2020-2021南京秦淮外国语学校九年级数学下期中第一次模拟试卷(带答案)

2020-2021南京秦淮外国语学校九年级数学下期中第一次模拟试卷(带答案)
一、选择题
1．若点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）都在反比例函数1y x
=-
的图象上，并且x 1＜0＜x 2＜x 3，则下列各式中正确的是（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 2＜y 3＜y 1
C ．y 1＜y 3＜y 2
D ．y 3＜y 1＜y 2
2．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（ ）
A ．①和②
B ．②和③
C ．①和③
D ．①和④
3．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ．则cos ∠AOB 的值等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，123∠∠∠==，则图中相似三角形共有（ ）
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对 5．若35x x y =+，则x y 等于 （ ） A ．32 B ．38 C ．23 D ．85
6．已知两个相似三角形的面积比为 4：9，则周长的比为 ( )
A ．2：3
B ．4：9
C ．3：2
D 237．如图，已知DE∥BC，CD 和B
E 相交于点O ，S △DOE ：S △COB =4：9，则AE ：EC 为（ ）
A ．2：1
B ．2：3
C ．4：9
D ．5：4
8．在小孔成像问题中，如图所示，若为O 到AB 的距离是18 cm ，O 到CD 的距离是6 cm ，则像CD 的长是物体AB 长的（ ）
A ．13
B ．12
C ．2倍
D ．3倍
9．在同一直角坐标系中，函数k y x
=和y=kx ﹣3的图象大致是（ ） A ． B ． C ．
D ．
10．已知2x =3y ，则下列比例式成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图所示，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q ，若以 A 、P 、Q 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 ( )
A ．3
B ．3或43
C ．3或34
D ．43
12．若270x y -=. 则下列式子正确的是（ ）
A ．72x y =
B ．27x y =
C ．27x y =
D ．27
x y = 二、填空题
13．如图,在一段坡度为1∶2的山坡上种树,要求株距(即相邻两株树之间的水平距离)为6米,那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为____米.
14．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________m ．
15．如图，CAB BCD ∠=∠，2AD =，4BD =，则BC =______.
16．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB ，DE ：EA=2：3，EF=4，则CD 的长为___________．
17．已知A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2）是反比例函数y =﹣
4x
图象上的两个点，则y 1与y 2的大小关系为__________． 18．如图，直立在点B 处的标杆AB ＝2.5m ，站立在点F 处的观测者从点E 看到标杆顶A ，树顶C 在同一直线上(点F ，B ，D 也在同一直线上)．已知BD ＝10m,FB ＝3m,人的高度EF ＝1.7 m,则树高DC 是________．(精确到0.1 m)
19．如图，圆柱形容器高为18cm ，底面周长为24cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外币A 处到达内壁B 处的最短距离为_______．
20．如图，已知AD AE =，请你添加一个条件，使得ADC AEB △≌△，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）
三、解答题
21．如图，等边ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 上的点，连接CD 、EF 交于点G ，且60CGF ∠=︒.
（1）请直接写出图中所有与BDC ∆相似的三角形（任选一对证明）；
（2）若45EF DC =，试求AE EC 的值.
22．已知：△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，用尺规求作一条过点B 的直线，使得截出的一个三角形与△ABC 相似．（保留作图痕迹，不写作法）
23．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC 中，点O 在线段BC 上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO ：CO=1：3，求AB 的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB=°，AB=．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=33，
∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．
24．已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．
（1）如图1，求证：AD=CD；
（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．
25．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且∠AQP=90０，求证：△ADQ∽△QCP．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x 1＜0＜x 2＜x 3即可得出结论．
【详解】
∵反比例函数y =﹣
1x
中k =﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．
∵x 1＜0＜x 2＜x 3，∴B 、C 两点在第四象限，A 点在第二象限，∴y 2＜y 3＜y 1．
故选B ．
【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．本题也可以通过图象法求解．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
设小长方形的长为2a ，宽为a ．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断．
【详解】
由题意可知：小长方形的长是宽的2倍，
设小长方形的宽为a ，则长为2a ，
∴图①中的三角形三边长分别为2a ==；
图②中的三角形三边长分别为5a ==；
图③中的三角形三边长分别为==；
==、
5a =，
∴①和②图中三角形不相似；
∵2
2a a ≠≠ ∴②和③图中三角形不相似；
∵2
2a a ≠≠ ∴①和③图中三角形不相似；
=== ∴①和④图中三角形相似．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握熟练掌握基本知识．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．
【详解】
连接AB，
由图可知：OA=0B，AO=AB
∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°=．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC是等边三角形是解题的关键．4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据已知及相似三角形的判定定理，找出题中存在的相似三角形即可.
