2021年山东省冬季普通高中学业水平合格性考试仿真模拟数学试题(解析)

2021年山东省冬季普通高中学业水平合格性考试仿真模拟数
学试题
一、单选题
1．已知集合P x1x4，Q x2x3，则P Q（）
A．x1x2
【答案】B
【分析】直接计算交集得到答案.
【详解】因为P x1x4，Q x2x3，所以P Q x2x3，
故选：B.
2．命题“x1，x21”的否定形式是（）
A．x1，x21
C．x1，x21
【答案】B
【分析】全称命题的否定是特称命题
【详解】“任意”改为“存在”，否定结论即可.
对“x1，x21”的否定形式是“x1，x21”.
故选：B
3．已知四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC BD”的（）
A．充分不必要条件
C．必要不充分条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件的定义对命题进行判断即可.
【详解】若四边形ABCD为菱形，则AC BD；
反之，若AC BD，则四边形ABCD不一定是菱形．
故为充分不必要条件.
故选：A．
4．设z
3 A．
22i，则z的共轭复数的虚部为（）
1i
B．x2x3C．x3x4D．x1x4
B．x1，x21
D．x1，x21
B．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3
B．i
2
3
C．
2
3
D．i
2
【答案】C
【分析】先对复数z
2i
化简，从而可求出其共轭复数，进而可求出其虚部1i
【详解】因为z
13i ，2
2
2i 2i 1i 13i 13
i ，1i
1i 1i
222
所以z
3
所以z 的虚部为，
2
故选：C 5．已知a 3，b
2，若a b
3，则a 与b 夹角的大小为（
）
A ．30°C ．120°【答案】C
【分析】根据向量夹角公式直接计算即可.B ．60°D ．150°
【详解】解：因为a
3，b
2，a b
3,
所以cos a,b
a b a b
31,
322因为a,b 0,180，所以a,b 120.
故选：C
2π
πx 6．函数y sinx ，的值域是（
）.
3
6A ．[1,1]【答案】B
1
B ．,1
213C ．,
22
3D ．
,12
【分析】判断y sinx 在确定值域；【详解】
π2πx 上的单调性，确定y sinx 的最大值和最小值，从而63y sinx
y sin x 在0，上单调递增，在
，
上单调递减
22
π2π
y sin x 在
，上单调递增，在，上单调递减x 636223当x=y
min
时y sinx 取最大值y max
sin
1
2
2
2
123
sin ,sin 当x=
时y sinx 取最大值
sin =
且sin =，3
6
66232
y
min sin 6
1
2
2ππ1x ,1函数y sinx ，的值域是32
6故选：B 7．函数y 1
12x
的定义域为（
）
1B ．
,2
1C ．,
2
1D ．
,2
1
A ．,
2
【答案】B
【分析】由根式内部的代数式大于等于0及分母不等于0，列出不等式，即可求解.【详解】要使函数y 所以函数y 故选：B.1112x
有意义，则12x 0，解得x
1.2
1的定义域为
,.12x
2
x 24,x 08．已知函数f(x)，则f[f(0)]（
）
x 4,x 0
A ．1【答案】B
【分析】带入数据计算得到f 0
4，再计算得到答案.
B ．0
C ．1
D ．2
x 24,x 0【详解】f(x)，故f 04，f[f(0)]f 4
440.
x 4,
x 0
故选：B.
9．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）
A ．至少有一个白球与都是红球C ．至少有一个白球与都是白球【答案】B
【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.
【详解】解：对于A ，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A 错误；
对于B ，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故B 正确；
对于C ，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件
B ．恰好有一个白球与都是红球D ．至少有一个白球与至少一个红球
不是互斥的，故C错误；
对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球”，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.
故选：B.
10．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为N的样本，如果样本按比例分配，男运动员抽取的人数为16人，则N为（）
A．16B．20C．24D．28
【答案】D
【分析】根据分层抽样的知识列方程，由此求得N的值.
【详解】依题意165616
N5642
N
98
56
28.
故选：D
11．将函数y sin2x的图象向左平移
4
个单位后，所得图象对应的函数是（）
A．y sin(2x
2)B．y sin(2x
4
)
C．y sin(2x
2)D．y sin(2x
4
)
【答案】C
【分析】根据函数平移的原则即可求出.
【详解】将函数y sin2x的图象向左平移
4
个单位后，可得
y sin2x
4sin2x
2
.
故选：C.
12．设a log
5
4，b log53，c0.50.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a b c B．b a c C．c b a D．c a b 【答案】B
【分析】利用指数、对数函数的性质判断指对数式的大小.
【详解】c0.50.21a log
54b lo g
5
3，即b a c.
