初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初二三角形所有知识点总结和常考题
知识点：
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫
做三角形的角平分线.
1）
2．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）
A．90°B．100°C．130°D．180°
3．已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）
A．315°B．270°C．180°D．135°
4．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）
A．B．C．D．
5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，
则∠A′DB=（）
A．40°B．30°C．20°D．10°
7．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，
则∠BPC=（）
A．150°B．130°C．120°D．100°
8．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，
A、B间的距离不可能是（）
10
13
15．…，16
17．
α
19
180°，则它的边数是．21．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．22．在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B= 度．
23．如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A
1，得∠A
1
；∠A
1
BC和∠A
1
CD的
平分线交于点A
2，得∠A
2
；…∠A
2012
BC和∠A
2012
CD的平分线交于点A
2013
，则∠A
2013
= 度．
24．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF= 度．25．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC= 度．
26．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，
则∠3+∠1﹣∠2= ．
三．解答题（共14小题）
27．如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67°，∠ACB=74°，
∠AED=48°，求∠BDF的度数．
28．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求
∠ACD的度数．
29．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求
证：∠CFE=∠CEF．
30．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．
（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．
（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．
31．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（2
32EDF
34．（1XZ
（2）、C，那么∠
35、C （2
（1
BOD=∠
（2﹑
37．如下几个图形是五角星和它的变形．
（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．
（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化
说明你的结论的正确性．
（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+
∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．
38．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，
∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并
说明理由．
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：．39．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
40．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．
（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并
说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关
系是．
（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量
关系？并说明理由．
1．（
两边之2．（）
∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，
∴∠1+∠2=150°﹣∠3，
∵∠3=50°，
∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关
键，也是本题的难点．
3．（2010?西藏）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2
等于（）
A．315°B．270°C．180°D．135°
【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．
【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），
∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，
∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角
之和．
4．（2015?长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）
．．
5．（
．90°﹣+α．D
P
PCB=（∠
）=180°﹣（180°﹣
6．（上A′
A．40°B．30°C．20°D．10°
【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D﹣∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°﹣∠A=40°，从而求出∠A′DB的
度数．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠B=90°﹣50°=40°，
∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，
∵∠CA'D是△A'BD的外角，
∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．
故选：D．
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键
是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．
7．（2004?陕西）如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点
P，若∠A=50°，则∠BPC=（）
A．150°B．130°C．120°D．100°
【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360°求得．
【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠BPC=∠DPE=180°﹣50°=130°．
故选B．
8．（OA=15
求得相10．（
【解答】解：设这个内角度数为x°，边数为n，
∴（n﹣2）×180﹣x=1510，
180n=1870+x=1800+（70+x），
∵n为正整数，
∴n=11，
∴=44，
故选：C．
【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的
知识．
11．（2011春?滨城区期末）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）
A．内角和增加360°B．外角和增加360°
C．对角线增加一条D．内角和增加180°
【分析】利用多边形的内角和定理和外角和特征即可解决问题．
【解答】解：因为n边形的内角和是（n﹣2）?180°，
当边数增加一条就变成n+1，则内角和是（n﹣1）?180°，
内角和增加：（n﹣1）?180°﹣（n﹣2）?180°=180°；
根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和特征．先设这是一个n边形是解题的关键．12．（2012?滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）
=30°，180°×=45°，180°×
=105°，所以这个三角形是钝角三角形．
180°×＞90°．
13．（
14．（
（n ﹣2）?180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边
形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）?180=3×360，
解得n=8．
则这个多边形的边数是8．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．15．（2006?镇江）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了120 米．【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．
∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．
故答案为：120．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．16．（2014?随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75 度．
【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．
【解答】解：如图．
∵∠3=60°，∠4=45°，
∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．
故答案为：75．
