电磁场理论习题解读
电磁场理论习题
电磁场理论习题一1、求函数ϕ=xy+z-xyz 在点（1，1，2）处沿方向角πα=3，4πβ=，3πγ=的方向的方向导数.解：由于 M ϕ∂∂x =y －M yz = -1M y ϕ∂∂=2x y －(1,1,2)xz =0 Mzϕ∂∂=2z(1,1,2)xy -=31cos 2α=，cos 2β=，1cos 2γ=所以1cos cos cos =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γϕβϕαϕϕz y x lM2、 求函数ϕ＝xyz 在点（5, 1, 2）处沿着点（5, 1, 2）到点（9, 4, 19）的方向的方向导数。
解：指定方向l 的方向矢量为l ＝(9－5) e x +(4－1)e y +(19－2)e z ＝4e x +3e y +17e z其单位矢量zy x z y x e e e e e e l 314731433144cos cos cos ++=++=γβα5,10,2)2,1,5(==∂∂==∂∂==∂∂MMMMMxyzxzyyzxϕϕϕ所求方向导数314123cos cos cos =•∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ l z y x lMϕγϕβϕαϕϕ3、 已知ϕ=x 2+2y 2+3z 2+xy+3x-2y-6z ，求在点（0，0，0）和点（1，1，1）处的梯度。
解：由于ϕ∇=(2x+y+3) e x +(4y+x-2)e y +(6z-6)e z所以，(0,0,0)ϕ∇=3e x -2e y -6e z(1,1,1)ϕ∇=6e x +3e y4、运用散度定理计算下列积分：2232[()(2)]x y z sxz e x y z e xy y z e ds+-++⎰⎰I=S 是z=0 和 z=(a 2-x 2-y 2)1/2所围成的半球区域的外表面。
解：设：A=xz 2e x +(x 2y-z 3)e y +(2xy+y 2z)e z 则由散度定理Ω∇⎰⎰⎰⎰⎰sA ds=Adv可得2I r dvΩΩΩ=∇==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222Adv (z +x +y )dv2244220sin sin aar drd d d d r dr ππππθθϕϕθθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰525a π=5、试求▽·A 和▽×A:(1) A=xy 2z 3e x +x 3ze y +x 2y 2e z(2)22(,,)cos sin z A z e e ρρφρφρφ=+ (3 ) 211(,,)sin sin cos r A r r e e e r r θφθφθθθ=++解：（1）▽·A=y 2z 3+0+0= y 2z 3▽×A=23232(2)(23)x yx y x e xy xy z e ∂∂∂=---∂∂∂x y z23322e e e x y z xy z x z x y(2) ▽·A=()[()]z A A A z φρρρρρφ∂∂∂++∂∂∂1 =33[(cos )(sin )]ρφρφρρφ∂∂+∂∂1=3cos ρφ▽×A=ρφρφρρρφρ∂∂∂∂∂∂z ze e e 1z A A A =221cos 0ρφρρρφρφρφ∂∂∂∂∂∂z e e e z sin=cos 2sin sin ze e e ρφρφρφρφ-+(3) ▽·A=22(sin )()1[sin ]sin r A A r A r r r r φθθθθθφ∂∂∂++∂∂∂ =2322sin cos ()()1(sin )[sin ]sin r r r r r r r θθθθθθφ∂∂∂++∂∂∂ =222212[3sin 2sin cos ]3sin cos sin r r r θθθθθθ+=+▽×A=21sin rr r r rr θφθφθθθφθ∂∂∂∂∂∂e e rsin e A A rsin A =21sin 1sin sin cos rr r r r θφθθθφθθθθ∂∂∂∂∂∂e e rsin e rsin=33cos 2cos cos sin r e e e r r θφθθθθ+-习题二1、总量为q 的电荷均匀分布于球体中，分别求球内，外的电场强度。
电磁场理论习题解读
思考与练习一1．证明矢量3ˆ2ˆˆz y x e e e-+=A 和z y x e e e ˆˆˆ++=B 相互垂直。
2. 已知矢量 1.55.8z y e ˆeˆ+=A 和4936z y e ˆ.e ˆ+-=B ，求两矢量的夹角。
3. 如果0=++z z y y x x B A B A B A ，证明矢量A 和B 处处垂直。
4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的一般表达式。
5．根据算符∇的与矢量性，推导下列公式：()()()()B A B A A B A B B A ∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇)(()()A A A A A 2∇⋅-∇=⨯∇⨯21 []H E E H H E ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇6．设u 是空间坐标z ,y ,x 的函数，证明：u du df u f ∇=∇)(， ()du d u u A A ⋅∇=⋅∇， ()dud u u A A ⨯∇=⨯∇，()[]0=⨯∇⋅∇z ,y ,x A 。
7．设222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-='-=r r 为源点x '到场点x 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点。
证明下列结果，R R R R =∇'-=∇， 311R R R R-=∇'-=∇，03=⨯∇R R ，033=⋅∇'-=⋅∇RR R R )0(≠R 〔最后一式在0=R 点不成立〕。
8. 求[])sin(0r k E ⋅⋅∇与[])sin(0r k E ⋅⨯∇，其中0E a ,为常矢量。
9. 应用高斯定理证明 ⎰⎰⨯=⨯∇v sd dV f s f ，应用斯克斯〔Stokes 〕定理证明⎰⎰=∇⨯s Ldl dS ϕϕ。
10.证明Gauss 积分公式[]⎰⎰⎰⎰⎰∇+∇⋅∇=⋅∇s Vdv d ψφψφψφ2s 。
11.导出在任意正交曲线坐标系中()321q ,q ,q F ⋅∇、()[]321q ,q ,q F ⋅∇∇、()3212q ,q ,q f ∇的表达式。
电磁场理论基础答案解析
1 1 P Pz b P ( rP r ) 0 r r r z
b P
Sb
ˆ P n
ˆ r
( 0 )U 0 ˆ P r b r ln a
a
U0 U
sb
1-7 求矢量场 A 从所给球面 S 内穿出的通量。
3 3 3 ˆ ˆ ˆ A x x y yz z
2 2
解：矢量场 A 从所给球面 S 内穿出的通量可表示为
S 为：x y z a 提示：利用高斯散度定理求解
2 2
A dS
S
利用高斯散度定理，则有 ∵ 在直角坐标系中
)
A
( x ˆ x y ˆ y z
ˆ ˆ z ) [ x (
Az y
Ay z
ˆ ) y(
Ax z
Az x
ˆ ) z(
Ay x
Ax y
)]
x
2
(
Az y
2
Ay z
ˆ ˆ )x x
补充： 同轴电缆的内导体半径为a，外导体半径 为b，其间填充介电常数 0 r a 的电介质。已知 外导体接地，内导体的电压为U 。求（1）介质中 的 E 和 D ；（2）介质中的极化电荷分布。 q 解： （1）介质中的 E 和 D S E d S
br
先求出
D
：
D E
q r
2
ˆ E r r
Байду номын сангаас
( br 1) e
《电磁场与电磁波》课后习题解答(第五章)
《电磁场与电磁波》课后习题解答(第五章)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：习题及参考答案5.1 一个点电荷 Q 与无穷大导体平面相距为d ，如果把它移动到无穷远处，需要作多少功？解：用镜像法计算。
导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为-Q ，位于和原电荷对称的位置。
当电荷Q 离导体板的距离为x 时，电荷Q 受到的静电力为2)2(042x Q F επ-=静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力2)2(042x Q f επ=在移动过程中，外力f 所作的功为d Q d dx dx Q dx f 016220162επεπ=⎰∞⎰∞= 当用外力将电荷Q 移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为dq8/2επ。
也可以用静电能计算。
