高中数学必修5课件：第2章2-1-2数列的性质和递推关系

n 3n＋1
为递
增数列．
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第二章 数列
方法二：∵n∈N*，∴an>0，
n＋1
∵
an＋1 an
＝
3n＋4 n
＝
n＋13n＋1 3n＋4n
＝
3n2＋4n＋1 3n2＋4n
＝1＋
1 3n2＋4n
3n＋1
>1，∴an＋1>an，∴数列3nn＋1为递增数列．
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第二章 数列
方法三：令f(x)＝3x＋x 1(x≥1)，则 f(x)＝133x3＋x＋1－1 1＝131－3x＋1 1， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴数列3nn＋1是递增数列．
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第二章 数列
(2)∵bn＝aan＋n 1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58. 故b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
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第二章 数列
数列的单调性问题
已知数列{an}的通项公式为an＝
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝
an an＋1
构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}
的前4项．
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第二章 数列
解析： (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
4分 6分 8分
10分
12分
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第二章 数列
方法二：根据题意，令aann≥－1≤an＋a1n
即n×1110n－1≤n＋11110n
，
n＋11110n≥n＋21110n＋1
解得 9≤n≤10.6 分
又 n∈N*，∴n＝9 或 n＝10.
∴该数列有最大项，为第 9,10 项，
且 a9＝a10＝10×11109.
2分 4分 10 分 12 分
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第二章 数列
(1)由于数列是特殊函数，因此可以用研究函 数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最 小值等；此时要注意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一 条件．
(2)可以利用不等式组
an－1≤an， an≥an＋1，
找到数列的最大项；利
用不等式组aann≤－1≥an＋a1n，， 找到数列的最小项．
求解最大、小项
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第二章 数列
[规范解答] 方法一：∵an＋1－an ＝(n＋2)1110n＋1－(n＋1)1110n ＝1110n×9－11n， 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an. ∴a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， ∴该数列有最大项，为第9,10项， 且a9＝a10＝10×11109.
∴an＝an－1＋n(n≥2)． 答案： B
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第二章 数列
2 ． 已 知 数 列 {an} 中 ， an ＋ 1 － an － 3 ＝ 0 ， 则 数 列 {an} 是 ()
A．递增数列
B．递减数列
C．摆动数列
D．常数列
解析： an＋1＝an＋3>an(n∈N*)， ∴数列为递增数列．
答案： A
而an＋1－an＝n＋n＋121＋1－n2＋n 1
＝[n＋11－2＋n21－]nn2＋1.
因为n∈N*，所以1－n2－n<0，所以an＋1－an<0，即an＋1<an. 故该数列为递减数列．
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第二章 数列
单调性是数列的一个重要性质．判断数列的
单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N*)的 大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1<an恒成 立，则{an}为递减数列．用作差法判断数列增减性的步骤为： ①作差；②变形；③定号；④结论．
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第二章 数列
如图所示，当 1<－2λ<2， a1<a2
时，数列{an}也是单调递增
的，此时－3<λ<－2.
故实数λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|－3<λ<－2}＝{λ|λ>
－3}，
即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．
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第二章 数列
方法二：直接根据定义来处理．
∵数列{an}是单调递增数列， ∴an＋1－an>0，又an＝n2＋λn，∴(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－ λn>0，∴2n＋1＋λ>0，λ>－(2n＋1)， 又n∈N*，∴λ>－3， 即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)． 答案： (－3，＋∞)
◎ 设 数 列 {an} 的 通 项 公 式 为 an ＝ n2 ＋ λn ， 且 {an} 满 足 a1<a2<a3<…<an<an＋1<…，则实数λ的取值范围是________．
【错解】 由an＝n2＋λn＝n＋2λ2－λ42， 利用二次函数的图象易知图象的对称轴为n＝－2λ， 故当－2λ≤1，即λ≥－2时，数列{an}是单调递增数列．
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第二章 数列
3．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小项的值 是________．
解析： ∵an＝n2－6n＝(n－3)2－9， ∴当n＝3时，an有最小值－9. 答案： －9
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第二章 数列
4．设数列满足a1＝1，an＝2＋an1－1(n>1)，试写出这个数列 的前4项．
第二章 数列
数列通项公式和递推公式各有什么作用？ (1)数列的通项公式是给出数列的主要形式，如果已知数列 {an}的通项公式an＝f(n)，可求出数列中的各项与指定项，还可 以根据函数的性质，进一步探讨数列的增减性，数列中项的最 大值或最小值． (2)数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般地， 只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间 的运算关系，就可以依次求出数列的各项．
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第二章 数列
【错因】 错解仅考虑了数列{an}为单调递增数列时的一 种情形，事实上，n的值是离散的，当对称轴在(1,2)之间，且 满足a1<a2时，也成立．
【正解】 方法一：因为an＝n2＋λn，其图象的对称轴
为n＝－
λ 2
，显然，当－
λ 2
≤1，即λ≥－2时，数列{an}是单调递
增数列．
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第二章 数列
数列的最大项、最小项问题
已知数列{an} 的通项公式是an＝(n＋1)1110n，试问 该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若 没有，请说明理由．
[思路点拨]
数列{an} 对任意 计算 判断 的通项 ―n∈―N→* an＋1－an 正―、―→负
确定增减性
根据 单―调―→性
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第二章 数列
得aan－n 1＝aann－ －12＝…＝aa32＝aa21＝2(n≥2)． ∴an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa32·aa21·a1 ＝2·2·…·2·2＝2n. 又当n＝1时，a1＝21＝2成立， ∴an＝2n(n∈N*)．
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第二章 数列
(1)根据递推公式写出数列的前几项，这类问 题要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算．
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第二章 数列
数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某 一 项 ) 开 始 的 任 一 项 an 与 它 的 前 一 项 an － 1( 或 前 几 项 )(n≥2 ， n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做 这个数列的递推公式．
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解析： ∵a1＝1，∴an＝2＋an1－1(n>1)， ∴a2＝2＋a11＝3， a3＝2＋a12＝2＋13＝73， ∴a4＝2＋a13＝2＋37＝177.
