安徽省合肥第一六八中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试卷Word版含答案

合肥一六八中学2015—2016学年第一学期期中考试
高二数学(文科)试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2.选择题和非选择题答案必须填写在答题卷上相应位置，否则不得分。

3.考试结束后，请将答题卡和答题卷一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题（共60题，每题5分。

每题仅有一个正确选项。

） 1.下列说法中正确的是( )
A ．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C ．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D ．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
2.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A ．120° B ．150° C ．180° D ．240°
3.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A.21+3
B.18+3
C.21
D.18
4.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A ．2+ C ．15.已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面α、β，有下列命题（ ） ①若//,,//;m n n m αα⊂则 ②若,,l m αβ⊥⊥且,l m ⊥ 则αβ⊥ ③若,,l n m n ⊥⊥则 //l m ④若,,,,.m n n m m αβα
ββα⊥=⊂⊥⊥则
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6.设四面体ABCD 各棱长均相等, S 为AD 的中点, Q 为BC 上异于中点和端点的任
一点,则SQD ∆在四面体的面BCD 上的的射影可能是（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
7. 设a 、b 、c 分别为⊿ABC 中∠A 、∠B 、∠C 对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系（ ）
A.平行
B.重合
C.垂直
D.相交但不垂直
8．直线2(1)10x a y +++=的倾斜角的取值范围是（ ）
A ．[0,
]4π
B ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．[0,](,)42πππ D.3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫
⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
9.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB 、CD 、EF 、GH 在原正方体中互
为异面的对数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10.已知正四棱锥S-ABCD 的侧棱长与底面长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成的角的余弦值为( )
A.
31 B. 32 C. 33 D. 3
2
11. 已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．现将轴截面
ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转 (0)θθπ<≤后，边11B C 与曲线Γ相交于点P ，设BP 的长
度为()f θ，则()y f θ=的图象大致为（ ）
12.如左图所示，在正四棱锥S ABCD -中，E 是BC 的中点，P 点在侧面SCD ∆内及其边界上运动，并且总是保持PE AC ⊥．则动点P 的轨迹与SCD ∆组成的相关图形最有可有是右图中的（ ）
第Ⅱ卷(90分)
二、填空题（共20分，每题5分）
13.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10 cm ，求圆锥的母线长为 ．
14.在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=PC=BC,且90BAC ∠=,则PA 与底面ABC 所成角为 . 15.三棱锥P-ABC 中，D,E 分别是PB,PC 的中点，记三棱锥D-ABE 的体积为1V ,P-ABC 的体积为2V ，则
=2
1
V V . 16.光线由点A(-1,4)射出，遇到直线0632:=--y x l 后被反射，已知点)13
62,
3(B 在反射光线上，则反射光线所在的直线方程为 .
三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）
17.(本小题满分10分)四面体ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC 的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA 于点E,F,G,H.
(1)求四面体ABCD 的体积. (2)证明:四边形EFGH 是矩形.
18.(本题满分10分)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0. (1)证明l 经过定点；
(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．
19(本题满分12分)已知点P 到两个定点M (－1，0)，N (1，0)距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1.求直线PN 的方程．
