称轴关于y 轴对称,所以对称轴05bx =-=,解得0b =. 故参考答案为：2；019．（2020·安达市第七中学高一月考）已知函数2(),()2f x x g x x =-=-,设函数()y M x =,当()()f xg x >时,()()M x f x =；当()()g x f x ≥时,()()M x g x =,则()M x =________ ；函数()y M x =的最小值是________.【参考答案】(][)()22,,21,,2,1x x x x ⎧-∈-∞-⋃+∞⎪⎨-∈-⎪⎩1- 【解析】解不等式()()f x g x >,即22x x ->-,解得21x -<<,即21x -<<时,()M x x =-,解不等式()()f x g x ≤,即22x x -≤-,解得2x -≤或1x ≥,即2x -≤或1x ≥时,2()2M x x =-,即()M x =(][)()22,,21,,2,1x x x x ⎧-∈-∞-⋃+∞⎪⎨-∈-⎪⎩当2x -≤或1x ≥时,min ()(1)1M x M ==-,当21x -<<时,min ()(1)1M x M >=-,即函数()y M x =的最小值是1-,故参考答案为（1）.(][)()22,,21,,2,1x x x x ⎧-∈-∞-⋃+∞⎪⎨-∈-⎪⎩,(2).1-. 20．（2020·山西高一期末）已知函数22,0(),,0x ax x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩是奇函数,且在(1)2m m +，上单调递减,则实数a =______；实数m 的取值范围用区间表示为______.【参考答案】1 1[,0]2- 【解析】因为函数22,0(),0x ax x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩是奇函数,所以(1)(1)0f f +-=,即1(1)10a -+-+=,解得：1a =；因此22,0(),,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩根据二次函数的性质,可得,当0x >时,函数2()f x x x =-在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；又因为(0)0f =,所以由奇函数的性质可得：函数()f x 在区间11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减；因为函数()f x 在(1)2m m +，上单调递减, 所以只需：111),222(m m ⎛⎫+⊆- ⎪⎝⎭， ,即121122m m ⎧≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,解得102m -≤≤. 故参考答案为：1；1[,0]2-.21．（2018·浙江余姚中学高一月考）已知()f x 是定义在R 上的偶函数,若()f x 在[0,)+∞上是增函数,则满足(1)(1)f m f -<的实数m 的取值范围为________;若当0x ≥时,2()4f x x x =+,则当0x <时,()f x 的解析式是________.【参考答案】02m << 2()4f x x x =- 【解析】∵()f x 是定义在R 上的偶函数,若()f x 在[0,)+∞上是增函数, ∴不等式(1)(1)f m f -<等价为()()|1|1f m f -<,即|1||1|1m m -=-<得111m -<-<,得02m <<, 若0x <,则0x ->,则当0x -≥时,()()24f x x x f x -=-=,则当0x <时,()24f x x x =-,故参考答案为：（1）02m <<,（2）2()4f x x x =- 五、解答题22．（2020·全国高一课时练习）如图是定义在区间[5-,5]上的函数()y f x =,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数？【参考答案】参考答案见解析【解析】从函数图象上看,当52x --时,图象呈下降趋势,所以[]5,2--为函数的单调减区间,函数在此区间单调递减；从函数图象上看,当21x -时,图象呈上升趋势,所以[]2,1-为函数的单调增区间,函数在此区间单调递增；从函数图象上看,当13x 时,图象呈下降趋势,所以[]1,3为函数的单调减区间,函数在此区间单调递减；从函数图象上看,当35x 时,图象呈上升趋势,所以[]3,5为函数的单调增区间,函数在此区间单调递增．23．（2020·全国高一课时练习）已知f (x )＝11xx-+ (x ≠－1).求：（1）f (0)及12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）f (1－x )及f (f (x )).【参考答案】（1）()01f =,1122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()1,22xf x x x -=≠-,()()(),1f f x x x =≠-. 【解析】（1）因为()()111xf x x x-=≠-+, 所以()100110f -==+,1111212312f -⎛⎫== ⎪⎝⎭+, 所以111113123213f ff -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+；（2）因为()()111xf x x x-=≠-+, 所以()()()()111,2112x xf x x x x---==≠+--, ()()()111,1111xx f f x x x x x--+==≠--++.24．（2020·全国高一课时练习）某市“招手即停”大众汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里),票价2元；(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.【参考答案】2,053,510()4,10155,1520x x f x x x <≤⎧⎪<≤⎪=⎨<≤⎪⎪<≤⎩,图像见解析。

函数的意义和性质

函数的意义和性质函数是数学中一种重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用和重要的作用。

本文将探讨函数的意义和性质。

一、函数的意义函数是用来描述两个变量之间的关系的一种数学工具。

它将一个自变量的值映射到一个或多个因变量的值。

函数可以帮助我们理解事物之间的联系和变化。

它在数学、物理、化学、经济等领域中都有重要的应用。

首先，函数在数学中是一种基本的工具，它可以被用来建模和解决各种问题。

通过函数，我们可以找到数学上的规律和模式。

在代数中，函数可以用方程或不等式的形式表示，通过求解这些方程或不等式，我们可以得到函数的解析解或数值近似解。

在几何中，函数可以用图像的形式表示，通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质和变化规律。

其次，函数在物理学中具有重要的作用。

物理学中的很多规律和定律都可以用函数的形式来描述。

例如，牛顿第二定律可以用函数表示为力与加速度之间的关系，电阻与电流之间的关系可以用函数来描述。

通过研究函数，我们可以推导出物理规律，解决物理问题。

此外，函数在经济学中也非常重要。

经济学研究的主要对象是人类的经济活动，这些经济活动往往涉及到各种变量之间的关系。

函数可以用来描述这些变量之间的关系，例如收入与消费之间的关系、价格与供求之间的关系等。

通过分析函数，我们可以预测经济变量的趋势和变化，为经济政策的制定提供参考依据。

综上所述，函数在数学、物理、经济等领域中都有重要的意义。

它帮助我们理解事物之间的关系和变化，解决问题，预测趋势，推导规律。

二、函数的性质函数具有一些重要的性质，这些性质对于我们理解函数的本质和应用具有重要的意义。

首先，函数具有唯一性。

对于给定的自变量，函数只能有一个确定的因变量。

这意味着函数中的每一个点都有唯一的函数值。

这个特性使得函数具有确定性和可靠性。

其次，函数具有一一对应性。

如果一个函数的每一个自变量对应不同的因变量，且每一个因变量对应不同的自变量，那么这个函数被称为一一对应函数。

函数的性质(学生版)