【详解】
∵∠1＝∠2，∠C＝∠C，∴△ACE∽△ECD，∵∠2＝∠3,∴DE∥AB，
∴△BCA∽△ECD，∵△ACE∽△ECD，△BCA∽△ECD，∴△ACE∽△BCA，
∵DE∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∵∠1＝∠2，∴△AED∽△BAE，∴共有4对，故此选D 选项.
【点睛】
本题考查学生对相似三角形判断依据的理解掌握，也考察学生的看图分辨能力.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】先根据比例的基本性质进行变形，得到2x=3y，再根据比例的基本性质转化成比
例式即可得.
【详解】根据比例的基本性质得：
5x=3（x+y ），即2x=3y ， 即得32
x y =， 故选A ．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解本题的关键.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解．
【详解】
∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个相似三角形的周长之比为2：3．
故选：A
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
7．A
解析：A
【解析】
试题解析：∵ED ∥BC ，
.DOE COB AED ACB ∴V V V V ∽，∽
:4:9DOE BOC DOE COB S S V V Q V V ∽，，=
:2:3.ED BC ∴=
AED ACB QV V ∽，
::.ED BC AE AC ∴=
:2:3,?::ED BC ED BC AE AC Q ，==
:2:3AE AC ∴=，:2:1.AE EC ∴=
故选A.
点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据题意得到△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．
【详解】
作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
由题意得,AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴CD
AB
=
OF
OE
=
1
3
，
∴像CD的长是物体AB长的1 3 .
故答案选：A.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
【详解】
分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，没有图像符合要求；
②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A符合要求．
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断．
【详解】
A ．变成等积式是：xy =6，故错误；
B ．变成等积式是：3x +3y =4y ，即3x =y ，故错误；
C ．变成等积式是：2x =3y ，故正确；
D ．变成等积式是：5x +5y =3x ，即2x +5y =0，故错误．
故选C ．
【点睛】
本题考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．
11．B
解析：B
【解析】 AP AQ AB AC =,264AQ =，AQ=43
，
AP AQ AC AB =,246
AQ =，AQ =3.
故选B.
点睛：相似常见图形
（1）称为“平行线型”的相似三角形（如图,有“A 型”与“X 型”图）
（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形，有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”，如下图：
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接利用比例的性质分别判断即可得出答案．
【详解】
∵2x -7y =0，∴2x =7y ．
A ．72
x y =，则2x =7y ，故此选项正确； B ．27x y
=，则xy =14，故此选项错误； C ．27
x y =，则2y =7x ，故此选项错误； D ．27
x y =，则7x =2y ，故此选项错误． 故选A ．
【点睛】
本题考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题的关键．
二、填空题
13．3米【解析】【分析】利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比把相应的数值代入即可【详解】解：∵坡度为1：2且株距为6米∴株距：坡面距离=2：∴坡面距离=株距×（米）【点睛】本题是将实际问题转化为 解析：5
【解析】
【分析】
利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比，把相应的数值代入即可．
【详解】
解：∵坡度为1：222125+=6米，
∴株距：坡面距离=25
∴坡面距离=株距×
2
【点睛】
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意坡度是坡角的正切函数．
14．5【解析】【分析】根据同一时刻身长和影长成比例求出举起手臂之后的身高与身高做差即可解题【详解】解：设举起手臂之后的身高为x由题可得：17:085=x：11解得x=22则小刚举起的手臂超出头顶的高度为
解析：5
【解析】
【分析】
根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.