在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能：d Q d Q Q d Q Q q q W 082)2(04)(21)2(042122211121επεπεπϕϕ-=-+-=+=移动点电荷Q 到无穷远处以后，系统的静电能为零。
因此，在这个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为dq8/2επ。
5．2 一个点电荷放在直角导体内部（如图5-1），求出所有镜像电荷的位置和大小。
解：需要加三个镜像电荷代替 导体面上的感应电荷。
在（-a ，d ）处，镜像电荷为-q ，在（错误！链接无效。
）处， 镜像电荷为q ，在（a ，-d ）处，镜像电荷为-q 。
图5-1 5．3 证明：一个点电荷q 和一个带有电 荷Q 、半径为R 的导体球之间的作用力为]2)22(2[04R D DRq D D qR Q q F --+=επ其中D 是q 到球心的距离（D ＞R ）。
证明：使用镜像法分析。
大学物理电磁学静电场经典习题详解
大学物理电磁学静电场经典习题详解(总17页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--题：1964年，盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成，中子就是由一个带e 32的上夸克和两个带e 31-下夸克构成，若将夸克作为经典粒子处理（夸克线度约为10?20 m ），中子内的两个下夸克之间相距?10?15 m 。
求它们之间的斥力。
题解：由于夸克可视为经典点电荷，由库仑定律r r 220r 2210N 78.394141e e e F ===r e r q q πεπεF 与r e 方向相同表明它们之间为斥力。
题：质量为m ，电荷为?e 的电子以圆轨道绕氢核旋转，其动能为E k 。
证明电子的旋转频率满足42k20232me E εν=其中是0ε真空电容率，电子的运动可视为遵守经典力学规律。
题分析：根据题意将电子作为经典粒子处理。
电子、氢核的大小约为10?15 m ，轨道半径约为10?10 m ，故电子、氢核都可视作点电荷。
点电荷间的库仑引力是维持电子沿圆轨道运动的向心力，故有220241r e r v m πε=由此出发命题可证。
证：由上述分析可得电子的动能为r e mv E 202k 8121πε==电子旋转角速度为30224mr e πεω=由上述两式消去r ，得43k 20222324me E επων== 题：在氯化铯晶体中，一价氯离于Cl ?与其最邻近的八个一价格离子Cs +构成如图所示的立方晶格结构。
（1）求氯离子所受的库仑力；（2）假设图中箭头所指处缺少一个铯离子（称作品格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力。
题分析：铯离子和氯离子均可视作点电荷，可直接将晶格顶角铯离子与氯离子之间的库仑力进行矢量叠加。
为方便计算可以利用晶格的对称性求氯离子所受的合力。
解：（l ）由对称性，每条对角线上的一对铯离子与氯离子间的作用合力为零，故01=F（2）除了有缺陷的那条对角线外，其它铯离子与氯离子的作用合力为零，所以氯离子所受的合力2F 的值为N 1092.134920220212-⨯===ae rq q F πεπε2F 方向如图所示。
电磁学课后习题答案及解析
第五章 静 电 场5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为2204π1L r QεE -=(2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为2204π21Lr r QεE +=若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为r r q εe E 20d π41d '=整个带电体在点P 的电场强度⎰=E E d接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，⎰=LE i E d(2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是⎰⎰==Ly E αE j j E d sin d证 (1) 延长线上一点P 的电场强度⎰'=L r πεE 202，利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则()220022204π12/12/1π4d π41L r QεL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰电场强度的方向沿x 轴.(2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为E r εqαE L d π4d sin 2⎰'=利用几何关系 sin α＝r /r ′，22x r r +=' 统一积分变量，则()2203/22222041π2d π41L r r εQ rx L xrQ εE L/-L/+=+=⎰当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度rελL r L Q r εE l 0220π2 /41/π21lim=+=∞→此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B)］.这说明只要满足r 2/L 2＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即⎰⋅=SS d s E Φ方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理∑⎰==⋅0d 0q εSS E 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S ′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而⎰⎰'⋅-=⋅=S SS E S E Φd d解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有⎰⎰'⋅-=⋅=S SS E S E Φd d依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向，E R πR E 22πcos π=⋅⋅-=Φ解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①()r θθθE e e e E sin sin cos sin cos ++=r θθR e S d d sin d 2=ER θθER θθER SS2ππ2222πdsin d sin dd sin sin d ===⋅=⎰⎰⎰⎰S E Φ5 －17 设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为()()R r ρkr ρ>=≤≤=0R r 0k 为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E 与r 的函数关系.分析 通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有2S π4d r E ⋅=⋅⎰S E根据高斯定理⎰⎰=⋅V ρεd 1d 0S E ，可解得电场强度的分布. (2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为r r ρq ''⋅=d π4d 2，每个带电球壳在壳内激发的电场0d =E ，而在球壳外激发的电场rrεqe E 20π4d d =由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布()()()()R r r r Rr>=≤≤=⎰⎰d R r 0d 0E E E E解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理⎰⎰=⋅V ρεd 1d 0S E 得球体内(0≤r ≤R ) ()40202πd π41π4r εk r r kr εr r E r ==⎰()r εkr r e E 024=球体外(r ＞R )()400202πd π41π4r εk r r kr εr r E R ==⎰ ()r εkR r e E 024=解2 将带电球分割成球壳，球壳带电r r r k V ρq '''==d π4d d 2由上述分析，球体内(0≤r ≤R )()r r rεkr r r r r k εr e e E 0222004d π4π41=''⋅'=⎰ 球体外(r ＞R )()r r Rr εkR r r r πr k πεr e e E 20222004d 441=''⋅'=⎰5 －20 一个内外半径分别为R 1 和R 2 的均匀带电球壳，总电荷为Q 1 ，球壳外同心罩一个半径为R 3 的均匀带电球面，球面带电荷为Q 2 .