函数的性质（一）函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x )在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝1x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么①f(x1)－f(x2)x1－x2＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；f(x1)－f(x2)x1－x2＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．两条结论知能梳理(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．（二）函数的奇偶性（1）奇、偶函数的概念如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．（2）奇、偶函数的性质奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．（三）函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x ＝a对称．若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b －a)为周期的周期函数．(2)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1f(x)或f(x＋a)＝－1f(x)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.考向一函数的单调性的判断【例1】►试讨论函数f(x)＝xx2＋1的单调性．[审题视点] 可采用定义法或导数法判断．判断(或证明)函数单调性的主要方法有：(1)函数单调性的定义；(2)观察函数的图象；(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则；(4)利用函数的导数等．精讲精练【训练1】讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．考向二利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)【例2】►已知函数f(x)＝x2＋ax(a>0)在(2，＋∞)上递增，求实数a的取值范围．已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解．【训练2】函数y＝x－5x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )．A．a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3考向三利用函数的单调性求最值【例3】►已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2 3 .(1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[审题视点] 抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形．对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等．【训练3】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性； (3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．【如何解不等式恒成立问题】当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．考向四判断函数的奇偶性【例1】►下列函数：①f (x )＝ 1－x 2＋ x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)； ④f (x )＝3x －3－x 2；⑤f (x )＝lg 1－x1＋x .其中奇函数的个数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5判断函数的奇偶性的一般方法是：(1)求函数的定义域；(2)证明f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立；或者通过举反例证明以上两式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断．【训练1】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； (2)f (x )＝x 2－|x －a |＋2.考向五函数奇偶性的应用【例2】►已知f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12(x ≠0)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)证明：f (x )＞0.根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．【训练2】已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围．考向六函数的奇偶性与周期性【例3】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．【训练3】已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为( )．A．－1 B．1 C．0 D．无法计算【如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题】设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．【试一试】已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )． A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)双基自测1．设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则xf (x )＜0的解集为( )． A ．(－2,0)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)2．(2011·湖南)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )．A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)3．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______． 5．若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．6．(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )．A.－12B.－14C.14D.127．(2012·福州一中月考)f (x )＝1x －x 的图象关于( )． A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称8．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数9．(2011·福建)对于函数f(x)＝a sin x＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )．A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和210．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.。

初三数学,二次函数(图像、性质、规律、实际问题)

解析式顶点坐标对称轴
y=ax^2 (0，0) x=0
y=ax^2+K (0，K) x=0
y=a(x-h)^2 (h，0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b/2a，4ac-b²/4a) x=-b/2a
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）
3。一般式,顶点式,交点式，等，区分对称轴，顶点，图像等的差异性。
4。联系实际对函数图像的理解。
5。计算时，看图像时切记取值范围。

二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)。
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时

函数的性质-单调性、奇偶性、周期性、对称性(解析版)

函数的性质-单调性、奇偶性、周期性、对称性目录一、常规题型方法1题型一函数的单调性1题型二函数的奇偶性4题型三单调性与奇偶性的综合应用10题型四函数的周期性13题型五函数的对称性18题型六周期性与对称性的综合应用22二、针对性巩固练习26练习一函数的单调性26练习二函数的奇偶性28练习三单调性与奇偶性的综合应用30练习四函数的周期性32练习五函数的对称性34练习六周期性与对称性的综合应用36常规题型方法题型一函数的单调性【典例分析】典例1-1．(2020·天津·高一期末)函数f (x )=log 13-x 2+6x -5 的单调递减区间是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.(1,3]D.[3,5)【答案】C 【分析】首先由函数解析式，求其定义域，根据复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性，可得答案.【详解】由f x =log 13-x 2+6x -5 ，则-x 2+6x -5>0，x -5 x -1 <0，解得1<x <5，即函数f x 的定义域1,5 ，由题意，令g x =log 13x ，h x =-x 2+6x -5，则f x =g h x ，易知g x 在其定义域上单调递减，要求函数f x 的单调递减区间，需求在1,5 上二次函数h x 的递增区间，由h x =-x 2+6x -5=-x -3 2+4，则在1,5 上二次函数h x 的递增区间为1,3 ，故选：C .典例1-2．(2022·湖北武汉·高一期中)若二次函数f x =ax 2+a +6 x -5在区间-∞，1 为增函数，则a 的取值范围为( )A.-2，0B.-2，0C.-2，0D.-2，0【答案】A 【分析】根据条件确定二次函数的图象应开口向下，再利用端点值和对称轴比较大小.【详解】当a <0时，-a +62a≥1，解得：a ≥-2，所以-2≤a <0，当a >0时，不满足条件，综上可知：-2≤a <0故选：A典例1-3．(浙江省台州山海协作体2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题)已知函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1ax ,x >1 是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A.1,2B.1,2C.1,+∞D.0,1【答案】A 【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.【详解】解：因为函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1a x,x >1 是定义在R 上的减函数，所以a ≥1a >01-2a +52a ≥a解得1≤a ≤2，即a ∈1,2 .故选：A .【方法技巧总结】1.函数单调性的判断方法有：定义法、性质法、图像法、导数法。

