正弦稳态电路分析和功率计算

2
Y = 0.1 + j0.2S
0.025F 0.1S
0.02F
十、利用相量图求解电路
例 如图所示电路，uS 2US cost ，求输出电压 uO(t) 对 uS(t) 的相位关系。
C
解：（一）解析法
+
+
1
uS
R uO
–
–
（二）相量图法
U O②
I jC
+ US
U C
R
+ UO
–
–
I ①
③ U C
直流电阻电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
R11Im1 R12Im2 R1mImm uS11
R
21I
m1
R
22I
m2
R 2mImm
uS22
R m1Im1 R m2Im2 R mm Imm uSmm
正弦稳态电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
ZZ1211IImm11
Z12I m 2 Z 22I m 2
Z1m I mm Z 2 m I mm
U S11 U S22
Zm1Im1 Zm2Im2 Zmm Imm U Smm
例 uS = 6cos3000t V，求正弦稳态时的 i1 , i2 。
i1 1k
+2000–i1 i2
uS
(3)
Z
U I
U I
u i
= R + jX = |Z| Z
Z R2 X2
Z
arctg
X R
ZU I
Z = u – i
(4) 阻抗的性质
Z
U I
U I
u i = R + jX = |Z| Z
i) X > 0 , Z > 0 , u – i > 0 , 电压超前于电流， 称阻抗 Z 呈感性；
ii) X < 0 , Z < 0 , u – i < 0 , 电压滞后于电流， 称阻抗 Z 呈容性；
iC 2IC sin(t )
j 1 C
一、阻抗
9-1 阻抗和导纳
1. 元件的阻抗
元件在正弦稳态下，电压相量与电流相量（关联
参考方向）之比为元件的阻抗，记为 单位：欧姆（）.
Z。即
Z
U I
。
元件 I Z
U
U Z I
—— 欧姆定律的相量形式
2. 一端口的阻抗
对于不含独立源的一端口，在正弦稳态下其端口
电压相量与端口电流相量（关联参考方向）之比为
iR
t O
2. 电感 uL 2UL cos(t ) , iL 2IL cos(t 90)
iL 2IL sin(t )
pL(t) = uL iL = 2ULIL cos(t + ) sin(t + )
uL iL pL
= UL IL sin2(t + ) pL
uL iL
t O
3. 电容 uC 2UC cos(t ) , iC 2IC cos(t 90)
G 21u n1 G 22u n2 G u 2(n1) n(n1) iS22
G(n u 1)1 n1 G(n1)2u n2 G(n1)(n1)u n(n1) iS(n1)(n1)
正弦稳态电路：( n个节点 , n 1个节点电压 Un1 , Un2 , …Un (n1) )
YY1211UU nn11
一端口的阻抗，记为 Z。单位：欧姆（）.
3. 分析 U Z I
(1) 元件与不含独立源的一端口的 VCR 统一表达为：
U Z I ，不再表现为微积分的关系；
(2)
Z
U I
为一复数，记为
Z
=
R
+
jX
.
其中： R — 电阻分量( )； X — 电抗分量()
XL = L — 感抗；
XC
1 C
—
容抗
ii) B < 0 , Y < 0 , i – u < 0 , 电流滞后于电压， 称导纳 Y 呈感性；
iii) B = 0 , Y = 0 , i – u = 0 , 电流与电压同相， 称导纳 Y 呈阻性；
思考：感性的阻抗对应的导纳的性质如何？
仍为感性。
(5) 导纳三角形 Y G2 B2
(6) 导纳是频率的函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1) IC
+j I R
O 66
I
U S +1
I = 19.7 –66 A
(2) IC +j I = 33 76 A
IL
I Z = 3.64 –76
OIL
76I R
U S +1
Y = 0.275 76 S
Z = 6.09 66 Y = 0.164 –66 S
思考：Z 1 , Y 1
Y
Z
(1) |Z| 与 |Y| 关系如何？
1H 3
1 F 3
解： 1. 作相量模型
I1 1k
+2000–I1
3 2 0 V
I1
j1k
I2
2. 作相量分析：列解网孔方程 3. 反变换
I2
–j1k
六、结点电压法
直流电阻电路：( n个节点 , n 1个节点电压un1 , un2 ,…un (n1) )
G11u n1 G12u n2 G1(n1)u n(n1) iS11
Zeq = Z1 + Z2 + … + Zn
U k
Zk Zeq
U
Z1
Zeq + R1
Req
U Zn
Rn
I
Z2
R2
•••
+
Zk RUkk
•••
Yeq
Geq
Y1 Y2
G1 G2
•••
Yk
Gk
Ik
•••
Yn
Gn
Geq = G1 + G2 + … + Gn
Yeq = Y1 + Y2 + … + Yn
Ik
—— 输入阻抗 (导纳)
N 只含阻抗与受控源
3. 分析 I Y U
(1) 元件与不含独立源的一端口的 VCR 统一表达为：
I Y U ，不再表现为微积分的关系；
(2)
Y
I U
为一复数，记为 Y = G + jB .