求电场分布.电场强度是否为离球心距离r 的连续函数？ 试分析.分析 以球心O 为原点，球心至场点的距离r 为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而24d rπE ⋅=⎰S E .在确定高斯面内的电荷∑q 后，利用高斯定理∑⎰=0/d εq S E 即可求出电场强度的分布.解 取半径为r 的同心球面为高斯面，由上述分析∑=⋅02/π4εq r Er ＜R 1 ，该高斯面内无电荷，0=∑q ，故01=E R 1 ＜r ＜R 2 ，高斯面内电荷()31323131R R R r Q q --=∑ 故 ()()23132031312π4r R R εR r Q E --= R 2 ＜r ＜R 3 ，高斯面内电荷为Q 1 ，故2013π4r εQ E =r ＞R 3 ，高斯面内电荷为Q 1 ＋Q 2 ，故20214π4rεQ Q E +=电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r ＝R 3 的带电球面两侧，电场强度的跃变量230234π4ΔεσR εQ E E E ==-=这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时，E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E 的变化成为一跃变.5 －21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1 和R 2 ＞R 1 )，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r 处的电场强度：(1) r ＜R 1 ，(2) R 1 ＜r ＜R 2 ，(3) r ＞R 2 .分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且⎰⋅=rL E d π2S E ，求出不同半径高斯面内的电荷∑q .即可解得各区域电场的分布.解 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理∑=⋅0/π2εq rL Er ＜R 1 ，0=∑q01=E在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变R 1 ＜r ＜R 2 ，L λq =∑rελE 02π2=r ＞R 2，0=∑q03=E在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变00π2π2ΔεσrL εL λr ελE ===这与5 －20 题分析讨论的结果一致.5 －22 如图所示，有三个点电荷Q 1 、Q 2 、Q 3 沿一条直线等间距分布且Q 1 ＝Q 3 ＝Q .已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q 1 、Q 3 的情况下，将Q 2从点O 移到无穷远处外力所作的功.分析 由库仑力的定义，根据Q 1 、Q 3 所受合力为零可求得Q 2 .外力作功W ′应等于电场力作功W 的负值，即W ′＝－W .求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为l E d 02⎰∞=Q W其中E 是点电荷Q 1 、Q 3 产生的合电场强度. (2) 根据电场力作功与电势能差的关系，有()0202V Q V V Q W =-=∞其中V 0 是Q 1 、Q 3 在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势). 解1 由题意Q 1 所受的合力为零()02π4π420312021=+d εQ Q d εQ Q 解得 Q Q Q 414132-=-=由点电荷电场的叠加，Q 1 、Q 3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为()22031π2yd εQ E E E yy y +=+=将Q 2 从点O 沿y 轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为()dεQ y y d εQ Q Q W y 022/322002π8d π241d =+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋅-='⎰⎰∞∞l E 解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时Q Q 412-=，并由电势 的叠加得Q 1 、Q 3 在点O 的电势dεQd εQ d εQ V 003010π2π4π4=+=将Q 2 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功dεQ V Q W 0202π8=-=' 比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多. 5 －23 已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为r rελe E 0π2=为电荷线密度.(1)求在r ＝r 1 和r ＝r 2 两点间的电势差；(2)在点电荷的电场中，我们曾取r →∞处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？ 试说明.解 (1) 由于电场力作功与路径无关，若沿径向积分，则有12012ln π2d 21r r ελU r r =⋅=⎰r E (2) 不能.严格地讲，电场强度r e rελE 0π2=只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电荷分布在无限空间，r →∞处的电势应与直线上的电势相等.5 －27 两个同心球面的半径分别为R 1 和R 2 ，各自带有电荷Q 1 和Q 2 .求：(1) 各区域电势分布，并画出分布曲线；(2) 两球面间的电势差为多少？分析 通常可采用两种方法(1) 由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由⎰∞⋅=pp V l E d 可求得电势分布.(2) 利用电势叠加原理求电势.一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为rεQV 0π4=在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势RεQV 0π4=其中R 是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布.解1 (1) 由高斯定理可求得电场分布()()()22021321201211 π4 π40R r rεQ Q R r R rεQ R r r r>+=<<=<=e E e E E 由电势⎰∞⋅=rV l E d 可求得各区域的电势分布.当r ≤R 1 时，有20210120212113211π4π4π411π40d d d 2211R εQ R εQ R εQ Q R R εQ V R R R R r+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰∞lE l E l E当R 1 ≤r ≤R 2 时，有202012021201322π4π4π411π4d d 22R εQ r εQ R εQ Q R r εQ V R R r+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅+⋅=⎰⎰∞lE l E当r ≥R 2 时，有rεQ Q V r02133π4d +=⋅=⎰∞l E(2) 两个球面间的电势差⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=⎰210121211π4d 21R R εQ U R R l E 解2 (1) 由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即r ≤R 1 ，则2021011π4π4R εQ R εQ V +=若该点位于两个球面之间，即R 1 ≤r ≤R 2 ，则202012π4π4R εQ r εQ V +=若该点位于两个球面之外，即r ≥R 2 ，则rεQ Q V 0213π4+=(2) 两个球面间的电势差()2011012112π4π42R εQ R εQ V V U R r -=-== 第六章 静电场中的导体与电介质6 －1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。
电磁场理论习题及答案
电磁场理论习题及答案电磁场理论是电磁学的基础，它描述了电荷和电流产生的电磁场在空间中的分布和演化规律。
在学习电磁场理论时，习题是巩固和深化理解的重要方式。
本文将介绍一些电磁场理论的习题及其答案，帮助读者更好地掌握这一理论。