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第二章 数列
由递推公式写数列的项并求通项公式
已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前 4项，猜想an，并加以证明．
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第二章 数列
1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律． 2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用．
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第二章 数列
等差数列中项与序号的关系
两项关系 通项公―式 ―→的推广 an＝am＋n－mdm，n∈N*
多项关系
项的―运―算→性质
若m＋n＝p＋qm，n，p，q∈N* 则am＋an＝ap＋aq
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第二章 数列
方法二：设第n项最小， 由aann≤≤aann－＋11，， 得nn22－－55nn＋＋44≤≤nn－＋1122－－55nn－＋11＋＋44， . 解这个不等式组得2≤n≤3， ∴n＝2,3，∴a2＝a3且最小， ∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
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第二章 数列
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2．判断数列3nn＋1的增减性． 解析： ∵an＝3nn＋1， ∴an＋1＝3nn＋＋11＋1＝3nn＋＋14.
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第二章 数列
方法一：an＋1－an＝3nn＋＋14－3nn＋1
＝n＋13n3＋n＋413－n＋n13n＋4
＝3n＋413n＋1，
∵n∈N*，∴an＋1－an>0，即an＋1>an，∴数列
n n2＋1
，写出它的
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前5项，并判断该数列的单调性．
[思路点拨] 用序号代替通项公式中的n，就可求出相应的 项，比较an1与an的大小来判断数列的单调性．
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第二章 数列
解析：
对于公式an＝
n n2＋1
，依次取n＝1,2,3,4,5，得到
数列的前5项为a1＝12，a2＝25，a3＝130，a4＝147，a5＝256.
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后 一排都比前一排多2个座位(如图)．
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第二章 数列
[问题1] 写出前五排座位数． [提示] 20,22,24,26,28. [问题2] 第n排与第n＋1排座位数有何关系？ [提示] 第n＋1排比第n排多2个座位． [问题3] 第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式 表示吗？ [提示] 能．an＋1＝an＋2.
(2)由形如an＝f(n)·an－1(n≥2)的数列的递推公式求通项公式 时，通常用累乘法或迭代法，形成函数的运动变化的观点，不 断地变换递推公式中的“下标”，直到可以利用首项或前几项 是解题的关键．
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第二章 数列
1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1 ＋an－2(n≥3)给出．
[思路点拨] 由递推公式写出前4项 ―→ 猜想an ―→ 探寻an与an＋1的关系 ―→ 结论得证
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第二章 数列
[边听边记] 由a1＝2，an＋1＝2an，得 a2＝2a1＝4＝22，a3＝2a2＝2·22＝23，a4＝2a3＝2·23＝24. 猜想an＝2n(n∈N*)． 证明如下： 由a1＝2，an＋1＝2an，
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第二章 数列
拓展： 通项公式与递推公式的关系示意图
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第二章 数列
1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N* B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 解析： a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，a5＝a4＋ 5，….
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第二章 数列
第二章
数列
2．1 数列的概念与简单表示法
第1课时 数列的性质和递推关系
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第二章 数列
1．了解递推公式是给出数列的一种方法． 2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的 前几项． 3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方 法．
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第二章 数列
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第二章 数列
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解析： (1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. ∵n∈N*，∴n＝2,3. ∴数列中有两项是负数．
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第二章 数列
(2)方法一：∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94， 可知对称轴方程为n＝52＝2.5. 又因n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为22－ 5×2＋4＝－2.
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第二章 数列
等差数列的性质
(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为_d___的等差数列； ②{c·an}(c为任一常数)是公差为__c_d_的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为_2_d_的等差数列． (2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列 {pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为__p_d_1_＋__q_d_2___的等差数列．