高考数学一轮复习-5.36 数列模型及数列的综合应用课件 理

016 017
＝log2 0172 0117＝－1.
3.数列{ak}共有11项，a1＝0，a11＝4，且|ak＋1－ak| ＝1，k＝1，2，…，10.满足这种条件的不同数列的
个数为( B )
A.100
B.120
C.140
D.160
【解析】∵|ak＋1－ak|＝1，∴ak＋1－ak＝1或ak＋1－ ak＝－1.
2．解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将 实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是
什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 3．数学应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量
(2)方法一：由题设，gn(x)＝（n＋1）2（1＋xn）.
设h(x)＝fn(x)－gn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn－
（n＋1）2（1＋xn），x＞0.
当x＝1时，fn(x)＝gn(x). 当x≠1时，h′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1－
n（n＋1）xn－1
2
.
若0＜x＜1，h′(x)＞xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－ n（n2＋1）·xn－1＝n（n2＋1）xn－1－n（n2＋1）xn－1＝0.
两式相减得 23Sn＝－[－1＋2×13＋2×132＋…＋2×13n－1 －(2n－3)13n]＝2n·13n 故Sn＝n·13n－1.
【点评】点列问题的题设情境是按某种规律或方
法形成一系列点，因此应依其规律或方法去探究其点
的横坐标与纵坐标的递推关系或通项公式.
四、函数、数列与不等式综合问题
例4 设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项 和，其中x>0，n∈N，n≥2.
时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个
固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公 比．
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间 的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an 与 an＋1 的递推关系，还是 Sn 与 Sn＋1 之间的递推关系．
则Fn(1)＝n－1＞0，
Fn12＝1＋12＋122＋…＋12n－2 ＝1－112－n12＋1－2＝－21n＜0，
所以Fn(x)在12，1内至少存在一个零点. 又F′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，故Fn(x)在
12，1 内单调递增，所以Fn(x)在 12，1 内有且仅有一 个零点xn.
因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)＝0， 即11－－xxnn＋n 1－2＝0，故xn＝12＋12xnn＋1.
5π 6
、
7π 6
，此时可求得m＝cos
5π6 ＝－ 23；
若x3，x4分布在x1，x2的两侧，则公差d＝
3π 2
－
π 2 ＝π，
故x3，x4分别为－π2 、5π2 ，不合题意.故选D.
5.设等比数列
a
n
满足公比q∈N*，an∈N*，且
a
n
中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1＝281， 则q的所有可能取值的集合为 {2，23，29，227，281} .
(1)证明：函数Fn(x)＝fn(x)－2在 12，1 内有且仅 有一个零点(记为xn)，且xn＝12＋12xnn＋1；
(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项 数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x) 和gn(x)的大小，并加以证明.
【解析】(1)Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn －2，
∴
O O
n
n＋1
＝
O A n
－
O A
n＋1
＝
2(Rn
－
Rn
＋
1)
＝
Rn
＋Rn＋1，即 Rn＋1＝13Rn
∴数列{Rn}是首项为 3，公比为13的等比数列， ∴Rn＝ 3·13n－1＝13n－32 记bn＝ 33Rn·log 3Rn＝13n－1·log 313n－32 ＝－(2n－3)13n－1 Sn＝－－1＋1×13＋3×132＋…＋（2n－3）13n－1 13Sn＝－－1×13＋1×132＋…＋（2n－3）13n
【解析】根据题意得对任意n1，n2∈N*有
n∈N*，使an＝an1an2⇒281qn－1＝281qn1－1·281qn2－
1，即q＝2
81 n－n1－n2＋1
，因为q∈N*，所以
81 n－n1－n2＋1
是正整数1、3、9、27、81，q的所有可
Baidu Nhomakorabea
能取值的集合为{2，23，29，227，281}.
【知识要点】 1．数列综合问题中应用的数学思想 (1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公 式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1， 2，…，n}上的函数． (2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列 基本量的方程． (3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为 等差、等比数列来研究． (4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一 般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等．
若x＞1，h′(x)＜xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－ n（n2＋1）·xn－1＝n（n2＋1）xn－1－n（n2＋1）xn－1＝0.
所以h(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，
所以h(x)＜h(1)＝0，即fn(x)＜gn(x). 综上所述，当x＝1时，fn(x)＝gn(x)； 当x≠1时，fn(x)＜gn(x).
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投
入，因此Bn－An＞0，即1 60054n－1 600－4 000＋
4 00045n＞0，
化简得2
5 4
n
＋5
4 5
n
－7＞0，设
5 4
n
＝x，代入上
式得，2x2－7x＋5＞0，
解此不等式，得x＞
5 2
，或x＜1(舍去)，即
5 4
n
＞
52，两边取对数得nlg 54＞lg 52，n＞11－－32llgg 22≈4.103，
那么，当n＝k＋1时，
fk＋1(x)＝fk(x)＋xk＋1＜gk(x)＋xk＋1＝ （k＋1）2（1＋xk）＋xk＋1＝2xk＋1＋（k＋21）xk＋k＋1.
又gk＋1(x)－2xk＋1＋（k＋21）xk＋k＋1 ＝kxk＋1－（k＋1）xk＋1，
2 令hk(x)＝kxk＋1－(k＋1)xk＋1(x＞0)， 则h′k(x)＝k(k＋1)xk－k(k＋1)xk－1 ＝k(k＋1)xk－1(x－1).