故选：B
13．设m，n是两条不同的直线，,是两个不同的平而，下列命题正确的是（A．若m//,m//，则//
B．若m//n,m//，则n//
）
C ．若m //n,m ，则n
D ．若n ,n
，则
【答案】C
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
【详解】解：对于A ，若m //,m //，则,相交或平行，故A 错误；对于B ，若m
//n ,m //
，则n //或n ，故B 错误；
对于C ，若m //n,m ，则n
，故C 正确；
对于D ，若n ,n
，则∕
∕，故D 错误.故选：C.14．函数f x sin 2x
的最小正周期是（
）
6
A ．
2
B ．
C ．2
D ．4
【答案】B
【分析】根据三角函数最小正周期的计算方法，即可求解.【详解】由题意，函数f x
sin 2x
，
6
根据正弦型函数的周期的计算方法，可得f x 最小正周期为T 故选：B.
15．下列说法正确的是（
）
A ．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
B ．圆锥用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
C ．圆锥、圆台的底面都是圆，母线都与底面垂直
D ．位于上方的面是棱台的上底面，位于下方的面是棱台的下底面【答案】B
【分析】根据圆锥、圆台和棱台的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】根据圆台母线的定义知，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以A 错误；根据圆台的定义，可得圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，所以B 正确；由圆锥、圆台的母线都不与底面垂直，所以C 错误；
由棱台的两个底面相似，其中较小的面叫做上底面，较大的面叫做下底面，所以D 错误．故选：B.
16．长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积
2
.
2
为（）
A ．14π【答案】A
【分析】先求出长方体的外接球半径，进一步求出球的表面积．
2，1，【详解】长方体的长，宽，高分别为3，设外接球的半径为R ，则(2R )212223214，解得R 14
，2
142
)14．
2
B ．28π
C ．42π
D ．56π
所以S
球
4(故选：A ．17．已知向量a 1,m ，b
3,1，且2a b b ，则m
（）A ．2【答案】A
【分析】先求出2a b 的坐标，然后由2a b b ，可得2a b b 0，从而可求出m
的值
【详解】因为a 1,m ，b 3,1，
所以2a b 2(1,m )(3,1)(1,2m
1)，
因为2a b b ，所以2a b b
3(2m
1)0，
解得m 2，
故选：A
18．某人从出发点A 向正东走xm 后到B ，然后向左转150°再向前走3m 到C ，测得ABC 的面积为A ．3m 【答案】D
【分析】由题意可得ABC 30，再由ABC 的面积为
利用余弦定理求出AC 即可【详解】如图，由题意可得ABC 30，
因为ABC 的面积为所以S
B ．4
C ．2
D ．4
33
2m ，此人这时离出发点的距离为（）
4
B ．2m
C ．23m
D ．3m
33
2m ，求出AB 的长，然后4
33
2m ，BC 3m ，AB
xm ，
4
ABC 1
333
，解得x 3，
AB BC sin ABC
x 24
4
由余弦定理得
AC2AB2BC22AB BC cos ABC
39233
3
3，2
所以AC3m，
故选：D
19．函数f x2lnx x6的零点所在区间为（）
A．1,2
【答案】C
【分析】结合f x的单调性以及零点存在性定理求得正确选项.
【详解】f x在0,上递增，
B．2,3C．3,4D．4,5
f32ln33ln9lne30，
f42ln422ln412ln4lne0，
f3f40，所以f x的唯一零点在区间3,4.
故选：C
x22x2,x0
20．设函数f(x)，则函数y f(x)1的零点个数为（）
lgx,x0
A．1个
【答案】B
【分析】由已知函数f(x)的解析式作出图象，把函数y f(x)1的零点转化为函数f(x)与y1的交点得答案．
B．2个C．3个D．0个
x22x2,x0
【详解】由函数解析式f(x)
lgx,x0
由图可知，函数y f(x)1的零点的个数为2个．
故选：B ．二、填空题21．已知x 1，求函数y
x
【答案】2【分析】由x
1，得x 10，利用基本不等式即可得出答案.
【详解】解：因为x 1，所以x 1
0，
1111x 1
2x 1
2，
x 1
x 1
x 1
1当且仅当x 1，即x 0时，取等号.
x 1
11的最小值是______．
x 1
则y
x
故答案为：2.
22．在锐角ABC 中，a 2b 2c 2
2bc ，则角A 的大小为___________.
【答案】
4
【分析】利用余弦定理表示出cosC ，把已知等式代入求出cosC 的值，由C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数.【详解】解：由a 2b 2c 2
2bc ，得b 2c 2a 2
2bc ，
b 2
c 2a 2
2bc 2由余弦定理：cosA
，2bc
2bc
2
又因为A 为锐角三角形的内角，所以A
4
，故答案为：
.
