2018年高考考点完全题数学文考点通关练习题 第三章 三

考点测试20 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质
一、基础小题
1．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平行移动π
10
个单位长度，所得图象的函数解析式是( )
A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10
B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5
D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －π10 答案 B
解析 将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y ＝sin 12x ，再把所得各点向右平行移动π
10
个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝
sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20.故选B.
2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减，
则ω＝( )
A.23
B.3
2 C ．2 D ．
3 答案 B
解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )
的周期T ＝4π3，从而ω＝3
2
.
3．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )
的解析式为( )
A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4
B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4
C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4
D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4 答案 A
解析 由题图可知，函数y ＝f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π8－π8×4＝π，所以ω
＝2，又函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋π4，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选A.
4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )
A ．2－ 3
B ．0
C ．－1
D ．－1－ 3 答案 A
解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π
6，
∴－
32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6
x －π3≤2，
∴函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 5．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π
4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相
邻的对称轴，则φ＝( )
A.
π4 B.π3 C.π2 D.3π
4
答案 A
解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝
⎛⎭⎪⎫5π4
－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x
＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π
4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴
φ＝π
4
.
6．已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则( ) A ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，0对称 B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π
3
对称
C ．函数f (x )的图象向右平移π
3个单位后，图象关于原点对称
D ．函数f (x )在区间(0，π)内单调递增 答案 C
解析 因为函数的周期T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π6.当x ＝π3时，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
12×π3＋π6
＝sin π3＝
32，所以A 、B 错误．将函数f (x )的图象向右平移π
3
个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin x 2的图象，关于原点对称，所以C 正确．由－π2＋
2k π≤12x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－4π3＋4k π≤x ≤2π
3
＋4k π(k ∈Z )，所以f (x )＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡ －4π
3
＋4k π，
⎦
⎥⎤2π
3＋4k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区
间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3
，2π3，所以D 错误．故选C.
7．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，
且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )
C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C
解析 由f (x )＝sin(2x ＋φ)，且f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，即
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×π6＋φ＝±1.
∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π
6
(k ∈Z )． 又f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2>f (π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.
∴对于φ＝k π＋π
6(k ∈Z )，k 为奇数．
∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋k π＋π6 ＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
∴由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π
3(k ∈Z )，
∴f (x )的单调递增区间是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．
8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝
________.
答案 ±2
解析 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x ，则其对称轴为x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝±2.
二、高考小题
9．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )
A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4
B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3
C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4
D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3 答案 D
解析 该函数的周期为π，将其图象向右平移π
4个单位后，得到的图象对应的函数为y
＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.
10．为了得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )
A ．向左平行移动π
3个单位长度
B ．向右平行移动π
3个单位长度
C ．向上平行移动π
3个单位长度
D ．向下平行移动π
3个单位长度
答案 A
解析 根据“左加右减”的原则可知，把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度可得y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．故选A.
11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6
B ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3 答案 A
解析 由图易知A ＝2，因为周期T 满足T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，所以T ＝π，ω＝2π
T
＝2.由x
＝π3时，y ＝2，可知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π
6＋2k π(k ∈Z )，结合选项可知函数解析式为y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6.
12．已知函数f (x )＝sin
2
ωx 2＋12sin ωx －1
2
(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1
C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，58 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，58 答案 D
解析 f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －1
2
＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫ωx －π4，
∵x ∈(π，2π)，ω>0，∴ωx －π4∈⎝
⎛
⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，
∵f (x )在区间(π，2π)内没有零点，∴有以下两种情况： ①⎝
⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4⊆(2k π，2k π＋π)，k ∈Z ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧
ωπ－π
4≥2k π，2ωπ－π
4
≤2k π＋π，k ∈Z ，
得ω∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋14，k ＋58，k ∈Z ，
当k ＝0时，ω∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，58；
②⎝
⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4⊆(2k π＋π，2k π＋2π)，k ∈Z ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧
ωπ－π
4≥2k π＋π，2ωπ－π
4
≤2k π＋2π，k ∈Z ，
得ω∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋54，k ＋98，k ∈Z ，
当k ＝－1时，ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，18，又ω>0，∴ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18.