新教材2023年高考数学总复习考案2周测卷二函数的概念与性质课件

1
2
C．f(－10)＝－14
D．f(x)在区间[2，4]上单调递增
[解析] 根据已知条件，求出 x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2；x∈(1， 3]时，f(x)＝(x－2)2－1，再结合 x>3 时，f(x)＝12f(x－4)及偶函数的性质，对各选项逐一分析即可求解．
解：因为 f(x)为 R 上的偶函数，所以 f(x)＝f(－x)，又 x∈[0，1]时， f(x)＝1－x2，所以 x∈[－1，0]时，f(x)＝f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，所以 f(x)＝1－x2，x∈[－1，1]，当 1<x≤3 时，－1<x－2≤1，由题意，f(x)＝－f(x－2)＝－[1－(x－2)2]＝(x－2)2－1，所以 x∈[－1，3]时，f(x)max＝f(0) ＝1，f(x)min＝f(2)＝－1，因为 x>3 时，f(x)＝12f(x－4)，所以 f(x)不是周期函数，故选项 A 错误；因为 f(x)为 R 上的偶函数，且 x>3 时，f(x)＝12f(x －4)，所以任意 x1，x2∈R，|f(x1)－f(x2)|≤|f(0)－f(2)|＝2，故选项 B 正确；
A．a＝2
B．f(2)＝2
C．f(x)是增函数
D．f(－3)＝－12
[解析] 由f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0可算出a＝2，代入可算得 f(2)，根据f(x)的对称性可得出单调性，根据f(－3)＝－f(3)可求得f(－3).对于A项，f(x)是R上的奇函数，故f(0)＝a－2＝0，得a＝2，故A对．对于B 项，f(2)＝4＋2＝6，故B错．对于C 项，当x≥0时，f(x)＝x2＋x在[0，＋ ∞)上为增函数，利用奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0]上为增函数，故f(x)是R上的增函数，故C对．f(－3)＝－f(3)＝－9－3＝－12，故D 对．故选：ACD.

函数的性质

函数的单调性与奇偶性1、单调性的定义：如果y ＝f (x)对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1<x 2时，①都有f(x 1）<f(x 2)，则称f (x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个增区间；②都有f(x 2)<f(x 1），则称f (x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个减区间.2、在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．3、复合函数的单调性：设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。

例1. 函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________例 2. 已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（）（A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)7提升：已知y=log a (2− ax )在[0,1]上是减函数,则a 的范围是____六．函数的奇偶性1．定义: 设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=-，则称y=f(x)为奇函数。

2.关于函数奇偶性的几个常见特征：3.性质：[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称]奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇4．奇偶性的判断：①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系5.多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.例1．判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·x x -+11；（3）2|2|1)(2-+-=x x x f ；练．判断下列函数的奇偶性（1）11log )(2+-=x x x f （2）11)(-+-=x x x f （3）11)(22-+-=x x x f （4）)21121()(+-=x x x f 例2．已知函数是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程的所有实根之和是（）(A) 4 (B) 2 (C) 6 (D)0例3．（1）设f(x)是偶函数，且在[)+∞,0上为增函数，则其在(]0,∞-上单调性如何？奇函数呢？（2）设)(x f 为偶函数，且在[)+∞,0上存在最大值，则在(]0,∞-上有最大值吗？奇函数呢？例 4.已知)(x f 为奇函数，且当0＞x 时，x x x f 1)(2+=，则=-)1(f （） 2.1.0.2.D C B A -练：已知f(x)＝ax 5＋bsin 5x ＋1，且f ⑴＝5，则f(－1)＝例5．已知)(x f 是奇函数，且0>x 当时，),2()(-=x x x f 求0<x 时，)(x f 的表达式。

2022届高三寒假精品讲义第1讲函数图象与性质(解析版)

5．（2021·江苏省响水中学高三月考）已知函数 f x log0.5 (x x2 1) ，若 a 0.60.5 , b log0.5 0.6, c log0.6 5 ，
则（）
A． f a f b f c
B． f c f b f a
C． f c f a f b
D． f b f a f c
A． a 1 2
B． f x 的最大值为1
C． f 2021 1
2
D． f x 的图象关于点 2, 0 对称
12．（2021·江苏省如皋中学高三月考）设函数 f (x) min{ x 2 , x2 , x 2 } ，其中 min{x, y, z} 表示 x, y, z 中
的最小者，说法正确的有（） A．函数 f (x) 为偶函数
f
(x)
对任意
xR
，都有
f
(x 3)
f
1 (x)
，且当 x [3, 2]
时， f (x) 2x ，则 f (113.5) 的值是___________.
16．（2021·江苏苏州·高三期中）已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (1 x) f (x) ，则 f (x) 的最小正周
范围是（）
A．
0,
4 3
B． 0, 2
C．
4 3
,
0
D． 2, 0
4．（2021·广东·高三月考）已知函数 f (x) x2 cos 2x ，则满足 f 2x 1 f 3x 1 的实数 x 的取值范
围是（） A． (0,1) C． (1, 0)
B． (0, ) D． (, 0)
2022 届高三寒假精品讲义第 1 讲函数图象与性质

函数的基本性质(含答案)

定义域为（0，＋∞）.
x＋ ≥2 ＝（当且仅当x= 即x= 时取“=”）.
∴当底边长为 m时造价最低，最低造价为（160 a＋ a）元.
答案：y=12a（x+ ）+ a（0，+∞） 160 a+ a
【课堂小练】
1．已知是定义上的奇函数，且在上是减函数．下列关系式中正确的是 ( )
A． B．
∴－ ≤x≤ .
∴不等式的解集为{x|－ ≤x≤ }.
（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，
∴P={x|－1+c≤x≤1+c}.
由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2，
∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q= ，
∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2，
解得c＞2或c＜－1.
教师辅导讲义
年级：高一辅导科目：数学课时数：3
课题
函数的基本性质
教学目的
通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法
教学容
【知识梳理】
函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲）
【典型例题分析】
例1、函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2.
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值.
（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0.