其中： G — 电导分量 (S)；B — 电纳分量 (S)
BL
1 L
—
感纳
BC = C — 容纳；
L1 = L2 = 0.28H , C1 = 1mF。
iS1
j10A
C1
a
j10 a
L1
R
b
j28
3
b
L2 – uS2
j28 – 140 0 V
四、输入阻抗 例 求如图所示正弦稳态电路的输入阻抗。 ie
ie 1
1
+
uS
1
1F
–
Ie
Ie 1
1
Zeq
U S Ie
3 j 2 j
+ US
–
1
1
j
五、网孔电流法
(3)
Y
I U
I U
i u
Y G2 B2
Y I U
= G + jB = |Y| Y
Y
arctg
B G
Y = i – u
(4) 导纳的性质
Y
I U
I U
i u = G + jB = |Y| Y
i) B > 0 , Y > 0 , i – u > 0 , 电流超前于电压， 称导纳 Y 呈容性；
i 10 10
uS
0.1H
iS
解：1. 作相量模型
I 10 10
20 0 V
j10
2.作相量分析：用叠加定理求解
2 2 45 A
3. 反变换
八、戴维宁定理和诺顿定理
例 求图示正弦稳态电路的戴维宁等效电路。
100 j200
+
10 0 V
–j50 UOCZL –
试求使负载电流 I 与电源 US 同相位的 ZL的条件。
(2) Z 与 Y 关系如何？
| Z | 1 |Y|
Z = Y
(3) R，X，G，B 关系如何？
R
G G2 B2
,
X
G
2
B
B2
G
R R2 X2
,
B
R
2
X
X
2
G 1 ,B 1 RX
9 - 2, 3, 4 正弦稳态电路的分析
一、两类约束的相量形式与电阻电路两类约束形式的
比较
电阻电路形式
正弦稳态下 的相量形式
i(t)
uS(t)
iR
iL iC
R LC
(1) IC
+j I R
O 66
I
U S +1
I = 19.7 –66 A
(2) IC +j I = 33 76 A
I Z = 3.64 –76
OIL
76I R
U S +1
IL
Z = 6.09 66
(6) 阻抗是频率的函数 Z(j) = R() + jX()
Yk Yeq
I
例：电路如图所示，uS(t) 40 2 cos3000t V，求 i(t) , iC(t) , iL(t) 。
i(t)1.5k 1k
uS(t)
iL(t) 1 H 3
iC(t) 1 F 6
解：(一) 建立电路的相量模型； (1) 独立源的参数用相量标出； (2) 电阻、电容、电感用阻抗值（导纳值）标出； (3) 支路电压电流变量用其相量标出。
p(t) = u(t) i(t) —— 关联参考方向下元件或 一端口瞬时吸收的功率
1. 电阻 uR 2UR cos(t ) , iR 2IR cos(t )
pR(t) = uR iR = 2URIR cos2(t + )
uR iR pR
= UR IR [1+ cos2(t + )]
pR uR
第九章
正弦稳态电路的分析
一、阻抗
9-1 阻抗和导纳
1. 元件的阻抗
元件在正弦稳态下，电压相量与电流相量（关联
参考方向）之比为元件的阻抗，记为 单位：欧姆（）.
