22.3 第3课时拱桥问题与运动中的抛物线 人教版九年级数学上册同步课堂教案

第二十二章二次函数
22.3实际问题与二次函数
第3课时拱桥问题与运动中的抛物线
一、教学目标
1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
3．会运用二次函数知识解决其他简单的实际问题.
二、教学重难点
重点：掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题
难点：利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题
三、教学过程
【新课导入】
[情境导入]观察实物及欣赏图片：
[课件展示]在我们的生活中有很美丽也很实用的各种各样的桥，他们无不给我们以抛物线的形象感受，我们本节课就来研究与桥有关的抛物线问题.
【新知探究】
[课件展示] 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m.水面下降1m ，水面宽度增加多少？
如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系. 可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为2
ax y = 当拱桥离水面2 m 时，水面宽 4 m 即抛物线过点（２，－２） ∴a 42=- 解得：5.0=a
∴这条抛物线所表示的二次函数为:2
5.0x y -= 当水面下降1 m 时,水面的纵坐标为3-=y ，这时有；
25.03x -=-
解得：
6±=x
这时水面宽度为：62ｍ
∴当水面下降1m 时,水面宽度增加了)462(-ｍ [归纳总结]
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
[交流讨论] [课件展示]
某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O 恰在水面中心，OA=1.25m ，由柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m 才能使喷出的水流不致落到池外？
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得，A 点坐标为(0，1.25)，顶点B 坐标为(1，2.25). 设抛物线为k h x a y ++=2)(，
由待定系数法可求得抛物线表达式为：25.22)1(+--=x y . 当y=0时,可求得点C 的坐标为(2.5,0) ; 点 D 的坐标为(－2.5，0)．
据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5m ，才能使喷出的水流不致落到池外.
数学模型
●
B (1,2.25)
●
D
o
A
x
y
(0,1.25)
x
[课件展示]
例2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m （水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m ，如果篮圈中心距离地面3.05m ，那么篮球在该运动员出手时的高度是
多少米？
解：如图，建立直角坐标系.
则点A 的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B （0，3.5）. 以点C 表示运动员投篮球的出手处.
设以y 轴为对称轴的抛物线的解析式为：k ax y +=2
. 而点A ，B 在这条抛物线上，所以有
3.05k 2.25a =+ 3.5k =
解得：
⎩⎨
⎧=-=5
.32
.0k a 所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5. 当 x=－2.5时，y=2.25 .
故该运动员出手时的高度为2.25m .
【课堂小结】
转化
回归
（二次函数的图象和性质）
（实物中的抛物线形问题）
建立恰当的直角坐标系
①能够将实际距离准确的转
化为点的坐标；②选择运算简便的方法.
实际问题
数学模型
【课堂训练】 [课件展示]
1.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ C ）
A.50m
B.100m
C.160m
D.200m
[课件展示]
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 2
3
21812++-
=x x y ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米.。