【详解】
解：设举起手臂之后的身高为x
由题可得：1.7:0.85=x：1.1,解得x=2.2,
则小刚举起的手臂超出头顶的高度为2.2-1.7=0.5m
【点睛】
本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,明确同一时刻的升高和影长是成比例的是解题关键.
15．【解析】【分析】角对应相等的两个三角形相似可证得△ABC∽△CBD再根据相似三角形的性质可解【详解】解：
∵∠B=∠B∠CAB=∠BCD∴△ABC∽△CBD∴BC：BD=AB：BC∴BC：BD=（AD
解析：
【解析】
【分析】
角对应相等的两个三角形相似可证得△ABC∽△CBD，再根据相似三角形的性质可解．【详解】
解：∵∠B=∠B，∠CAB=∠BCD，
∴△ABC∽△CBD，
∴BC：BD=AB：BC，
∴BC：BD=（AD+BD）：BC，
即BC：4=（2+4）：BC，
∴.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.
16．【解析】【分析】【详解】解：∵EF ∥AB ∴△DEF ∽△DAB ∴EF ：AB=DE ：DA=DE ：（DE+EA ）=2：5∴AB=10∵在▱ABCD 中AB=CD ∴CD=10故答案为：10【点睛】本题考查①相
解析：【解析】
【分析】
【详解】
解：∵EF ∥AB,∴△DEF ∽△DAB,∴EF ：AB=DE ：DA=DE ：（DE+EA ）=2：5,∴AB=10,∵在▱ABCD 中AB=CD ．
∴CD=10．
故答案为：10
【点睛】
本题考查①相似三角形的判定；②相似三角形的性质；③平行四边形的性质．
17．y1＜y2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小从而可以解答本题详解：∵反比例函数y=--4＜0∴在每个象限内y 随x 的增大而增大∵A（-4y1）B （-1y2）
解析：y 1＜y 2
【解析】
分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y 1与y 2的大小，从而可以解答本题．
详解：∵反比例函数y=-4x
，-4＜0， ∴在每个象限内，y 随x 的增大而增大， ∵A （-4，y 1），B （-1，y 2）是反比例函数y=-
4x 图象上的两个点，-4＜-1， ∴y 1＜y 2，
故答案为：y 1＜y 2．
点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答．
18．2m 【解析】【详解】解：过点E 作EM⊥CD 交AB 与点N∴故答案为52m 【点睛】本题是考查相似三角形的判定和性质关键是做出辅助线构造相似三角形利用相似三角形的性质得出结论即可这类题型可以作垂直也可以作
解析：2m
【解析】
【详解】
解：过点E 作EM ⊥CD,交AB 与点N.∴,EN AN EAN ECM EM CM
V V ~∴=
30.82.5, 1.7,0.8,10,313AB m EF m AN m BD m FB m CM
==∴===∴=Q Q ,()3.47CM m ∴≈ ()1.7 3.47 5.2.CD m ∴=+≈
故答案为5.2m ．
【点睛】
本题是考查相似三角形的判定和性质．关键是做出辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质得出结论即可.这类题型可以作垂直也可以作平行线，构造相似三角形．
19．cm 【解析】【分析】将杯子侧面展开建立A 关于EF 的对称点A′根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求【详解】解:如答图将杯子侧面展开作A 关于EF 的对称点A′连接A′B 则A′B 即为最短距离根据勾股
解析：cm ．
【解析】
【分析】
将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求.
【详解】
解:如答图，将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′，连接A′B ，则A′B 即为最短距离．
根据勾股定理，得（cm ）．
故答案为：20cm.
【点睛】
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
20．或或【解析】【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边因此可以利用ASASASAAS 证明两三角形全等【详解】∵∴可以添加此时满
足SAS ；添加条件此时满足ASA ；添加条件此时满足AAS 故
解析：AB AC =或ADC AEB ∠=∠或ABE ACD ∠=∠.