4
2
23．已知函数f x x 2a 1x 3，在区间1,4上不单调，则实数a 的取值范围是
___________．39
【答案】,
22
【分析】由二次函数的单调性求解.
2
【详解】函数f x x2a1x3对称轴为x 2a1
，2
因为函数在区间1,4上不单调，
2a1
4，
2
39
解得a，
22
所以1
39
所以实数a的取值范围是,，
22
39
故答案为：,
22
24．在三棱锥A BCD中，若平面ABC平面BCD，BD CD且BD CD.则直线CD 与平面ABC所成角的大小为_____________.
【答案】；
4
【分析】过D作DO BC，交BC于O，推导出O是BC中点，且DO平面ABC，从而直线CD与平面ABC所成角为DCB，由此能求出直线CD与平面ABC所成角的大小．【详解】过D作DO BC，交BC于O，
∵在三棱锥A BCD中，平面ABC平面BCD，BD CD且BD CD，
∴△BCD为等腰直角三角形，O是BC中点，且DO平面ABC，
∴直线CD与平面ABC所成角为DCB，
∵在等腰直角三角形△BCD中DCB
4
，
∴直线CD与平面ABC所成角的大小为故答案为：
．4
．
4
【点睛】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
25．一张方桌有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，则C与D相邻的概率为___________.
【答案】
【分析】先计算B，C，D三人随机坐到其他三个位置上的所有情况，再计算“C与D不相邻”的情况，利用古典概型的概率公式，即得解
3【详解】B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，共有A
36种等可能情况，
2
3
要使C与D不相邻，则B必坐在A的对面，此时C与D的坐法共有2种情况，所以根据古典概型求概率公式可知C与D相邻的概率为
故答案为：
三、解答题
26．已知函数f x x 9
，x1,6 x
2 3622
. 63
（1）判断并用定义证明f x的单调性；
（2）求f x的值域.
9
【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）8,.
2
【分析】（1）定义法证明函数单调性步骤：取点、作差、判号；（2）结合第一问求得的函数的单调性求解函数的值域.
【详解】（1）f x为增函数，证明如下：
x 1x
2
，x
1
,x
2
1,6，
f x
1f x
2
x
1
x
2
9x
1
x
2
x
1
x
2
9x
1
x
2
99
x
1
x
2
x
2
x
1
x
1
x
2
x
1
x
2
因为x
1x
2
x
1
x
2
0，x
1
x
2
f x
1f x
2
x
1
x
2
9x
1
x
20
x
1
x
2
可得：f x
1f x
2
所以f x在x1,6上为增函数.
（2）由第一问可知该函数在x1,6上为增函数，则当x1，f x有最小值，当x6，f x有最大值.
因为f18，f(6)
9
9
，所以函数f x值域为8,.
2
2
27．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD ＝1，E，F分别是PB，AC的中点．
(1)证明：EF//平面PCD；
(2)求三棱锥E ABF的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
24
【分析】（1）利用中位线定理即可证明EF//P D，从而得出EF//平面PCD；
（2）计算E到平面ABCD的距离和三角形ABF的面积，代入棱锥的体积公式计算．(1)
证明：四边形ABCD是正方形，F是AC的中点，
B，F，D三点共线，且F是BD的中点，
又E是PB的中点，
EF//P D，
又EF平面PCD，PD平面PCD，
EF//平面PCD．
(2)解：PA
平面ABCD ，E 是PB 的中点，
E 到平面ABCD 的距离为1
1PA
，22ABF
四边形ABCD 是正方形，AB 1，S
11S
正方形ABCD ，44
1．24
三棱锥E
ABF 的体积为：V
E ABF
111324
28．某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h ），可以把这批电子元件分成第一组100,200，第二组200,300，第三组300,400，第四组
400,500，第五组500,600，第六组600,700.由于工作中不慎将部分数据丢失，现
有以下部分图表：
使用
寿命频数频率
100,200
200,30030
300,400
0.2
400,500
0.4
500,60020
600,700
(1)求图2中A 的值；
(2)补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积；
(3)为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于400,600内的产品中抽取5个作为样本，那么在400,500内应抽取多少个？
【答案】(1)
0.001(2)频率分布直方图答案见解析，阴影部分的面积为0.5(3)4
【分析】（1）根据题意得到0.1A 100，解得答案.（2）补全表格，画出频率分布直方图并计算面积得到答案.（3）根据分层抽样的比例关系得到答案.(1)
由题意可知0.1A 100，所以A 0.001.
(2)使用
寿命频数频率
补全后的频率分布直方图如图所示，
100,200
200.1
200,300
300.15
300,400
400.2
400,500
800.4
500,600200.1
600,700
100.05
阴影部分的面积为0.0041000.0011000.5.(3)
由分层抽样的性质，知在400,500内应抽取5
0.4
4.
0.40.1。