Z。即
Z
U I
。
电阻
IR R
U R ZR UIRR R
电感
IL jL
U L
ZL
U L IL
jL
电容
IC
j 1 C
U C
ZC
U C IC
XL = –200 – 2RL （容性负载）
九、无源二端网络相量模型的等效时域电路
例 1 已知 Z = 2 + j4 , = 10 rad/s , 求时域电路模型。
2
Y = 0.1 – j0.2S
0.4H
0.1S
0.5H
例 2 已知 Z = 2 – j4 , = 10 rad/s , 求时域电路模型。
(二) 根据相量模型，利用电阻电路的各种分析方法 求解未知量（相量形式）；
(三) 将相量解转换为正弦函数。
三、有伴电压源与有伴电流源的等效变换
例 用等效变换法求电路中 R = 3 时的 iab , uab 。其中
iS1 10 2 cos(100t 90) A , uS2 140 2 cos100t V ,
iii) X = 0 , Z = 0 , u – i = 0 , 电压与电流同相， 称阻抗 Z 呈阻性；
(5) 阻抗三角形
Z R2 X2
|Z|
|X|
|Z|
R
例 已知 R = 15 , L = 10mH , C = 100µF , 求 uS(t)分别 为 120 2 cos500t V与 120 2 cos3000t V 时的稳态电 流 i(t)，并画出相量图。
二、导纳
1. 定义 阻抗的倒数 称为导纳。
元件 (一端口) 在正弦稳态下，电流相量与电压相
量（关联参考方向）之比为元件 (一端口) 的导纳，
记为
Y。
即
Y
1 Z
I U
。单位：西门子（S）.
电阻
IR R
U R
YR
IR U R
1 R
电感
IL jL
U L
YL
IL U L
1 jL
电容
IC
j 1 C
U C
YC
IC U C
jC
二、导纳
1. 定义 阻抗的倒数 称为导纳。
元件 (一端口) 在正弦稳态下，电流相量与电压相
量（关联参考方向）之比为元件 (一端口) 的导纳，
记为
Y。
即
Y
1 Z
I U
。单位：西门子（S）.
元件 I Y
U
I Y U
—— 欧姆定律的相量形式
一端口
I
+
U
N0
Z
U I
Y
1 Z
I U
|Y|
|B|
|Y|
G
Y(j) = G() + jB()
例 已知 R = 15 , L = 10mH , C = 100µF , 求 uS(t)分别 为 120 2 cos500t V与 120 2 cos3000t V 时的稳态电 流 i(t)，并画出相量图。
i(t)
uS(t)
iR
iL iC
R LC
+2000–i1 i2
uS
1H 3
1 F 3
解： 1. 作相量模型
3 2 0 V
I1 1k U① n1+2000–I1
j1k
I2
–j1k
2. 作相量分析：列解结点方程 3. 反变换
七、叠加定理
例 如图所示正弦稳态电路，uS 20 2 cos100t V iS = 4 cos (100t + 45) A，试用叠加定理求 i(t) 。
Y12U n2 Y22U n2
Y1(n1)U n(n1) Y2(n1)U n(n1)
IS11 IS22
Y(n1)1U n1 Y(n1)2U n2 Y(n1)(n1)U n(n1) IS(n1)(n1)
例 uS = 6cos3000t V，求正弦稳态时的 i1 , i2 。
i1 1k
U S④
例 已知 US , R1, R2 , R3 , , C，R1 = R2，用相量图法
求 Uab .
c
I3
解：
I3
R1
R3
ab
US
R2 Uab
1 jC
o
Uc
b
3
Uca
Ua
Ubo
bab
Ua
US
o
思考：若 R3 可调，Uab 如何变化？
9-5 正弦稳态功率
一、元件与一端口的瞬时功率 p(t) 单位：瓦特（W）
KCL : KL
KVL :
VCR :
ik 0
k
uk 0
k
u = R ·i
i = G ·u
Ik 0
k
U k 0