一、电场和电势1. 问题：一个均匀带电球体，半径为R，总电荷为Q。
求球心处的电场强度。
答案：根据库仑定律，电场强度E与电荷Q和距离r的关系为E = kQ/r^2，其中k为库仑常数。
对于球体内部的点，距离球心的距离r小于半径R，所以电场强度为E = kQ/r^2。
对于球体外部的点，距离球心的距离r大于半径R，所以电场强度为E = kQ/R^3 * r。
2. 问题：一个无限长的均匀带电线，线密度为λ。
求距离线上一点距离为r处的电势。
答案：根据电势公式V = kλ/r，其中k为库仑常数。
所以距离线上一点距离为r处的电势为V = kλ/r。
二、磁场和磁感应强度1. 问题：一根无限长的直导线，电流为I。
求距离导线距离为r处的磁感应强度。
答案：根据安培环路定理，磁感应强度B与电流I和距离r的关系为B =μ0I/2πr，其中μ0为真空中的磁导率。
所以距离导线距离为r处的磁感应强度为B = μ0I/2πr。
2. 问题：一根长为L的直导线，电流为I。
求距离导线距离为r处的磁场强度。
答案：根据比奥萨伐尔定律，磁场强度H与电流I和距离r的关系为H = I/2πr。
所以距离导线距离为r处的磁场强度为H = I/2πr。
三、电磁场的相互作用1. 问题：一个半径为R的导体球，带电量为Q。
求导体球表面的电荷密度。
答案：导体球表面的电荷密度σ等于导体球上的电荷总量Q除以导体球表面的面积A。
导体球表面的面积A等于球的表面积4πR^2。
所以导体球表面的电荷密度为σ = Q/4πR^2。
2. 问题：一个平行板电容器，两个平行金属板之间的距离为d，电介质的介电常数为ε。
一块电介质板插入到电容器中间，使得电容器的电容增加了n倍。
电磁场理论课后习题1答案
电磁场理论课后习题1答案电磁场理论是物理学中的重要课程，它研究了电磁场的产生、传播和相互作用。
在学习这门课程时，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
本文将针对电磁场理论课后习题1给出详细的解答。
习题1：一个带电粒子在电磁场中运动，受到的洛伦兹力为F=q(E+v×B)，其中q是粒子的电荷量，E是电场强度，v是粒子的速度，B是磁感应强度。
请证明：洛伦兹力对粒子所做的功率为P=qv·E。
解答：根据洛伦兹力的表达式F=q(E+v×B)，我们可以将其展开为F=qE+qv×B。
其中第一项qE表示粒子在电场中受到的电力，第二项qv×B表示粒子在磁场中受到的磁力。
根据功率的定义，功率P等于力F对时间t的导数，即P=dW/dt，其中W表示对物体所做的功。
所以我们需要计算洛伦兹力对粒子所做的功。
根据力的功的定义，功W等于力F对位移的积分，即W=∫F·ds。
在这里，位移ds是粒子在运动过程中的微小位移。
将洛伦兹力F=qE+qv×B代入功的计算式中，得到W=∫(qE+qv×B)·ds。
由于电场强度E和磁感应强度B是空间中的矢量场，所以我们可以将其展开为E=E_xi+E_yj+E_zk和B=B_xi+B_yj+B_zk的形式。
对于微小位移ds，我们可以将其表示为ds=dx·i+dy·j+dz·k。
将上述表达式代入功的计算式中，得到W=∫(q(E_xi+E_yj+E_zk)+q(v_xi+v_yj+v_zk)×(B_xi+B_yj+B_zk))·(dx·i+dy·j+dz·k)。
根据矢量积的性质，可以得到v×B=(v_yB_z-v_zB_y)i-(v_xB_z-v_zB_x)j+(v_xB_y-v_yB_x)k。
将其代入功的计算式中，得到W=∫(q(E_xi+E_yj+E_zk)+q((v_yB_z-v_zB_y)i-(v_xB_z-v_zB_x)j+(v_xB_y-v_yB_x)k))·(dx·i+dy·j+dz·k)。
冯慈璋马西奎工程电磁场导论课后重点习题解答解析
1—2—2、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。
(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为a 和b （a b >），每单位长度上电荷：内柱为τ而外柱为τ-。
解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为l 半径为r （b r a <<）且与同轴圆柱面共轴的圆柱体。
对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得l S D sτ=⋅⎰d考虑到此问题中的电通量均为r e即半径方向，所以电通量对圆柱体前后两个端面的积分为0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是l rD l τπ=2即 r e rD πτ2=， r e r E02πετ= 由此可得 a b r e e r r E U ba r rb aln 2d 2d 00⎰⎰επτ=⋅επτ=⋅=1—2—3、高压同轴线的最佳尺寸设计——高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为cm 2，内外导体间电介质的击穿场强为kV/cm 200。
内导体的半径为a ，其值可以自由选定但有一最佳值。
因为a 太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的E 会超过介质的击穿场强。
另一方面，由于E 的最大值m E 总是在内导体的表面上，当a 很小时，其表面的E 必定很大。
试问a 为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。
（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够脱离它的分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。
某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度）。
解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为τ，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为r E πετ2=， aE πετ2max = 而内外导体之间的电压为abr r r E U ba ba ln 2d 2d πετπετ⎰⎰===或 )ln(max ab aE U =0]1)[ln(a d d max =-+=abE U 即 01ln =-a b ， cm 736.0e==ba V)(1047.1102736.0ln 55max max ⨯=⨯⨯==ab aE U1—3—3、两种介质分界面为平面，已知014εε=，022εε=，且分界面一侧的电场强度V /m 1001=E ，其方向与分界面的法线成045的角，求分界面另一侧的电场强度2E 的值。
电磁场理论习题及答案8
习题7.1[]1 将下面用复数形式表示的场矢量变换为瞬时值，或做相反的变换。
()1 0x E e E = ()2 0jkz x E e jE e -=()3()()00cos 2sin x y E e E t kz e E t kz ωω=-+-解：()1 ()()00,,,Re cos x j j tx x x E x y z t e E e e e E t ϕωωϕ⎡⎤=⋅=+⎣⎦()2 ()200,,,Re cos 2j kz j t x x E x y z t e E ee e E t kz πωπω⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=⋅=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()3 ()()200,,,Re 2j t kz j t kz x y E x y z t e E e e E e πωω⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()0,,,2jkz x y E x y z t e e j E e -=-7.2[]1 将下列场矢量的复数形式写成瞬时值形式()1 ()()0sin sin z jk z z x y E e E k x k y e -=⋅⋅()2()sin 02sin cos cos z jk x x E e j E k e θθθ-=⋅⋅解：()1 由式()7.1.2，可得瞬时值形式为()()0Re sin sin z jk z j tz x y E e E k x k y e e ω-⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦()()()0sin sin cos z x y z e E k x k y t k z ω=⋅⋅-()2 瞬时值形式为()sin 20Re 2sin cos cos z j jk j t x x E e E k e e e πθωθθ-⎡⎤=⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦()02sin cos cos cos sin 2x x z e E k t k πθθωθ⎛⎫=⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭()()02sin cos cos sin sin x x z e E k t k θθωθ=-⋅⋅⋅-7.3[]2 一根半径为a ，出长度为L 的实心金属材料，载有均匀分布沿z 方向流动的恒定电流I 。