二次函数图像与性质

┃二次函数的图象与性质
考点2 二次函数图象的平移
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－ h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图15－1 ：
图15－1
[注意] 确定抛物线平移后的解析式最好利用顶点式，利用顶点的平移来研究图象的平移．
图15－4
解
析 ∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0. ∵二次函数的图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上， ∴c＜0. ∵二次函数图象的对称轴是直线 x＝－1， b ∴－＝－1， 2a ∴b＝2a＞0，∴abc＜0，∴①正确； 2a－b＝2a－2a＝0，∴②正确；
∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，其对称轴为 x＝－1，且过点(－3，0)． ∴与 x 轴的另一个交点的坐标是(1，0)， ∴把 x＝2 代入 y＝ax2＋bx＋c，得 y＝4a＋2b＋c ＞0，∴③错误； ∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为 x＝－1， ∴点(－5，y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3， y1 ) ，根据当 x＞－1 时，y 随 x 的增大而增大， 5 ∵ ＜3，∴y2＜y1，∴④正确． 2
变式2 如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b 与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（）
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
二次函数的图象特征主要从开口方向、与x轴有无交点，与y轴的交点及对称轴的位置，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入，根据图象确定y的符号．

考点01 函数的性质及其应用(解析版)

考点01 函数的性质及其应用【知识框图】【自主热身，归纳提炼】1、(2019南京学情调研）若函数f(x)＝a ＋12x －1是奇函数，则实数a 的值为________．【答案】12【解析】解法1(特殊值法) 因为函数f(x)为奇函数，且定义域为{x|x ≠0}，所以有f(1)＋f(－1)＝0，即(a ＋1)＋(a －2)＝0，解得a ＝12.解法2(定义法) 因为函数f(x)为奇函数，所以有f(x)＋f(－x)＝0，即a ＋12x －1＋ a ＋12－x －1＝0，即2a －1＝0，解得a ＝12.易错警示本题由于是填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．2、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )．当0<x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，则实数a 的值为________．【答案】2【解析】因为f(x ＋2)＝f(x)，则f(－1)＝f(1)，又f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，则有f (1)＝－f (1)，即f (1)＝0，所以1－a ＋1＝0，则a ＝2，故答案为2.3、(2018南京学情调研）已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是________．【答案】(－∞，2]【解析】因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数，所以f (x )在R 上为单调增函数．又因为f (－1)＝－2，所以f (1)＝2，故f (2x －3)≤2＝f (1)，即2x －3≤1，解得x ≤2.4、(2017苏州暑假测试）已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (－1)＝________.【答案】－1【解析】因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)＝－(2－1)＝－1，因此f (0)＋5、（2016南通一调）若函数f (x )＝⎩⎨⎧x (x －b )， x ≥0，ax (x ＋2)， x <0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．【答案】－1【解析】思路分析本题是一个分段函数的奇偶性问题，破解方法是运用赋值法或运用f (－x )＋f (x )＝0(∀x ∈R )求出参数a ，b 的值．解法1 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (－2)＝－f (2)，即⎩⎨⎧1(1－b )＝a (－1＋2)，2(2－b )＝2a (－2＋2)，解得a ＝－1，b ＝2.经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.解法2 因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )的图像关于原点对称，当x ＞0，二次函数的图像顶点为b 2，－ b 24，当x ＜0，二次函数的图像顶点为(－1，－a )，所以－b 2＝－1，－b 24＝a ，解得a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.6、(2015宿迁一模）设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ，则关于x 的不等式f (x )<－2的解集是________．【答案】(2，＋∞)【解析】设x >0，则－x <0，所以f (－x )＝x 2－x .因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝x 2－x ，所以f (x )＝－x 2＋x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x ，x >0，x 2＋x ， x ≤0，所以f (x )<－2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x <－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x <－2，解得x >2，即f (x )<－2的解集为(2，＋∞)．7、(2015南京调研）若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x ≥1，－x ＋3a ， x ＜1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞【解析】因为当x <1时，f (x )＝－x ＋3a 单调递减，所以当x ≥1时，f (x )＝ax 为单调递减函数，从而a >0且－1＋3a ≥a ，解得a ≥12.易错警示本题易在两个地方出错：一是不考虑－1＋3a 与a 的大小关系；二是忽视－1＋3a ≥a 中的等8、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝(2x ＋a)(|x －a|＋|x ＋2a|)(a<0)．若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2019的x 的值为________．【答案】 337【解析】思路分析去绝对值化简f(x)，由f(x)的图像得到函数f(x)在R 上单调递增且关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0对称，根据f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (672)＝0，求得a 的值，再解不等式，求得x 的值．【解析】f (x )＝ 222,22,()()x a x a a x a x⎧≥-⎪⎨⎪-≤⎩++，结合函数的图像可知：函数f (x )在R 上单调递增且关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0对称，因为f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (672)＝0，所以1＋6722＝－a 2，解得 a ＝－673.由f (x )＝2019，当x ≤－673时，f (x )＝－(2x ＋a )2≤0，不成立；当－673<x <1346时，(－3)×(－673)(2x －673)＝2019，解得x ＝337，又因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f (x )＝2019有唯一解x ＝337，故所求x 的值为337.解后反思本题考查了绝对值函数、函数的单调性和对称性，考查了分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，由函数的解析式，得到函数的单调性和对称性是解题的关键，而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0这一结构特点，就决定了函数成中心对称，所以同学解题时，要注意观察题中所给式子的结构特点，找到解题的突破口．【问题探究，开拓思维】题型一、运用函数的性质研究参数范围知识点拨：此类问题往往与函数的单调性和奇偶性相结合，解此类问题通过代入将它转化为具体不等式来解，主要是运用函数的奇偶性、单调性、定义域等性质，通过去掉对应法则f ，将它转化为关于变量x 的具体不等式来解．例1、(2019南京、盐城二模）已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－5x ，则不等式f (x －1)>f (x )的解集为________．【答案】(－2，3)解法1 f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－5x ，则当x <0时，有－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－5(－x )]＝－x 2－5x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ，x ≥0，－x 2－5x ，x <0，.①当x ≥1时，由f (x －1)>f (x )得(x －1)2－5(x －1)>x 2－5x ，解得x <3，所以1≤x <3；②当0≤x<1时，由f(x－1)>f(x)得－(x－1)2－5(x－1)>x2－5x，解得－1<x<2，所以0≤x<1；③当x<0时，由f(x－1)>f(x)得－(x－1)2－5(x－1)>－x2－5x，解得x>－2，所以－2<x<0.综上，由①②③得不等式f(x－1)>f(x)的解集为(－2，3)．解法2在同一坐标系中分别作出函数y＝f(x)与y＝f(x－1)的图像(将函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位长度得到y＝f(x－1)的图像)，根据对称性可得，两个函数分别交于点(－2，6)，(3，－6)，从图像可得f(x－1)>f(x)的解集为(－2，3)．【变式1】(2017苏北四市期末）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－3，则不等式f(x)≤－5 的解集为________．【答案】(－∞，－3]【解析】当x＞0时，f(x)＝2x－3＞－2；因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0；当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝2－x－3，f(x)＝－2－x＋3，此时不等式f(x)≤－5可化为－2－x＋3≤－5，解得x≤－3.综上所述，该不等式的解集为(－∞，－3]．【变式2】(2016南京三模）已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x －1)≤2的解集是________．【答案】[－1,3]【解析】思路分析用函数的性质解不等式，比解具体不等式更快．偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝2.所以f(x－1)≤2，即f(|x－1|)≤f(2)，即|x－1|≤2，所以－1≤x≤3.解后反思对于偶函数f(x)，均有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．【变式3】(2015宿迁一模）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝x2＋x，则关于x的不等式f(x)<－2的解集是________．【答案】(2，＋∞)设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝x2－x.因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝x2－x，所以f(x)＝－x2＋x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x ，x >0，x 2＋x ， x ≤0，所以f (x )<－2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x <－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x <－2，解得x >2，即f (x )<－2的解集为(2，＋∞)．【变式4】(2015镇江期末）若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集为________．【答案】(－∞，－e)【解析】当x >0时，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1. 当f ′(x )>0时，x >1e ，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上的最小值为－1e.又因为f (x )为奇函数，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－1e ，0上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－∞，－1e 上单调递增，所以f (x )在(－∞，0)上的最大值为1e ，即f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1e 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1e ，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，所以f (x )<－e 在⎝⎛⎭⎫－1e ，＋∞上无解．由f (－e)＝－f (e)＝－e ，所以f (x )<－e 的解集为(－∞，－e)．【关联1】已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x .若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为________．答案. (－1，1)【解析】解法1(奇偶性的性质) 因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f (a )＋f (－a )＝2 f (|a |)<4，即f (|a |)<2，即|a |2＋|a |<2，(|a |＋2)(|a |－1)<0，解得－1<a <1.解法2(奇偶性的定义) 当x ≤0时，－x ≥0，又因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x ≤0.当a ≥0时，f (a )＋f (－a )＝(a 2＋a )＋(－a )2－(－a )＝2a 2＋2a <4，解得0≤a <1；当a ≤0时，f (a )＋f (－a )＝(a 2－a )＋(－a )2＋(－a )＝2a 2－2a <4，解得－1<a ≤0.综上，－1<a <1. 解后反思解法2是从函数的奇偶性定义入手，先求函数解析式，再对a 分类求解，没有充分运用函数的奇偶性，而解法1借助了函数奇偶性的性质，即对于R 上偶函数f (x )有f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，把自变量化成非负值，避免分类讨论．【关联2】设f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x ，若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f 2(x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－32 【解析】思路分析在函数性质问题中，出现“双f ”特征“f(x ＋a)≥f 2(x)”应联想到直接代入解析式求解(解法1)、用函数的单调性求解(解法2)，故法1只需根据条件求出函数f(x)的解析式；法2的难点在于是否能够把f 2(x)写成f(t)的形式，易知f 2(x)＝f(2x)．解法1(利用解析式) 当x ≥0时，定义在R 上的偶函数f (x )＝2x ，易得，f (x )＝2|x |，x ∈R .由f (x ＋a )≥f 2(x )得，2|x ＋a |≥(2|x |)2，即|x ＋a |≥|2x |对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，即(3x ＋a )(x －a )≤0对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧（3a ＋a ）（a －a ）≤0，[3（a ＋2）＋a ]（a ＋2－a ）≤0，解得a ≤－32.解法2(偶函数的性质) 当x ≥0时，定义在R 上的偶函数f (x )＝2x ，易得，f (x )＝2|x |，x ∈R ，易证f 2(x )＝f (2x )，x ∈R ，故由f (x ＋a )≥f 2(x )得，|x ＋a |≥|2x |对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，下同解法1. 题型二根据函数（或者构造函数）研究性质知识点拨：此类问题常见的有三种：1、给定函数的解析式对于这类问题要根据函数的解析式研究函数的单调性和奇偶性；2、给定函数的解析式但是给定的函数解析式不具有单调性和奇偶性，对于这类问题要构造新的函数，使之具有单调性个奇偶性；3、抽象函数的问题这类问题没有具体的函数解析式，但是回给出函数的的性质。