17．（
19．（4+∠5= ﹣∠CDE
=DEA）
=900°﹣540°
=360°．
故答案为：360°．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）?180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．20．（2014?自贡）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是9 ．
【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°+180°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，设这个多边形的边数是n，得到方程，
从而求出边数．
（n﹣2）?180°=3×360°+180°，
解得：n=9．
则这个多边形的边数是9．
故答案为：9．
【点评】考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即
可求解．
21．（2015?徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是9 ．【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，
∴它的外角是：180°﹣140°=40°，
22．（
23．（
和∠A
1
CD
∠
=∠=∠∠°．
11
∵∠A
1CD=∠A
1
+∠A
1
BC，
即∠ACD=∠A
1
+∠ABC，
∴∠A
1
=（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC=∠ACD，
∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A
1
=∠A，
∴∠A
1
=m°，
∵∠A
1=∠A，∠A
2
=∠A
1
=∠A，
…
以此类推∠A
2013
=∠A=°．
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A
1
=∠A，并能找出24．（于D，
25．（
26．（
2= 24°．
【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．
【解答】解：正三角形的每个内角是：
180°÷3=60°，
正方形的每个内角是：
360°÷4=90°，
正五边形的每个内角是：
（5﹣2）×180°÷5
=3×180°÷5
=540°÷5
=108°，
正六边形的每个内角是：
（6﹣2）×180°÷6
=4×180°÷6
=720°÷6
=120°，
则∠3+∠1﹣∠2
=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）
=30°+12°﹣18°
=24°．
故答案为：24°．
1）n边27．（，若∠28．（于E，29．（，分别
【解答】证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4=90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
即∠CFE=∠CEF．
【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的
关键．
30．（2010春?横峰县校级期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．
（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．
（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，∠BED=∠ABE+∠BAE=75°；（2）三角形高的基本作法：用圆规以一边两端点为圆心，任意长为半径作两段弧，交于角的两边，再以交点为圆心，用交轨法作两段弧，找到两段弧的交点，连接两个交点，并过另一端点作所成直线的平行线，叫该边所在直线一点，连接该点和另一端点，则为高线；
（3D是BC 中点，E
==×
==×
=BD?EF=×
31．（PE⊥AD （2
∠DAC
【解答】解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ADC=65°，
∴∠E=25°；
（2）．
设∠B=n°，∠ACB=m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2=∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∵∠B=n°，∠ACB=m°，
∴∠CAB=（180﹣n﹣m）°，
∴∠BAD=（180﹣n﹣m）°，
∴∠3=∠B+∠1=n°+（180﹣n﹣m）°=90°+n°﹣m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
m°）
B和∠32．（D，∠BDE在AFD是
（2
进行求解即可．
【解答】解：（1）相等．理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
又∠EAD=∠EDA，
∴∠EAC=∠EAD﹣∠CAD
=∠EDA﹣∠BAD
=∠B；
（2）设∠CAD=x°，则∠E=3x°，
由（1）知：∠EAC=∠B=50°，
∴∠EAD=∠EDA=（x+50）°
在△EAD中，∵∠E+∠EAD+∠EDA=180°，
∴3x+2（x+50）=180，
解得：x=16．
∴∠E=48°．
【点评】（1）建立要证明的两个角和已知角之间的关系，根据已知的相等的角，即可证明；（2）注意应用（1）中的结论，主要是根据三角形的内角和定理及其推论用同一个未知数表示相关
的角，再列方程求解．
34．（2010春?海口期末）（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB= 150°，∠XBC+
（2）B、C，那么∠
X为
35．（、OE、（2
【解答】解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°
∵AB∥ON∴∠ABO=20°
②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°
故答案为：①20 ②120，60
（2）①当点D在线段OB上时，
∵OE是∠MON的角平分线，
∴∠AOB=∠MON=20°，
∵AB⊥OM，
∴∠AOB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=70°，
若∠BAD=∠ABD=70°，则x=20
若∠BAD=∠BDA=（180°﹣70°）=55°，则x=35
若∠ADB=∠ABD=70°，则∠BAD=180°﹣2×70°=40°，∴x=50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x=20、35、50、125．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于
（1
BOD=∠
（2BPD﹑
和解答．
37．（2013春?江都市校级期末）如下几个图形是五角星和它的变形．
（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．
（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化
说明你的结论的正确性．
（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+
∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．
【分析】（1）如图，连接CD，把五个角和转化为同一个三角形内角和．根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，再根据三角形内角和定理可得．
（2）、（3）五个角转化为一个平角．
【解答】解：（1）如图，连接CD．
在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°．
∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3，
∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°；
（2）无变化．
根据平角的定义，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．
∵∠BAC=∠C+∠E，∠EAD=∠B+∠D，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°；
（3）无变化．
∵∠ACB=∠CAD+∠D，∠ECD=∠B+∠E，
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．
38．（
（2）
（3
（4
∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．
（4）∵∠PFD=∠EFC，
∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC，
∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，
∴∠2=90°+∠1﹣α．
故答案为：∠2=90°+∠1﹣α．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的
性质是解题的关键．
39．（2016秋?南沙区校级期中）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【分析】连接BE，由三角形内角和外角的关系可知∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，由四边形内角和是360°，
即可求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．
【解答】解：如图连接BE．
∵∠1=∠C+∠D，∠1=∠CBE+∠DEB，
∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F
=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F
=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F．
又∵∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．
【点评】本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，比较简单．
（1
（2）
（3
（2
（3）1，即可
即2∠A=∠2﹣∠1．
【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用
定理进行推理和计算的能力．。