大学物理习题参考解答上电磁场理论_电磁感应习题课
的感应电动势，并判断感应电流的方向。
选取逆时针为回路绕行正方向，长圆柱外的磁场为零。
穿过回路 abcd 的磁通量为穿过图中面积 S 的磁通量：
B
(
1 2
R2
)
B
(
1 2
ab
Oa
cos
1 2
)
B
(
1 2
R2
)
1 2
B
(Oa 2
sin
)
6
R2B
3 Oa2B 4
根据法拉第电磁感应定律： Ei
d dt
计算题_18 图示
填空题_09 图示
10. 如图所示为一充电后的平行板电容器， A 板带正电， B 板带负电，当将开关 K 合上时， AB 板 之间的电场方向为 x 轴的正方向，位移电流的方向为 x 轴的负方向。 (按图所标 x 轴正方向来回答)
填空题_10 图示
填空题_11 图示
11. 如图所示， (1) 中是充电后切断电源的平行板电容器； (2) 中是一直与电源相接的电容器，当两
极板间距离相互靠近或分离时，试判断两种情况的极板间有无位移电流，并说明原因。
(1) 中：无位移电流，因为极板上的电荷分布不变，电场不随时间变化； (2) 中：在两极板间距离相互靠近或分离时，均有位移电流。因为在保持极板两端的电压不变
的前提下，极板距离的变化引起电容的变化和极板上电荷的变化，因此极板间的电场发生变化。位
S
D
dS
V
dV
，
L
E
dl
S
B t
dS
，
S
B
dS
0
，
J
D t
)
dS
四 计算题
电磁场与电磁波习题讲解
电磁场与电磁波习题讲解静电场的基本内容2.7 半径分别为a和b（a>b），球心距离为c（c<a-b）的两球面间均匀分布有体密度为ρV的电荷，如图所示。
求空间各区域的电通量密度。
解：由于两球面间的电荷不是球对称分布，不能直接用高斯定律求解。
但可把半径为b的小球面内看作同时具有体密度分别为±ρV的两种电荷分布，这样在半径为a的大球体内具有体密度为ρV的均匀电荷分布，而在半径为b的小球体内则具有体密度为－ρV的均匀电荷分布。
空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。
以球体a的球心为原点建立球坐标系，设场点为P(r)，场点到球体b球心的距离矢量为r’。
分三种情形讨论。
如果场点位于大球体外的区域，则大小球体产生的电场强度分别为如果场点位于大球体内的实心区域，则大小球体产生的电场强度分别为如果场点位于小球体内的空腔区域，则大小球体产生的电场强度分别为恒定电场的基本内容2.17一个有两层介质(ε1, ε2)的平行板电容器，两种介质的电导率分别为σ1和σ2，电容器极板的面积为S，如图所示。
在外加电压为U时，求：(1)电容器的电场强度；(2)两种介质分界面上表面的自由电荷密度；(3)电容器的漏电导；(4)当满足参数σ1ε2=σ2ε1时，问G/C=?（C为电容器电容）。
恒定磁场的基本内容4.4如果在半径为a，电流为I的无限长圆柱导体内有一个不同轴的半径为b的圆柱空腔，两轴线间距离为c，且c+b<a。
求空腔内的磁通密度。
解：将空腔中视为同时存在J和-J的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J、均匀分布在半径为a 的圆柱内，另一个电流密度为-J、均匀分布在半径为b的圆柱内。
由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。
首先，面电流密度为其次，设场点为P(r)，场点到圆柱a轴心的距离矢量为ρ，到圆柱b轴心的距离矢量为ρ’。
《电磁场与电磁波》课后习题解答(全)
第一章习题解答【习题1.1解】222222222222222222222222222222222222cos cos cos cos cos cos 1xx x y z yx y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 矢径r 与轴正向的夹角为，则同理，矢径r 与y 轴正向的夹角为，则矢径r 与z 轴正向的夹角为，则可得从而得证a a b b g g a b g =++=++=++++=++++++++++==++【习题1.2解】924331329(243)54(9)(243)236335x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z A B e e e e e e e e e A B e e e e e e e e e A B e e e e e e A B +=--+-+=-+=----+=---∙=--∙-+=+-=⨯（）（）－（）(9)(243)19124331514x y z x y z x y z x y ze e e e e e e e e e e e =--⨯-+=---=--+【习题1.3解】已知,38,x y z x y z A e be ce B e e e =++=-++ （1）要使A B ⊥，则须散度 0A B =所以从 1380A B b c =-++=可得：381b c += 即只要满足3b+8c=1就可以使向量和向量垂直。
（2）要使A B ，则须旋度 0A B ⨯= 所以从1(83)(8)(3)0138xy zx y z e e e A B b c b c e c e b e ⨯==--+++=- 可得 b=-3，c=-8 【习题1.4解】已知129x y z A e e e =++，x y B ae be =+，因为B A ⊥，所以应有0A B ∙= 即()()1291290xy z x y ee e ae be a b ++∙+=+= ⑴又因为 1B =; 所以221a b +=； ⑵由⑴，⑵ 解得 34,55a b =±=【习题1.5解】由矢量积运算规则123233112()()()x y zx y z x x y y z ze e e A Ca a a a z a y e a x a z e a y a x e xyzB e B e B e B =?=-+-+-=++取一线元：x y z dl e dx e dy e dz =++则有xy z xyz e e e dlB B B dx dy dzB ?=则矢量线所满足的微分方程为 x y zd x d y d z B B B == 或写成233112()dx dy dzk a z a y a x a z a y a x==---＝常数 求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法k xa a y a a z a d z a a x a a y a d y a a z a a x a d =-=-=-323132132231211)()()( （1）k x a y a z zdzz a x a y ydy y a z a x xdx =-=-=-)()()(211332 （2）由（1）（2）式可得)()(31211y a a x a a k x a d -=)()(21322z a a x a a k y a d -= （3） )()(32313x a a y a a k z a d -= )(32xy a xz a k xdx -=)(13yz a xy a k ydy -= （4）)(21xz a yz a k zdz -=对（3）（4）分别求和0)()()(321=++z a d y a d x a d 0)(321=++z a y a x a d0=++zdz ydy xdx 0)(222=++z y x d所以矢量线方程为1321k z a y a x a =++ 2222k z y x =++【习题1.6解】已知矢量场222()()(2)x y z A axz x e by xy e z z cxz xyz e =++++-+- 若 A 是一个无源场 ，则应有 div A =0即： div A =0y x zA A A A x y z∂∂∂∇⋅=++=∂∂∂ 因为 2x A axz x =+ 2y A by xy =+ 22z A z z cxz xyz =-+- 所以有div A =az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0 得 a=2, b= -1, c= - 2 【习题1.7解】设矢径 r 的方向与柱面垂直，并且矢径 r到柱面的距离相等（r ＝a ）所以，2sssr ds rds a ds a ah πΦ===⎰⎰⎰＝22a h π=【习题1.8解】已知23x y φ=,223yz A x yze xy e =+ 而 A A A A rot⨯∇+⨯∇=⨯∇=φφφφ)()(2222(6)3203xy zx y ze e e A xy x y e y e xyze x y z x yz