新教材高考数学考点过关检测5函数及其性质2含解析

考点过关检测5 函数及其性质(2)一、单项选择题1．设函数f (x )＝x 3－1x3,则f (x )( )A ．是奇函数,且在(0,＋∞)单调递增B ．是奇函数,且在(0,＋∞)单调递减C ．是偶函数,且在(0,＋∞)单调递增D ．是偶函数,且在(0,＋∞)单调递减2．已知f (x )＝{ x －5，x ≥6f x ＋2，x <6,则f (4)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．33．[2022·辽宁丹东模拟]若f (x )为奇函数,当x ≤0时,f (x )＝a ＋2cos x ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝( )A ．－3B ．1C ．3D ．2＋ 34．已知f (x )是定义在[0,1]上的函数,那么“函数f (x )在[0,1]上单调递增”是“函数f (x )在[0,1]上的最大值为f (1)”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．[2022·湖北武汉一中月考]已知函数f (x )＝{ 3－a x ，x ≤1a x ，x >1是R 上的单调函数,那么实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,3)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 6．[2022·湖南长沙九中月考]函数y ＝f (x )是R 上的偶函数,且在(－∞,0]上是增函数,若f (a )≤f (2),则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,2]B ．[－2,＋∞)C ．[－2,2]D ．(－∞,－2]∪[2,＋∞)7．[2022·河北石家庄一中月考]若定义在R 的奇函数f (x )在(－∞,0)单调递减,且f (2)＝0,则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( )A ．[－1,1]∪[3,＋∞)B ．[－3,－1]∪[0,1]C ．[－1,0]∪[1,＋∞)D ．[－1,0]∪[1,3]8．[2021·新高考Ⅱ卷]已知函数f (x )的定义域为R ,f (x ＋2)为偶函数,f (2x ＋1)为奇函数,则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0B ．f (－1)＝0C ．f (2)＝0D ．f (4)＝0 二、多项选择题9．下列函数定义域和值域相同的是( ) A ．f (x )＝5x ＋1B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x10．[2022·福建福州模拟]定义在R 上的偶函数f (x ),当x ∈[1,2]时,f (x )<0且f (x )为增函数,下列四个结论其中正确的结论是( )A ．当x ∈[－2,－1]时,有f (x )<0B ．f (x )在[－2,－1]上单调递增C ．f (－x )在[－2,－1]上单调递减D ．|f (x )|在[－2,－1]上单调递减11．[2022·山东郓城一中月考]定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (2－x ),且在[0,2]上是增函数,下面判断正确的是( )A ．f (x )的周期是4B ．f (2)是函数的最大值C ．f (x )的图象关于点(－2,0)对称D ．f (x )在[2,6]上是减函数12．[2022·福建福州四中月考]已知f (x )为R 上的偶函数,且f (x ＋2)是奇函数,则( )A ．f (x )关于点(－2,0)对称B ．f (x )关于直线x ＝2对称C ．f (x )的周期为4D ．f (x )的周期为8 三、填空题13．[2022·广东徐闻一中月考]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥11x，x <1,若f (a )＋f (－1)＝2,则a ＝________.14．[2022·湖南雅礼中学月考]若函数f (x )＝sin xx ＋1x －a为奇函数,则a ＝________.15．已知偶函数f (x )在[0,＋∞)上单调递减,若f (2a －1)>f (1),则实数a 的取值范围为________．16．[2022·山东济宁市育才中学月考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数且f (0)＝－1,g (x )＝f (x －1)是奇函数,则f (2022)＝________,∑i ＝14n ＋1f(3i ＋1)＝________(n∈N *)．考点过关检测5 函数及其性质(2)1．答案：A解析：方法一由函数y ＝x 3和y ＝－1x 3都是奇函数,知函数f (x )＝x 3－1x3是奇函数．由函数y ＝x 3和y ＝－1x 3都在区间(0,＋∞)上单调递增,知函数f (x )＝x 3－1x3在区间(0,＋∞)上单调递增,故函数f (x )＝x 3－1x3是奇函数,且在区间(0,＋∞)上单调递增．故选A.方法二函数f (x )的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称,f (－x )＝(－x )3－1－x3＝－x 3＋1x 3＝－f (x ),故f (x )＝x 3－1x 3是奇函数．∵f ′(x )＝3x 2＋3x4>0,∴f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增．故选A.2．答案：B解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5，x ≥6f x ＋2，x <6,则f (4)＝f (6)＝6－5＝1,所以f (4)＝1.3．答案：C解析：因为f (x )为奇函数,当x ≤0时,f (x )＝a ＋2cos x ,所以f (0)＝a ＋2cos0＝0,解得：a ＝－2.所以当x ≤0时,f (x )＝2cos x －2.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＋2＝3.4．答案：A解析：若函数f (x )在[0,1]上单调递增,则f (x )在[0,1]上的最大值为f (1),若f (x )在[0,1]上的最大值为f (1),比如f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132,但f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13为减函数,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1为增函数,故f (x )在[0,1]上的最大值为f (1)推不出f (x )在[0,1]上单调递增,故“函数f (x )在[0,1]上单调递增”是“f (x )在[0,1]上的最大值为f (1)”的充分不必要条件．5．答案：C解析：若f (x )为增函数,则⎩⎪⎨⎪⎧a >13－a >0a ≥3－a,解得：32≤a <3.