高三数学等差数列选择题专项训练(讲义及答案)含答案

一、等差数列选择题
1．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，数列{}n b 满足
1111n n n
b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
解析：B 【分析】 由题意可得
2
2
1114n n
a a +-
=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-
，求得1
4
n b =
，然后利用裂项相消求和法可求得结果 【详解】
解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，得22
1114n n
a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1为首项的等差数列，
所以21
14(1)43n
n n a =+-=-，
因为0n a >
，所以n a =，
所以
1111n n n
b a a +=+=
所以1
4
n b =
=，
所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+
11
1339(91)244
=
++⋅⋅⋅+-=⨯-=， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得
2
2111
4n n a a +-
=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1
为首项的等差数列，进而可求n a =
，1
4
n b =
=，然后利用裂项相消法
可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题
2．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019 B ．4040
C ．2020
D ．4038
解析：B 【分析】
由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则
()15202020
202016202010102
a a a a S +=
⨯=⨯+可得答案. 【详解】
等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+
()12020
202052016202010104101040402
a a a a S +=
==⨯=+⨯⨯ 故选：B
3．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若
p m n q <<<且()
*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）
A ．22p p S p a =⋅
B ．p q m n a a a a >
C ．
1111p q m n
a a a a +<+ D ．1111p q m n
S S S S +>+ 解析：D 【分析】
利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，由于()()1221222
p p
p p p p a a S
p a a pa ++=
=+≠，故选项A 错误；
对于B 选项，由于m p q n -=-，则
()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()()()2
2m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()2
220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；
对于C 选项，由于
1111
p q m n m n p q p q p q m n m n
a a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误； 对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则
()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，
由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.
()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，
故()()22221122
p q m n p q p q m n m n
S S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.
()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d
--+---⎡
⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
()()()2
2
1
121124mn m n mn p q mna a d d
+---<++()()()22
1121124
m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，
由此
1111p q m n p q p q m n m n
S S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 4．若数列{}n a 满足121
()2
n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020 D ．2021
解析：B 【分析】
根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121
()2n n a a n N *++=
∈，则11()2
n n a a n N *+=+∈， 即11
2
n n a a +-=
， 所以数列{}n a 是以1为首项，
1
2
为公差的等差数列， 所以()()11111122
n n a a n d n +=+-=+-⨯=， 所以2021a =20211
10112
+=. 故选：B
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（ ） A ．70S >，且80S <
B ．70S <，且80S >
C ．70S >，且80S >
D ．70S <，且80S <
解析：A 【分析】
根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】
依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=
>
()()1881884
02
a a S a a +⋅=
=+<
故选：A .
6．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）
A ．7
B ．9
C ．21
D ．42
解析：C 【分析】
利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则()
1212121632
a a S +=
=， 所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =， 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a +++
+=++++++
111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，
故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，
()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a +++
+=++++++=即可求解.
7．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则9
9
S a =（ ） A ．9 B ．5
C ．1
D ．
59
解析：B 【分析】
由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求9
9
S a . 【详解】
4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，
∴1999()
452
a a S d ⨯+=
=，99a d =，且0d ≠， ∴9
95S a =. 故选：B
8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21 B ．15
C ．10
D ．6
解析：C 【分析】
根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】
因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩
，所以101a d =⎧⎨=⎩，
所以5154
550101102
S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C.