xy ∂∂∂∇⨯==--+∂∂∂ 2223[(6)32]x y z A x y xy x y e y e xyze φ∴∇⨯=--+又y x z y xe x e xy ze y e x e 236+=∂∂+∂∂+∂∂=∇φφφφ 232233222630918603xy z x y z e e e A xyx x y e x y e x y ze x yz xy φ∇⨯==-+所以222()3[(6)32]x y z rot A A A x y xy x y e y e xyze φφφ=∇⨯+∇⨯=--+ +z y x e z y x e y x e y x 2332236189+-=]49)9[(3222z y x e xz e y e x x y x+--【习题1.9解】已知 222(2)(2)(22)x y zA y x z e x y z e x z y z e =++-+-+ 所以()()1144(22)0xyzyy x x z z x y z x yzx y z A A A A A A rot A A x y z y z z x x y A A A xz xz y y e e ee e e e e e ∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=∇⨯==-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭-++-+-=由于场A 的旋度处处等于0，所以矢量场A 为无旋场。
电磁场理论复习题(题库 答案)分析
第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A，则A= ，=⨯∇A 0 。
2.已知矢量场xz e xy e z y eA z y x ˆ4ˆ)(ˆ2+++=，则在M （1，1，1）处=⋅∇A9 。
3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A），则必须同时给定该场矢量的旋度 及 散度 。
4. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H、J 所满足的方程（结构方程）： 。
5.电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。
6. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B，则（a ）E 、B皆与A 垂直。
（b ）E 与A 垂直，B与A 平行。
（c ）E 与A 平行，B与A 垂直。
（d ）E 、B皆与A 平行。
答案：b7. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(ˆ0βz ωt E e E y -=，其中0E 、ω、β为常数。
则空间位移电流密度d J（A/m 2）为：（a ） )cos(ˆ0βz ωt E ey - （b ） )cos(ˆ0βz ωt ωE e y - （c ） )cos(ˆ00βz ωt E ωey -ε （d ） )cos(ˆ0βz ωt βE e y -- 答案：c8.已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度)(ˆ)(ˆ)(ˆy x e z x e z y e z y x +++++A ⋅∇A ⨯∇E J H B E D σ=μ=ε= , ,tqS d J S∂∂-=⋅⎰ t J ∂ρ∂-=⋅∇(V/m) 2cos ˆ0dxe E x πρ= ，其中0ρ、d 为常数。
则d x =处电荷体密度ρ为：（a ）d 04πρ-（b ）d 004ρπε- （c ）d 02πρ- （d ）d02ρπε- 答案：d9.已知半径为R 0球面内外为真空，电场强度分布为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>θ+θ<θ+θ-=θθ )R ( )sin ˆcos 2ˆ()R ( )sin ˆcos ˆ(20300r e e r B r e e R E r r 求（1）常数B ；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电荷密度。
电磁场思考与练习题答案
电磁场思考与练习题答案一、电磁场基本概念1. 列出麦克斯韦方程组的四个基本方程，并简要说明它们各自描述的物理现象。
2. 解释电场强度、磁场强度、电位移矢量、磁感应强度的定义及其单位。
3. 简述电磁场的物质性及其在能量传递中的作用。
4. 区分静电场、恒定电场和时变电场的特性。
5. 描述磁通量、磁感应线、磁通连续性原理的基本概念。
二、静电场问题1. 计算点电荷在空间某点的电场强度。
2. 画出等量同种电荷、等量异种电荷系统的电场线分布图。
3. 求解无限大平面电荷的电势分布。
4. 分析平行板电容器的电场强度、电势差与板间距、电荷量的关系。
5. 计算球形电容器的电容值。
三、恒定电场问题1. 画出均匀电场中导体和绝缘体的电场线分布。
2. 求解导体内部电场强度与电流密度的关系。
3. 计算直导线在空间某点的磁场强度。
4. 分析电流通过长直导线时，导线周围的磁感应线分布。
5. 求解无限长直导线产生的磁感应强度。
四、时变电磁场问题1. 描述时变电场和时变磁场的相互关系。
2. 计算矩形线圈在时变磁场中产生的感应电动势。
3. 画出螺线管内部的磁场分布。
4. 分析电磁波在真空中的传播速度和波长、频率的关系。
5. 求解电磁波在介质中的传播速度。
五、电磁场应用问题1. 计算电磁铁的磁感应强度与线圈匝数、电流的关系。
2. 分析变压器的工作原理及其电压、电流与匝数的关系。
3. 画出无线电发射天线和接收天线的电磁波传播示意图。
4. 讨论电磁波在通信领域的应用。
5. 简述电磁场在医疗设备中的应用。
六、电磁场数值计算问题1. 说明有限差分法和有限元法在电磁场计算中的应用。
2. 如何利用边界元法求解开放区域电磁场问题？3. 计算一个矩形波导中TE10模式下的电场和磁场分布。
4. 描述电磁场模拟软件的基本功能及其在工程中的应用。
5. 求解一个同心球坐标系中的拉普拉斯方程，以确定电势分布。
七、电磁兼容性问题1. 解释电磁干扰（EMI）的来源及其对电子设备的影响。
电磁场与电磁波课后习题问题详解(杨儒贵编着)(第二版)全套完整版
2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：)0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。
解 令321,,r r r 分别为三个电电荷的位置321,,P P P 到P 点的距离，则21=r ，32=r ，23=r 。
利用点电荷的场强公式r e E 204rq πε=，其中r e 为点电荷q 指向场点P 的单位矢量。
那么，1q 在P 点的场强大小为021011814πεπε==r q E ，方向为()z yr e ee +-=211。
2q 在P 点的场强大小为0220221214πεπε==r q E ，方向为()z y xr e e ee ++-=312。
3q 在P 点的场强大小为023033414πεπε==r q E ，方向为y r e e -=3则P 点的合成电场强度为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 0321πε2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为6102-⨯C ，相距为2cm ， 如习题图2-4所示。
试求：①P 点的电位；②将电量为6102-⨯C 的点电荷由无限远处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。
解 根据叠加原理，P 点的合成电位为()V 105.24260⨯=⨯=rq πεϕ因此，将电量为C 1026-⨯的点电荷由无限远处缓慢地移到P 点，外力必须做的功为()J 5==q W ϕ2-6 已知分布在半径为a 的半圆周上的电荷线密度πφφρρ≤≤=0 ,sin 0l ，试求圆心处的电场强度。
解 建立直角坐标，令线电荷位于xy 平面，且以y 轴为对称，如习题图2-6所示。
那么，点电荷l l d ρ在圆心处产生的电场强度具有两个分量E x 和E y 。
由于电荷分布以y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的y E 分量，即习题图2-4习题图2-6φπερsin 4d d d 20a lE E l y ==考虑到φρρφsin ,d d 0==l a l ，代入上式求得合成电场强度为y y aa e e E 0002008d sin 4ερφφπερπ==⎰2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=a r aqr a r r q, ,2r e E 试求球内外各点的电位。
电磁场理论基础答案解析
证明： f 0
证明：∵ xˆ yˆ zˆ
x y z