若f (x )为减函数,则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <13－a <03－a ≥a,此时实数a 不存在．综上所述：实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3. 6．答案：D解析：∵函数y ＝f (x )是R 上的偶函数,且在(－∞,0]上是增函数,∴y ＝f (x )在[0,＋∞)上是减函数,又f (a )≤f (2)等价于f (|a |)≤f (2),∴|a |≥2,∴a ≤－2或a ≥2,∴实数a 的取值范围为(－∞,－2]∪[2,＋∞)．7.答案：D解析：∵定义在R 的奇函数f (x )在(－∞,0)上单调递减,且f (2)＝0,f (x )的大致图象如图：∴f (x )在(0,＋∞)上单调递减,且f (－2)＝0；故f (－1)＜0；当x ＝0时,不等式xf (x －1)≥0成立,当x ＝1时,不等式xf (x －1)≥0成立,当x －1＝2或x －1＝－2时,即x ＝3或x ＝－1时,不等式xf (x －1)≥0成立,当x ＞0时,不等式xf (x －1)≥0等价于f (x －1)≥0,此时⎩⎪⎨⎪⎧x >00<x －1≤2,此时1＜x ≤3,当x ＜0时,不等式xf (x －1)≥0等价于f (x －1)≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧x <0－2≤x －1<0,得－1≤x ＜0,综上－1≤x ≤0或1≤x ≤3,即实数x 的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．8．答案：B解析：因为函数f (x ＋2)为偶函数,则f (2＋x )＝f (2－x ),可得f (x ＋3)＝f (1－x ),因为函数f (2x ＋1)为奇函数,则f (1－2x )＝－f (2x ＋1),所以f (1－x )＝－f (x ＋1), 所以f (x ＋3)＝－f (x ＋1),即f (x )＝f (x ＋4), 故函数f (x )是以4为周期的周期函数,因为函数F (x )＝f (2x ＋1)为奇函数,则F (0)＝f (1)＝0, 故f (－1)＝－f (1)＝0,其它三个选项未知．故选B. 9．答案：ACD解析：对于A,f (x )＝5x ＋1定义域及值域都为R ,对于B,f (x )＝x 2＋1的定义域为R ,值域为[1,＋∞),对于C,f (x )＝1x的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),值域为(－∞,0)∪(0,＋∞),对于D,f (x )＝x 的定义域为[0,＋∞),值域为[0,＋∞)．10．答案：AC解析：偶函数的图象关于y 轴对称,x ∈[1,2]时,f (x )<0,所以当x ∈[－2,－1]时,有f (x )<0,故A 正确；偶函数的图象关于y 轴对称,x ∈[1,2]时,f (x )为增函数,所以f (x )在[－2,－1]上单调递减,故B 错误；∵函数f (x )是偶函数,∴f (－x )＝f (x )．由B 知f (x )在[－2,－1]上单调递减,故C 正确；|f (x )|的图象是将f (x )下方的图象,翻折到x 轴上方,由于f (x )在[－2,－1]上单调递减,所以|f (x )|在[－2,－1]上单调递增,故D 错误．综上可知,正确的结论是AC.11．答案：BD解析：定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (2－x ),所以函数的图象关于直线x ＝2对称,得f (x ＋2＋2)＝f (2－x －2)＝f (－x )＝－f (x ),即f (x ＋4)＝－f (x ),则f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝－[－f (x )]＝f (x )．∴f (x )的周期为8.所以函数f (x )的图象如图．由图可得,正确答案为：BD.12．答案：AD解析：因为f (x ＋2)是奇函数,所以f (－x ＋2)＋f (x ＋2)＝0,即f (2－x )＋f (2＋x )＝0,故f (x )关于(2,0)对称．又f (x )是偶函数,所以f (－2＋x )＋f (－2－x )＝0,故f (x )关于(－2,0)对称,故A 正确,B 错误．因为f (－x )＝f (x ),所以f (x ＋2)＝－f (－x ＋2)＝－f (x －2),所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f [(x ＋2)－2]＝－f (x ),所以f (x ＋8)＝f [(x ＋4)＋4]＝－f (x ＋4)＝－[－f (x )]＝f (x ),所以f (x )的周期为8,即C 错误,D 正确．13．答案：2或13解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥11x，x <1,∴f (－1)＝1－1＝－1,∴f (a )＝3.当a ≥1时,f (a )＝a 2－1＝3,∴a ＝2；当a <1时,f (a )＝1a ＝3,∴a ＝13.∴a ＝2或13.14．答案：1 解析：函数f (x )＝sin xx ＋1x －a的定义域为{x |x ≠－1且x ≠a },∵函数f (x )＝sin xx ＋1x －a 为奇函数,∴函数f (x )的定义域关于原点对称,∴a ＝1.15．答案：(0,1)解析：由题意,函数f (x )为偶函数,故f (2a －1)>f (1)⇔f (|2a －1|)>f (1),又f (x )在[0,＋∞)上单调递减,|2a －1|≥0,1>0,故f (|2a －1|)>f (1)⇔|2a －1|<1,∴－1<2a －1<1,∴0<a <1.16．答案：1 －1解析：g (x )＝f (x －1)是奇函数,则f (x )的图象关于点(－1,0)对称,又f (x )是偶函数,f (x )＝－f (－2－x )＝－f (x ＋2),同理f (x ＋2)＝－f (x ＋4),所以f (x )＝f (x ＋4),所以f (x )是周期函数,4是它的一个周期,f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1),又f (－1)＝f (1),所以f (1)＝－f (1),f (1)＝0,f (－1)＝0.f (0)＝－1,则f (－2)＝－f (0)＝1＝f (2),f (2022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝1,k ∈N ,i ＝4k ＋1时,f (3i ＋1)＝f (12k ＋4)＝f (0),i ＝4k ＋2时,f (3i ＋1)＝f (12k ＋7)＝f (－1),i ＝4k ＋3时,f (3i ＋1)＝f (12k ＋10)＝f (2),i ＝4k ＋4时,f (3i ＋1)＝f (12k ＋13)＝f (1),所以f (3i ＋1)关于i 也是周期函数,周期为4,而f (0)＋f (－1)＋f (2)＋f (1)＝0,所以∑i ＝14n ＋1f (3i ＋1)＝i ＝14n f ()3i ＋1＋f (12n ＋4)＝f (0)＝－1.。