年会比上年增加14. (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为An万元，
旅游业总收入为Bn万元，写出An和Bn的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总
投入？(lg 2≈0.301)
【解析】(1)第一年投入为800万元，第二年投入
为800× 1－15 万元，…，第n年的投入为800 1－15 n－1万元.所以n年内的总投入为：
An＝800＋800×1－15＋…＋8001－15n－1 ＝4 000－4 000×45n； 第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收
入为400×1＋14万元，…，
第n年旅游业收入为400 1＋14 n－1 万元.所以，n 年内的旅游业总收入为
Bn＝400＋400×1＋14＋…＋4001＋14n－1 ＝1 60054n－1 600.
3
3
Rn• log
3Rn的前 n 项和 Sn.
【解析】(1)∵R1＝
23 12＋（
3）2＝
3，
∴圆 O1 的方程为 x2＋y2＝3.
(2)如图，依题意知 tan∠OnABn＝ 33，
∴sin∠OnABn＝12，
∴OnA＝2OnBn＝2Rn，同理On＋1A＝2Rn＋1，
∵圆 On 和圆 On＋1 相外切，
②
由①②得，
2（n1＋2）≤Snn≤2（n1＋1）(n∈N*).
二、数列模型实际应用问题 例2 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金 进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规 划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减
少 15 ，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项 建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每
方法二：由题设，fn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn， gn(x)＝（n＋1）2（xn＋1），x＞0. 当x＝1时，fn(x)＝gn(x). 当x≠1时，用数学归纳法可以证明fn(x)＜gn(x).
①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－12(1－x)2＜0， 所以f2(x)＜g2(x)成立.
②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即fk(x)＜gk(x).
所以当0＜x＜1时，h′k(x)＜0，hk(x)在(0，1)上 递减；
当x＞1时，h′k(x)＞0，hk(x)在(1，＋∞)上递增. 所以hk(x)＞hk(1)＝0， 从而gk＋1(x)＞2xk＋1＋（k＋21）xk＋k＋1. 故fk＋1(x)＜gk＋1(x)，即n＝k＋1时不等式也成立. 由①和②知，对一切n≥2的整数，都有fn(x)＜
设有x个1，则有10－x个－1，
∴a11－a1＝(a11－a10)＋(a10－a9)＋…＋(a2－a1)， ∴4＝x＋(10－x)·(－1)，∴x＝7， ∴这样的数列个数有C710＝120.故选B.
4.已知函数fx＝cos x，x∈0，2π有两个不同的
零点x1，x2，且方程f
x
＝m
m≠0
有两个不同的实根
x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数
列，则实数m＝( D )
1 A.2
B.－12
3 C. 2
D.－
3 2
【解析】由题意可知：x1＝π2 ，x2＝3π2 ，且x3，
x4只能分布在x1，x2的中间或两侧，
若x3，x4分布在x1，x2的中间，则公差d＝ 3π2 －3 π2 ＝π3 ，
故x3，x4分别为
A.－1 B.1 C.2 016
D.2 017
【解析】因为y′＝
n＋1
xn，所以在x＝1处的切线斜
率为n＋1，则切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得
xn＝n＋n 1，所以log2 017x1＋log2 017x2＋…＋log2 017x2 016
＝log2
01712×23×34×…×22
A.15
B.31
C.32
D.51
【解析】由题意得a1＝1，a3＝4，公比q＝2，所 以S5＝a1（11－－qq5）＝31，故选B.
2.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点1，1处的切线与x轴
的交点的横坐标为xn，则log2 017x1＋log2 017x2＋…＋
log2 017x2 016的值为( A )
aan＋n 1＝an－ana2n＝1－1an∈[1，2]，
故1≤aan＋n 1≤2.
(2)由题意得a2n＝an－an＋1，
所以Sn＝a1－an＋1. ①
由an1＋1－a1n＝aan＋n 1和1≤aan＋n 1≤2得
1≤an1＋1－a1n≤2，
所以n≤an1＋1－a11≤2n，
因此2（n1＋1）≤an＋1≤n＋1 2(n∈N*).
第36讲 数列模型及数列的综合应用
【学习目标】 1．会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析 几何相结合的数列综合题． 2．掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题 的方法．
【基础检测】
1.已知等比数列{an}是递增数列，Sn是数列{an}的 前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则 S5等于( B )
例3设 O1，O2…On…是坐标 平面上圆心在 x 轴非负半轴上的
一列圆(其中 O1 为坐标原点)，且 圆 On 和圆 On＋1 相外切，并均与 直线 x＋ 3y－2 3＝0 相切，记
圆 On 的半径为 Rn. (1)求圆 O1 的方程; (2) 求 数 列 {Rn} 的 通 项 公 式 ， 并 求 数 列
由此得n≥5.
答：至少经过5年，旅游业的总收入能超过总投
入.
【点评】将实际问题转化为数列问题的一般步骤 是：①审题，②建模，③求解，④检验，⑤作答；增 长率模型是比较典型的等比数列模型，实际生活中的 银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效 率、浓度问题等常常利用增长率模型加以解决.
三、点列问题
一、数列与不等式综合问题
例1
已知数列{an}满足a1＝
1 2
且an＋1＝an－a
2 n
(n∈N*).
(1)证明：1≤aan＋n 1≤2(n∈N*)；
(2)设数列{a
2 n
}的前n项和为Sn，证明：
1 2（n＋2）
≤Snn≤2（n1＋1）(n∈N*).
【解析】(1)由题意得an＋1－an＝－a2n≤0， 即an＋1≤an， 故an≤12. 当n≥2时，由an＝(1－an－1)an－1得， an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1>0. 由0<an≤12得，