f f xˆ f yˆ f zˆ x y z
f xˆ yˆ zˆ (f xˆ f yˆ f zˆ)
x y z x y z
2 f xˆ yˆ 2 f xˆ zˆ 2 f yˆ xˆ 2 f yˆ zˆ 2 f zˆ xˆ 2 f zˆ yˆ
R Rˆ
R3
R2
得证
1-5
在球坐标系中，已知
P cos 4 0r 2
，其中
试求此标量场的负梯度构成的矢量场，即
P、0 为常数。
E
。
解： ∵ 在球坐标系中
rˆ 1 ˆ 1 ˆ r r r sin
P cos 4 0
(2r 3 )rˆ
P( sin
4 0r
2
)
ˆ
P cos 2 0r3
R2 a2 z2
Rˆ R r r zzˆ arˆ
RR
a2 z2
E
Rˆ
l a 4 0 R
2
d
2
l a
0 40 (a2 z2 )
zzˆ arˆ d
a2 z2
l az
20
(a2
z2
3
)2
2-2 求半径为 a电量为 Q 的均匀带电球面所产生的
电位、电场强度。
Q
解： 先求电场强度：
qb 2 e br
(r
0)
r
设 r 0 处有电荷 q 存在，空间中的场 (r) qebr 是由 和
r
q 共同作用产生的。即：
SE
dS
Q
1
(V
dV
q)
电磁场理论习题解答
电磁场理论习题解答信息科学技术学院第1章习题答案1-1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。
解：在直角坐标系中矢量D 的散度运算如下：()z D y D x D D D D z y x z y x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅⋅k j i k j i D (1) 因此，高斯通量定理和磁通连续性原理分别是两个标量方程：0 , =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂zB y B x Bz D y D x D z y x z y x ρ (2) 在直角坐标系中矢量E 的旋度运算如下：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇y E x E x E z E z E y E E E E z y x x y z x y z zy x k j i kj i E (3) 法拉第电磁感应定律可以写成3个标量方程：tBy E x E t B x E z E t B z E y E z x y y z x x y z ∂∂-=∂∂-∂∂∂∂-=∂∂-∂∂∂∂-=∂∂-∂∂ ，， (4) 全电流定律也可以写成3个标量方程：tH J y H x H t D J x H z H t D J z H y H zz x y y y z x x x y z ∂∂+=∂∂-∂∂∂∂+=∂∂-∂∂∂∂+=∂∂-∂∂ ，， (5) 共8个标量方程。
1-2 试证明：任意矢量E 在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即∇ ⋅ (∇ ⨯ E ) = 0 (1)证明：设A 为任意矢量场函数，由题1-1式(3)可知，在直角坐标系中，它的旋度为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=⨯∇y E x E x E z E z E y E x y zx y z k j i E (2) 再对上式进行散度运算0)(222222=∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂=⨯∇∇⋅zy E x z E y x E z y E x z E y x E y E x E z x E z E y z E y E x x y z x y z x y z x y z E (3)得证。
电磁场理论习题及答案6解读
1. 在3z m =的平面内，长度0.5l m =的导线沿x 轴方向排列。
当该导线以速度24x y m v e e s=+在磁感应强度22363x y z B e x z e e xz T =+-的磁场中移动时，求感应电动势。
2.长度为l 的细导体棒位于xy 平面内，其一端固定在坐标原点。
当其在恒定磁场0z B e B =中以角速度ω旋转时，求导体棒中的感应电动势。
3.试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。
4.试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程J tρ∂∇⋅=-∂。
5.设真空中电荷量为q 的点电荷以速度()v vc 向正z 方向匀速运动，在0t =时刻经过坐标原点，计算任一点位移电流密度（不考虑滞后效应）。
R6.已知自由空间的磁场为0cos()/y H e H t kz A m ω=-式中的0H 、ω、k 为常数，试求位移电流密度和电场强度。
7. 由麦克斯韦方程出发，试导出静电场中点电荷的电场强度和泊松方程。
8.由麦克斯韦方程组出发，导出毕奥-萨伐尔定律。
9.如图所示，同轴电缆的内导体半径1a mm =，外导体内半径4b mm =，内、外导体间为空气介质，且电场强度为 8100cos(100.5)/r E e t z V m r=- （1）求磁场强度H 的表达式 （2）求内导体表面的电流密度； （3）计算01Z m ≤≤中的位移电流。
10.试由麦克斯韦方程组中的两个旋度方程和电流连续性方程，导出麦克斯韦方程组中的两个散度方程。
11.如图所示，两种理想介质，介电常数分别为1ε和2ε，分界面上没有自由电荷。
在分界面上，静电场电力线在介质2,1中与分界面法线的夹角分别为1α和2α。
求1α和2α之间的关系。
12.写出在空气和∞=μ的理想磁介质之间分界面上的边界条件。
13.在由理想导电壁)(∞=r 限定的区域a x ≤≤0内存在一个由以下各式表示的电磁场：)cos()cos()sin()sin()()sin()sin()(000t kz axH H t kz a xa k H H t kz a xa H E z x y ωπωππωππμω-=-=-=这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？14.设电场强度和磁场强度分别为)cos()cos(00m e t H t E ψωψω+=+=证明其坡印廷矢量的平均值为)cos(2100m e av H E S ψψ-⨯=15.一个真空中存在的电磁场为0sin x E e jE kz = 0cos H e E kz ε= 其中2//k c πλω==是波长。
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思考与练习一1．证明矢量3ˆ2ˆˆz y x e e e-+=A 和z y x e e e ˆˆˆ++=B 相互垂直。
2. 已知矢量 1.55.8z y e ˆeˆ+=A 和4936z y e ˆ.e ˆ+-=B ，求两矢量的夹角。
3. 如果0=++z z y y x x B A B A B A ，证明矢量A 和B 处处垂直。
4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的一般表达式。
5．根据算符∇的与矢量性，推导下列公式：()()()()B A B A A B A B B A ∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇)(()()A A A A A 2∇⋅-∇=⨯∇⨯21 []H E E H H E ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇6．设u 是空间坐标z ,y ,x 的函数，证明：u du df u f ∇=∇)(， ()du d u u A A ⋅∇=⋅∇， ()dud u u A A ⨯∇=⨯∇，()[]0=⨯∇⋅∇z ,y ,x A 。
7．设222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-='-=r r 为源点x '到场点x 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点。
证明下列结果，R R R R =∇'-=∇， 311R R R R-=∇'-=∇，03=⨯∇R R ，033=⋅∇'-=⋅∇RR R R )0(≠R （最后一式在0=R 点不成立）。
8. 求[])sin(0r k E ⋅⋅∇及[])sin(0r k E ⋅⨯∇，其中0E a ,为常矢量。
9. 应用高斯定理证明 ⎰⎰⨯=⨯∇v sd dV f s f ，应用斯克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯s Ldl dS ϕϕ。
10.证明Gauss 积分公式[]⎰⎰⎰⎰⎰∇+∇⋅∇=⋅∇s Vdv d ψφψφψφ2s 。
11.导出在任意正交曲线坐标系中()321q ,q ,q F ⋅∇、()[]321q ,q ,q F ⋅∇∇、()3212q ,q ,q f ∇的表达式。