【解析】
【分析】
根据图形可知证明ADC AEB V V ≌已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA 、SAS 、AAS 证明两三角形全等．
【详解】
∵A A ∠∠= ，AD AE =，
∴可以添加AB AC = ，此时满足SAS ；
添加条件ADC AEB ∠∠= ，此时满足ASA ；
添加条件ABE ACD ∠∠=，此时满足AAS ，
故答案为：AB AC =或ADC AEB ∠∠=或ABE ACD ∠∠=；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．
三、解答题
21．（1）GFC CFE ∆∆、；（2）
14 【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质及∠CGF=60°，可以得出∠B=∠ACB=∠CGF=60°，可以得出△BDC ∽△GFC ∽△CFE ；
（2）由（1）△BDC ∽△CFE 可以得出EF CE DC BC = ，再根据条件45
EF DC =和三角形ABC 是等边三角形和线段的转化，就可以得出
AE EC 的值． 【详解】
解：（1）GFC CFE ∆∆、
∵等边ABC ∆，
∴∠B=∠ACB =60°
∵60CGF ∠=︒
∴∠B=∠ACB=∠CGF
又∵∠DCB=∠FCG
∴GFC BDC ∆∆∽
∵∠EFC=∠GFC
∴GFC CFE ∆∆∽
∴GFC CFE BDC ∆∆∽∽△
(2)∵△BDC ∽△CFE 45454
1,54
EF CE DC BC
EF DC CE BC CE AE AC EC ∴
==∴=∆∴∴==Q Q 等边ABC AC=BC
即
【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质．
22．答案见解析.
【解析】
【分析】
根据三角形相似的作图解答即可．
【详解】
解：如图，直线BD 即为所求．
【点睛】 此题主要考查相似图形的作法，关键是根据三角形相似的作图．
23．（1）75；32）13
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA 可得出
△BOD ∽△COA ，利用相似三角形的性质可求出OD 的值，进而可得出AD 的值，由三角
形内角和定理可得出∠ABD=75°
=∠ADB ，由等角对等边可得出3解；
（2）过点B 作BE ∥AD 交AC 于点E ，同（1）可得出3Rt △AEB 中，利用勾股定理可求出BE 的长度，再在Rt △CAD 中，利用勾股定理可求出DC 的长，此题得解．
【详解】
解：（1）∵BD ∥AC ，
∴∠ADB=∠OAC=75°．∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴
1
3 OD OB
OA OC
==．
又∵AO=33，
∴OD=1
3
AO=3，
∴AD=AO+OD=43．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=43．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴BO EO BE DO AO DA
==．
∵BO：OD=1：3，
∴
1
3 EO BE
AO DA
==．
∵3，
∴3
∴3
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（32+BE2=（2BE）2，解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，
解得：
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．
24．（1）证明见解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
【解析】
分析：（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；
（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知
S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．
详解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，
∴∠ADE=∠CGF，
∵AC⊥BD、BF⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，
∴∠DAE=∠GCF，
∴AD=CD；
（2）设DE=a，
则AE=2DE=2a，EG=DE=a，
∴S△ADE=1
2
AE×DE=
1
2
×2a×a=a2，
∵BH是△ABE的中线，∴AH=HE=a，
∵AD=CD、AC⊥BD，
∴CE=AE=2a，
则S△ADC=1
2
AC•DE=
1
2
•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；
在△ADE和△BGE中，
∵
AED BEG DE GE
ADE BGE ∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADE≌△BGE（ASA），∴BE=AE=2a，
∴S△ABE=1
2
AE•BE=
1
2
•（2a）•2a=2a2，
S△ACE=1
2
CE•BE=
1
2
•（2a）•2a=2a2，
S△BHG=1
2
HG•BE=
1
2
•（a+a）•2a=2a2，
综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．
25．证明见解析
【解析】
试题分析：本题利用等角的余角相等得出一对相等的角，加上直角得出相似三角形.
试题解析：在Rt△ADQ与Rt△QCP中，
∵∠AQP=90°,
∴∠AQP+∠PQC=90°,
又∵∠PQC+∠QPC=90°,
∴∠AQP=∠QPC，
∴Rt△ADQ∽Rt△QCP.。