20.(本题满分12分)在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD,PA=AD=1
，
AB =,
点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动.
(1)求三棱锥E-PAB 的体积； （2）当点E 是CD 的中点时，求证：EF//平面PAC; (3)求证：PE AF ⊥
.
21(本题满分13分)如图1，直角梯形ABCD 中，
//,90AD BC ABC ∠=，,E F 分别
为边AD 和BC 上的点，且//EF AB ，2244AD AE AB FC ====．将四边形EFCD 沿EF 折起成如图2的位置,使AD AE =.
（1）求证：BC //平面DAE ； （2）求四棱锥D AEFB -的体积.
22(本题满分13分).如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，ED ＝1，EF ∥BD ． (1)设EF BD λ=,是否存在实数λ,使 BF ∥平面ACE ；
A
B
E
F
C
D
A C
D
E
F
B 图1
图2
(2)求证：平面EAC ⊥平面BDEF (3)当1
2
EF BD =
时,求几何体ABCDEF 的体积．
2015-2016届高二（上）期中考试试题文科数学答案
一、选择题（60分）
13.解：40
3
cm. 14. 60 15.1/4. 16 13x-26y+85=0
三.解答题（70分）
17【解析】(1)由该四面体的三视图可知,
BD ⊥DC,BD ⊥AD,AD ⊥DC,BD=DC=2,AD=1, 又BD ∩DC=D,所以AD ⊥平面BDC. 所以四面体ABCD 的体积V=××2×2×1=. ……………………4’
(2)因为BC ∥平面EFGH,
平面EFGH ∩平面BDC=FG,平面EFGH ∩平面ABC=EH, 所以BC ∥FG,BC ∥EH,所以FG ∥EH. 同理EF ∥AD,HG ∥AD,所以EF ∥HG,
所以四边形EFGH 是平行四边形. …………………………………7’ 又因为AD ⊥平面BDC,所以AD ⊥BC,所以EF ⊥FG,
所以四边形EFGH 是矩形 ………………………………………10’
18.解：(1)直线方程变化为(x ＋2)k －(y －1)＝0，当x ＝－2，y ＝1时方程对任意实数k 恒成立，故直线过定点(－2，1)． …………….. . 3’
(2)由l 的方程得A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )，…………..5由题知－1＋2k k ＜0，且1＋2k ＞0，∴k ＞0，
∴S ＝12|OA ||OB |＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥4，…………………………..8’
当且仅当k ＞0，4k ＝1k ，即k ＝1
2
时，面积取最小值4，此时直线l 的方程是x －2y
＋4＝0………………………………………………….10’
19．解：设点P 的坐标为(x ，y )，由题设有|PM |
|PN |
＝2，
即（x ＋1）2＋y 2＝2·（x －1）2＋y 2，………….3’
整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0.①…………………….6’
因为点N 到PM 的距离为1，|MN |＝2，所以∠PMN ＝30°，直线PM 的斜率为±
33
， 直线PM 的方程为y ＝±3
3
(x ＋1)．②……………8’
将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0，
解得x ＝2±3，代入②式得点P 的坐标为(2＋3，1＋3)或(2－3，－1＋3)或(2＋3，－1－3)或(2－3，1－3)，………….10’
∴直线PN 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1. ………12’ 20.(12’)
21【答案】（1）证：//,//,,CF DE FB AE BF
CF F AE
DE E ==
∴面//CBF 面DAE 又BC ⊂面CBF 所以BC //平面DAE ……………6’
（2）取AE 的中点H ，连接DH ,EF ED EF EA EF ⊥⊥∴⊥平面DAE 又DH ⊂平
面DAE EF DH
∴⊥2,AE ED DA DH AE DH ===∴⊥=DH ∴⊥面AEFB
所以四棱锥D AEFB -
的体积1223V =⨯=………………………13’
22
(1)存在1
2
λ=
.证明：记AC 与BD 的交点为O ，则DO ＝BO ＝12BD ，连接EO ，
∵EF ∥BD,当1
2
λ=
时,即EF ＝12BD ，
∴EF ∥BO 且EF ＝BO ，则四边形EFBO 是平行四边形，
∴BF ∥EO ，
又∵EO ⊂面ACE ，BF ⊄面ACE ，
∴BF ∥平面ACE ； ………………………………4’ (2)证明：∵ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥AC ． ∵ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ， 又ED ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDEF ，
又AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面BDEF ；………………………8’ (3)解：∵ED ⊥平面ABCD ，∴ED ⊥BD ， 又∵EF ∥BD 且EF ＝
1
2
BD ，∴BDEF 是直角梯形， 又∵ABCD 是边长为2的正方形，BD ＝
，EF
， ∴题型BDEF
=
由(1)知AC ⊥平面BDEF ，
A
B
E
F
C
D
A
C
D
E
F
B
图1
图2
∴几何体的体积V
ABCDEF ＝2V A －BDEF ＝2×13
S BDEF ·AO ＝1223
⨯．
…………………………………………………13’。