12. 从梯度、散度和旋度的定义出发，简述它们的意义，比较它们的差别，导出它们在正交曲线坐标系中的表达式。
1. 证明均匀线电荷密度圆环在圆环平面内任意点的电场强度为零。
求圆环平面外任意点的电场的表达式。
2. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介电常数为ε，使介质内均匀带静止自由电荷密度为f ρ，求空间电场及极化体电荷和极化面电荷分布。
3. 已知一个电荷系统偶极矩定义为⎰'''=VV d )t ,t r r P ()(ρ，利用电荷守恒定律证明P 的变化率为⎰''=V V d t ,dt d )(r J P 。
4. 内外半径分别为1r 和2r 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流f J ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。
5. 证明均匀介质内极化电荷密度p ρ等于自由电荷密度f ρ的⎪⎭⎫ ⎝⎛εε01－－倍。
6. 简述Maxwell 方程组各式所对应的实验定律，式中各项的物理意义。
为什么说Maxwell 方程组预言了电磁场具有波动的运动形式。
7. 利用Maxwell 方程组，导出电荷守恒定律的表达式。
8. 何谓位移电流，说明位移电流的物理实质及意义，比较传导电流和位移电流之间的异同点。
9. 证明Maxwell 方程组的四个方程中只有两个是独立的，利用两个独立方程组导出电磁场的波动方程。
10. 利用电磁场与介质相互作用的机理，分析介质在电磁场中的性质，并根据介所表现出的质宏观特性进行分类。
11. 证明当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场力线的曲折满足1212tan tan εεθθ=，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
12. 假设自然界存在磁荷，磁荷的运动形成磁流。
又假设磁荷产生磁场同电荷产生电场满足同样的实验定律；磁流产生电场同电流产生磁场满足同样的实验定律。
请导出在这一假设前提下的Maxwell 方程组表达式。
1. 利用电场Gauss 定律分别求电荷面密度为s ρ的无穷大导体板和半无穷大导体在上半空间导体平面附近产生的电场，比较所得到结果的差别。
你能从这一差别中得到什么结论。
（a ） 无穷大导体薄板 （b ）半无穷大导体2. 求如图所示的一同轴线如图所示，内外导体的半径分别为a 和b ，将其与电压为V 电源相连接，内导体上的电流强度为I 。
求同轴线内电场和磁场的分布，计算穿过两导体间常数=φ平面单位长度上的磁通量。
3. 证明在无电荷分布的区域，电位既不能达到极大值，也不能达到极小值。
4. 平行板电容器内有两层介质，厚度分别为l 1和l 2，介电常数为1ε和2ε，今在两板极接入电动势ε为的电池，求（1）电容器两板上的自由电荷面密度f ω；（2）介质分界面上的自由电荷面密度f ω。
若介质是漏电的，电导率分别为1σ和2σ，当电流达到恒定时，上述两个结果如何？5. 电位函数在理想导体边界上有两种表述形式：（1）（常数）0φφ=；（2）s nρφε=∂∂-。
指出这两个边界条件所对应的物理模型和导体所处的状态。
6. 一长为l 的圆筒形电容器，内外半径分别为a 和b ，两导体之间充满了介电常数为ε的介质。
（1）当电容器带电荷量Q 时，忽略边缘效应，求电容器内电场的分布；（2）求电容器的电容；（3）假设将电容器接到电压为V 电源上，并且电容器内介质被部分的拉出电容器，忽略边缘效应，求介质受到的作用力的大小和方向。
7. 比较恒定电流的电场与静电场的异同点，证明当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场力线的曲折满足1212tan tan σσθθ=，其中1σ和2σ分别为两种介质的电导率。
8. 面偶极层为带等量正负面电荷密度σ±而靠得很近的两个面所形成面偶极层，定义为：l P σσ0lim →∞→=l 。
证明下述结果：（1）在面电荷两侧，电位法向微商有跃变，而电位是连续的。
（2）在面偶极层两侧，电位有跃变P ⋅=-n ˆ0121εφφ。
而电位法向微商是连续的。
9. 证明在试用A 表示一个沿z 方向的均匀恒定磁场B 0，写出A 的两种不同表示式，证明二者之差为无旋矢量场。
10. 证明两载有恒定电流的闭合线圈之间的相互作用力的大小相等，方向相反（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）。
11. 已知某个磁场的磁矢势20B e ˆρφ＝A ，其中B 0是常数。
证明该磁场是均匀的。
12. 在什么样的情况下，可以用磁标位描述磁场，磁标位满足什么样的方程和边界条件。
13. 电阻、电容和电感是电路理论中基本元件，它们反应的是什么特性参数，表达了导电介质和导体系统的什么性质。
14. 总结静电场、恒定电流电场和恒定电流磁场的基本性质，分析它们性质的异同点。
思考为什么静态电磁场（包括静电场、恒定电流电场和恒定电流磁场）满足同样类型的数学物理方程。
思考与练习四1. 设有无穷长的线电流I 沿z 轴流动，在Z<0的空间内充满磁导率为μ的均匀介质，Z>0的区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度B ，然后求出磁化电流分布。
2. 总结分离变量方法的基本步骤，讨论分离变量方法应用的前提，分析分离变量方法的基本思想，概括分离变量方法的实质，归纳常用的三个坐标系中分离变量方法的基本方程。
3. 在均匀外电场中置入半径为a 的导体球，用分离变量法求导体球上电势0Φ和导体球带总电荷Q 两种情况下的电位函数（设未置入导体球前坐标原点的电位为0ϕ）。
4. 在很大的电解槽中充满电导率为2σ的液体，使其中流有均匀的电流0f J ，今在液体中置入一个电导率为1σ的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布，讨论21σσ>>及12σσ>>两种情况的电流分布的特点。
5. 在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸部（如图），半球的球心在导体平面上，点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为)(a b b >，试用镜象法求空间电位。
V 0＝0第6题图 第7题图6. 如图所示，求解两同轴圆锥面之间区域内电场分布。
已知外圆锥面的电位为零，内圆锥面的电位为V 0。
在两圆锥的顶点绝缘。
7. 一块极化介质的极化矢量为()r p '，根据电偶极子静电位的公式，极化介质所产生的电位为()V d rV '⋅'=⎰3041r r p πεϕ，另外，根据极化电荷公式()r P '⋅∇'-=P ρ及P ⋅=nˆp σ，极化介质所产生的电势又可表为()()⎰⎰'⋅'+''⋅∇'-=s V rd V d r 0044πεπεϕS r P r P 证明以上两式是等同的。
8. 简述Green 函数方法的基本思想，证明静电场的电位可以表示为：()()()()()s d n ,g n ,g dV ,g s v '⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂'∂-'∂∂'+''=⎰⎰⎰r r r r r r r r φφερφ0 上述公式中()r r ',g 为Green 函数。
分析上式右边三项来自何种物理量的贡献。
如何理解这三种物理量对静电场的贡献是一致的。
9. 简述镜象法的基本原理，归纳镜象法的基本原则，思虑镜象法的应用条件。
用镜象法求接地导体圆柱壳(半径为R )内线电荷源在圆柱内部空间的电位。
设线电荷密度为f ρ,位于圆柱空间内()R a a <。
10.接地的空心导体的内外半径为1R 和2R ，在球内离球心为)(1R a a <处置一点电荷Q ，用镜象法求电势，导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是在外表？12. 一无穷大接地导体平面外有一电偶极矩P ，P 到导体平面的距离为a ，与导体平面法线方向的夹角为θ，如图所示。
求电偶极矩P 所受到的作用力。
13. 有一个内外半径为1R 和2R 的空心球，位于均匀外磁场0H 内，球的磁导率为μ，求空腔内的场B ，讨论0μμ>>时的磁屏蔽作用。
14. 将解析函数的性质与静电场性质进行比较，分析解析函数表示静电场的可能性。
应用解析函数方法求无穷长导体条横截面积内电位的分布。
已知导体条的电位为V 0。
x思考与练习五1. 若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋（纵场）和无散（横场）两部分，导出E 和B 的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。
2. 利用Maxwell 方程组导出线性均匀各向同性介质中电磁波方程，求出电磁波在介质中传播的速度表达式。
简述所得结果与经典物理学之间的矛盾。