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2013届高考数学（文）周测二.函数及其性质一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1 ．函数y =（）A ．(]0,8B ．(]2,8-C ．(]2,8D ．[)8,+∞2 ．（ 2012江西理））若函数f(x)= 211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则f(f(10)=（）A ．lg101B ．2C ．1D ．03 ．（2012陕西理）下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（）A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =4．【2012高考湖北文3】函数f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为A 2B 3C 4D 5 5．【2012高考湖北文6】已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图像如图所示，则y=-f(2-x)的图像为6、设()4x f x e x =+-，则函数()f x 的零点位于区间（）A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）7、（2012安徽理）下列函数中,不满足(2)2()f x f x =的是（）A ．()f x x =B ．()f x x x =-C ．()f x x =+1D ．()f x x =-8．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R ∈x 都有)4()(+=x f x f ，当)02(，-∈x 时，x x f 2)(=，则)2011()2012(f f -的值为（）A.21-B.21C. 2D.2-9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b －3(x ∈R )图象恒过点(2,0)，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．5 B.15 C ．4 D.1410.已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()f x =lg x ，则1(())100f f 的值等于 A.1lg 2 B.1lg 2- C.lg 2 D.lg 2- 11．【2102高考北京文5】函数xx x f )21()(21-=的零点个数为（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3 12．【2012高考天津文科6】下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（） A y=cos2x ，x ∈R B. y=log 2|x|，x ∈R 且x ≠0 C. y=2xxe e --，x ∈R D. y=x3+1，x ∈R二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13、函数222y x x =-+，[0,3]x ∈的值域为_______．14. 【2012高考浙江文16】设函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ＋1，则3f 2（）=_______________15．（2012上海理）已知2)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ,则=-)1(g _______ .16.若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为_________．三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．作出函数223y x x =-++的图象，并利用图象回答下列问题：(1)函数在R 上的单调区间； (2)函数在[0,4]上的值域．18.已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，（1）求[2,0]x ∈-时，()f x 的表达式；（2）证明()f x 是R 上的奇函数．19. 已知函数2122()x x f x x++=,其中[1,)x ∈+∞，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．20．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<．21、已知函数2() 1 f x ax bx =++(,a b 为实数)，x R ∈， () (0)() () (0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩.（1）若(1)0,f -=且函数()f x 的值域为[0, )+∞，求)(x F 的表达式；（2）在(1)的条件下，当[2, 2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；22.如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．详细答案一、选择题 1、【答案】 B【解析】本题主要考查函数的定义域、对数不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.由202281lg(2)08x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<≤⎨⎨-+≥≤⎩⎩2. 【答案】B因为101>,所以()10lg101f ==.所以2((10))(1)112f f f ==+=.3. 【答案】D解析:运用排除法,奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确. 4. 【答案】D 【解析】由()cos 20==f x x x ，得0=x 或cos 20=x ；其中，由cos 20=x ，得()22x k k ππ=+∈Z ，故()24k x k ππ=+∈Z .又因为[]0,2x ∈π，所以π3π5π7π,,,4444x =.所以零点的个数为145+=个.故选D.5、【答案】【答案】B【解析】特殊值法：当2x =时，()()()22200y f x f f =--=--=-=，故可排除D 项；当1x =时，()()()22111y f x f f =--=--=-=-，故可排除A,C 项；所以由排除法知选B.6、【答案】 C【解析】本题主要考查函数的零点的判断方法. 属于基础知识、基本运算的考查.(1)30f e =-<，2(2)20f e =-> 故函数()f x 的零点位于区间（1，2）7、【答案】 C【解析】()f x kx =与()f x k x =均满足:(2)2()f x f x =得:,,A B D 满足条件 8、【答案】A【解析】，f(0)=0，f （1）＝f （－1）＝21，由题可知函数的周期为4故)2011()2012(f f -＝11(0)(1)022f f ---=-=-。

