相场法数值-模拟

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多相
在p相系,统相中应任的一变点量r k
p
k 1,k 0, k
k 1
三、热力学势函数 (thermodynamic energy functional)
经典热力学
F Fbulk Fint Fel Ffys
体积自由能 界面能
弹性应变能 电磁相互作用能
(bulk free energy) (interfacial energy) (elastic strain energy)
1、有限差分方法 finite differences 2、自适应有限元法 finite elements based on adaptive 3、谱方法 spectral methods
图10 相场变量在空间和时间离散化
总结
将系统总能量写成所有取向 场变量及其它们梯度的函数
代入
相场方程
计算方法
构造局域自 由能密度
相场法-热力学
ϵ
ϵ 和 k——梯度能量系数
ϵ Fint (xB,k )
V
f0
(
xB
,k
)
2
(xB
)2
k
k
2
(k
)2 dr
均质与非均质体系 Homogeneous versus heterogeneous systems
图5 自由能与浓度的关系
Nele Moelans.Phase field method to simulate microstructural evolution (June 2004)
基本类型
1.连续相场法:扩散方程 驰豫方程
2.微观相场法:实际是 Cahn-Hilliard 方程的微 观离散格点形式。Khachatuyran 引入微观场, 用于描述由原子占据晶 格位置的几率作为场变 量来描述微结构变化
于志生, 刘平, 龙永强.基于Ginzburg-Landau 理论的相 场法研究进展[J].材料热处理技术,2008,37(16):94~98
图9 两相体系均质自由能三维图 图8 图双7阱组势成函自数由与能插曲值线函数
非等温凝固
非等温凝固用熵函数来表示,避免表达式中出 现温度
S
V
s0
(e0 ,
xB
,)
ϵ'
2
(xB
)2
'
2
( ) 2
dr
e0 f0 s0T e0 内能 f0 亥姆霍兹能
四、相场方程 (phase-field equations)
图1(a)性能不连续
(b)性能连续
N. Moelans, B. Blanpain , P. Wollants, "An introduction to phase-field modeling of microstructure evolution", CALPHAD -Computer Coupling of Phase Diagrams and Thermochemistry, 32, 268-294, 2008
1或 1表示有序域 0表示无序域
图3 反相位结构
非保守场(non-conserved variables)
图4 立方结构转化成四方结构有三个等同取向
非保守场(non-conserved variables)
相场量(phase-fields)
两相
1表示在固相中 0表示在液相中 0 1在固液界面
ij
(r )
Cijkl
(r )
el kl
(r )
Cijkl
(r
)
[
tot kl
(r )
0 kl
(r )]
有了弹性应变,就可以求得体系总的弹性形变能:
Fel
1 2
C v ijk
l
(r)
el ij
(r)
el kl
(r
)dr
2、凝固-单相场变量
F
V
f0
(
xB
,
,T
*
)
ϵ
2
(xB
)2
2
(
)2
dr
等温凝固,假设摩尔体积不变,即组成梯度项不考虑
ϵ则=0
均质自由能密度
f0 ( xB ,,T * ) f p ( xB , ,T * ) g ( ) 双阱势函数g ( ) ( 2 1 2) (1 xB)A xBA f p ( xB , ,T * ) (1 p( )) f ( xB ,T * ) p( ) f ( xB ,T * ) p' ( ) 30g ( ) p( ) 3 (6 2 15 10)
1、固态相变-对称性降低
反相位结构
立方转变为四方相
(anti-phase domain structure) (cubic to tetragonal transformation)
固相 转变
f0 () f dis A B 2 C 3 D 4
f0
(
)
4(f0
)max
1 2
2
1 4
4
f
Ginzburg-Landau 方程
k (r ,t)
t
Lk
F k (r ,t)
Lk
f0
k
kk
Cahn-Hilliard 方程
1 Vm
xB (r ,t)
t
M
F
(
xB,k
)
xB (r ,t)
M
f0
(xB ,k
xB
)
xB (r ,t)
数值解(Numerical solution)
k
ri
l
ri
dr
tot ij
el ij
0 ij
弹性失配能
el ij
0 ij
Elastic el ij
0 ij
misfit
energy
图6 多相结构应变理论
b
c
d
Nele Moelans.Phase field method: from fundamental theories to a phenomenological simulation method (June 2003)
2021
弹性失配能
0 ij
(r )
x xB
ij B
(r )
k
ij
k
(r
)
k
xB (r , t) xB (r , t) xB,0
xB ij
(r )
1 a
da dxB
ij
1
3 0
0 1
0
0
2
1 0
0 3
0 0
3
1 0
0 1
0 0
0 0 1
0 0 1
0 0 3
根据胡克定律可得:
(1,2 ,3)
1 2
3
A i2
k 1
1 4
3
B i4
k 1
1
6
C
3 k 1
i
2
3
各向异性
Anisotropy
界面能各向异性通过序参量的梯度项引入到自
由能表达式中,如:
ϵ F
V
Hale Waihona Puke Baidu
f0
(xB ,k
)
1 2
i,
3
ij
j 1
xB ri
xB rj
1 2
p3
ijk l
k ,l 1i, j1
1.计算量巨大,可模拟的 尺度较小(最大可达几十 个微米)。 2.相场参数不容易确定。
二、相场变量(phase-field variables)
指那些满足局域守恒条件的场变量
保守场 如人们最熟悉的浓度序参量c
非保 守场
指那些不满足局域守恒条件的场变量 如长程序参量η
保守场(conserved variables) 成分变量
假设C组分体系
n xi i ntot
n ci
i
V
xi Vm
C
xi
i 1
C
1, ci
i 1
ntot V
1 Vm
V
ci dr
1 Vm
V xidr ni
xi 摩尔分数
ci 摩尔浓度
图2 两种不同组成区域
非保守场(non-conserved variables)
序参量 (order parameters)
数值模拟
结束语
相场模拟通过微积分放映扩散、有序化 以及热力学驱动力的综合作用。相场方程的 解可以描述系统中固液界面的状态、曲率以 及界面的移动。把相场方程与外场(如温度 场等)耦合,则可以模拟多晶的真实形貌。
相场法数值模拟从单相场发展到多相场, 从没有流场到包含流场,其数学模型越来越 接近真实模拟过程。
α相扩散到 β相的溶质 扩散方程
尖锐界面
c D 2c t
c D 2c t
(c,int c,int ) D c D c
r1
r1
(c,int ) (c ,int )
相场法原理
相场法是以GinzburgLandau理论为基础, 用微 分方程来体现扩散、有序 化势和热力学驱动的综合 作用, 它是建立在GinzburgLandau 唯象理论之上的 一种近代方法。
相场法数值模拟 phase-field modeling
内容
介绍 (Introduction)


相场变量(Phase-field variables)



相场方程(Phase field equations)


热力学势函数(thermodynamic energy functional)
一、介绍
• 相场模型是一种建立在热力学基础上,考 虑有序化势与热力学驱动力的综合作用来 建立相场方程描述系统演化动力学的模型。
核心思想
引入一个或多个连续变化的序参量,用弥散 界面模型代替传统的尖锐界面来描述界面
尖锐界面与弥散界面 sharp-interface versus diffuse-interface
相场模型
该方法自提出 后,迅速成为 微观组织模拟
的热点
优缺点
1.通过相场与温度场、溶质 场及其它外部场的耦合,能 有效地将微观与宏观尺度结 合起来。 2.由于不需要追踪晶界位置 能方便处理晶界上溶质聚集 和第二相析出问题,并能将 晶界能和晶界迁移率的各向 异性方便地考虑进去,还能 够较大程度避免点阵的各向 异性。
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