9．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,
n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则
n a =（ ）
A ．21n -
B ．43n -
C ．54n -
D ．n
解析：A 【分析】
由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案． 【详解】
11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,
令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-
令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2
311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，
与已知矛盾，故解得31a t =+
{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =
则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A
10．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237
n n S n T n =+，则6
3a b 的值为
（ ） A ．
5
11
B ．38
C ．1
D ．2
解析：C 【分析】
令2
2n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则
6
3
a b 可得． 【详解】
令2
2n S n λ=，()37n T n n λ=+，
可得当2n ≥时，()()2
2
1221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，
()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，
当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，
()232n b n λ=+
故622a λ=，322b λ=， 故
6
3
1a b =. 【点睛】
由n S 求n a 时，11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符
合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 11．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2
15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）
A ．7
B ．8
C ．7或8
D ．9
解析：C 【分析】
215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．
【详解】
2
2
152251524n S n n n ⎛⎫=-=--
⎪⎝
⎭，
∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线2
1522524y x ⎛⎫=--
⎪⎝
⎭上的横坐标为正整数的离散的
点．
又抛物线开口向上，以15
2x =为对称轴，且1515|
7822
-=-|，
所以当7,8n =时，n S 有最小值． 故选：C
12．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24 B ．36
C ．48
D ．64
解析：B 【分析】
利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】
由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =
19592993622
a a a
S +=
⨯=⨯= 故选：B
13．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ）
A ．
825两 B ．
845
两 C ．
865
两 D ．
885
两 解析：C 【分析】
设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，
810
6
100a S =⎧⎨
=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】
设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，
则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1
176109
101002a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
. 所以长兄分得86
5
两银子. 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得
()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和
前n 项和公式.
14．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10
C ．12
D ．14
解析：C 【分析】
利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，
S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=. 故选：C
15．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100
C ．90
D ．80
解析：C 【分析】
先求得1a ，然后求得10S . 【详解】
依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C
二、等差数列多选题
16．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}
F n ，则(){}
F n 的通项公式为（ ）
A ．(1)1()2
n n F n -+=
B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==
C ．(
)n n
F n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．(
)1122n n F n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎥=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦
解析：BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；
【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，
，
()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；
由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以(
)(
)(
)()11F n n F n n ⎤+-
=-⎥⎣⎦
所以数列(
)()1F n n ⎧⎫⎪⎪
+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
所以(
)(
)1n
F n n +=⎝⎭
()
115()n F n -
++， 令
1
n
n n F b
-=
⎝⎭
，则11n n b +=
+，
所以1
n n b b +=
， 所以n b
⎧⎪-
⎨⎪⎪⎩⎭
以51032为公比的等比数列，
所以1
n n b -
=
+， 所以(
)11
152n n n n
F n --⎤
⎤⎛⎫+⎥⎥=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎣⎦
； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．17．题目文件丢失！
18．题目文件丢失！ 19．题目文件丢失！ 20．题目文件丢失！
21．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭
，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式
()22212n
a t a t a a n
<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4 B ．－2
C ．0
D ．2
解析：AB 【分析】 由题意可得
111
11n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n
=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为
()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.
【详解】
111
n n n a a n n
++-
=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，
则
11111n n a a n n n n --=---，1211
1221n n a a n n n n ---=-----，，
2111122
a a -=-， 上述式子累加可得：
111n a a n n -=-，1
22n a n n
∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，
整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立， 对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，包含[]1,2，故A 正确； 对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，包含[]1,2，故B 正确； 对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
，不包含[]1,2，故C 错误； 对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
，不包含[]1,2，故D 错误，
故选：AB. 【点睛】
本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.
22．若数列{}n a 满足112,02
121,1
2
n n n n n a a a a a +⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为
（ ）
A ．15
B ．25
C ．45
D ．65
解析：ABC
【分析】
利用数列{}n a 满足的递推关系及135
a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.
【详解】
数列{}n a 满足112,02121,12
n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215
a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,
,,5555
. 故选：ABC.
【点睛】
本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 23．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）
A ．a 8＝34
B ．S 8＝54
C ．S 2020＝a 2022－1
D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 2022
解析：BCD
【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案.
【详解】
对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误；
对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确；
对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥，
则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=---- 即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确；
对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，
()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.
24．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ）
A ．244a a ⋅<
B ．224154a a +≥
C ．15111a a +>
D ．1524a a a a ⋅>⋅
解析：ABC
【分析】
由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．
【详解】 由题知，只需1220010
a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；
()()2222415223644
a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 2
1511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误.
【点睛】
本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．
25．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）.
A ．10a =0
B ．10S 最小
C ．712S S =
D ．190S = 解析：ACD
【分析】
由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确.
【详解】
因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；
当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+
=-+2(19)2
d n n =-无最小值，故B 错误； 因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确； 因为()1191910191902a a S a +⨯===，故D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.。