9、【答案】B解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b －3的图象恒过点(2,0)，∴4＋2a ＋b －3＝0，即2a ＋b ＋1＝0，则a 2＋b 2＝a 2＋(1＋2a )2＝5a 2＋4a ＋1＝5(a ＋25)2＋15，∴a 2＋b 2的最小值为15.10、【答案】D【解析】本题主要考查函数的奇偶性、分段函数以及分段函数值的求法计算，属于基础知识、基本计算的考查.当0x >时，()f x =lg x ，∴11()lg 2100100f ==-，1(())(2)100f f f =- ()y f x =是奇函数，∴()()f x f x -=-(2)(2)lg 2f f -=-=-11【答案】B【解析】xx x f )21()(21-=的零点，即令0)(=x f ，根据此题可得x x )21(21=，在平面直角坐标系中分别画出幂函数21x 和指数函数x)21(的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B 。

12．【答案】B【解析】函数x y 2log =为偶函数，且当0>x 时，函数x x y 22log log ==为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B. 二、填空题13. 15178⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 14【答案】32 【解析】331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=.15..【答案】－1[解析]2)(x x f y +=是奇函数,则4]1)1([)1()1(22-=+-=-+-f f ,所以3)1(-=-f ，(1)1g -=-。

16. (,2)(2,)-∞-+∞三、解答题17.解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=，∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数．（2）设210x x >>，则221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-221111()()()()x xf x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴211x x >，∴21()xf x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．（3）(2)1f = ，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2(|21|)(4)f x f -<，又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2|21|4x -<，解得：22x -<<，即不等式的解集为(．20、解：(1)∵0)1(f =-，∴10a b -+=，又0)x (f ,R x ≥∈ 恒成立，∴⎩⎨⎧=-=∆>0402a b a -------（2分），∴0)1b (4b 2≤--，∴1a ,2b == ∴22()21(1)f x x x x =++=+. ∴22(1) (0)()(1) (0)x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩ (2)22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+4)k 2(1)2k 2x (22--+-+=，当222k ≥-或222k -≤-时，即6k ≥或2k -≤时，)x (g 是单调函数.22.【答案】解：（1）在221(1)(0)20y kx k x k =-+>中，令0y =，得221(1)=020kx k x -+。