综上，ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，58，故选D.
13．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．
答案
π
3
解析 函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向
右平移π
3
个单位长度得到．
三、模拟小题
14．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，为了得到函数g (x )＝A sin ωx 的图象，只需要将y ＝f (x )的图象( )
A ．向左平移π
3个单位长度
B ．向右平移π
3个单位长度
C ．向左平移π
6个单位长度
D ．向右平移π
6个单位长度
答案 D
解析 根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π
2
)的部分图象，可得A ＝2，
T 4＝2π
ω·14＝π3－π12，求得ω＝2.再根据五点法作图可得2·π12＋φ＝π2，求得φ＝π
3
，∴f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π3，g (x )＝2sin2x ，故把f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π3
的图象向右平移π6
个单位长
度，可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin2x 的图象，故选D.
15．将函数y ＝cos2x 的图象向左平移π
4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，
则f (x )的表达式可以是( )
A ．f (x )＝－2sin x
B ．f (x )＝2sin x
C ．f (x )＝2
2
sin2x D ．f (x )＝
2
2
(sin2x ＋cos2x ) 答案 A
解析 由题意得，将函数y ＝cos2x 的图象向左平移π
4
个单位长度后，所得图象对应的
函数解析式为y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ＝－2sin x ·cos x ，故f (x )的表达式
可以是f (x )＝－2sin x ，故选A.
16．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，
则f (x )图象的一个对称中心是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2π3，0
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3，0
C.⎝
⎛⎭⎪⎫2π3，0
D.⎝
⎛⎭
⎪⎫5π3，0
答案 A
解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，∴12×π3＋
φ＝π2＋2m π(m ∈Z )，即φ＝π3＋2m π(m ∈Z )．由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.
令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为(2k π－2π
3
，0)(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2π3，0，故选A.
17．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在区间
⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π2上递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C ．6 D ．5 答案 B
解析 ∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，∴f π6＋π
22＝0，∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，∴f π6＋π
22＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3ω＋π3＝0，∴π3ω＋
π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π
6
，ω>0，∴ω＝2.
18． 如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(
其中A >0，ω>0，
⎭
⎪⎫|φ|≤π
2与坐标轴的三
个交点P 、Q 、R 满足P (1,0)，∠PQR ＝π
4
，M (2，－2)为线段QR 的中点，则A 的值为( )
A ．2 3 B.733 C.83
3 D ．
4 3
答案 C
解析 依题意得，点Q 的横坐标是4，R 的纵坐标是－4，T ＝2πω＝2|PQ |＝6，ω＝π
3
，
A sin φ＝－4.f ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋42＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×52＋φ＝A >0，即sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6＋φ＝1.又|φ|≤π2，π3≤5π
6＋φ≤4π3，因此5π6＋φ＝π2，φ＝－π3，A sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＝－4，A ＝833，选C.
19．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当
x ＝
2π
3
时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2) C ．f (－2)<f (0)<f (2) D ．f (2)<f (0)<f (－2)
答案 A
解析 ∵ω>0，∴T ＝2π
ω＝π，∴ω＝2.又A >0，
∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3＝－A ，即sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋3π2，k ∈Z ，即φ＝2k π
＋π
6
，k ∈Z ， 又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4＋π6，
f (－2)＝A sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
－4＋π6
，f (0)＝A sin π6
.
∵π<4＋π6<3π
2，∴f (2)<0.
∵－
7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，－π上为减函数，∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－4＋π6<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有
f (2)<f (－2)<f (0)．
一、高考大题
1．设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2
. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6的值．
解 (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2
x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos2x )＋sin2x －1 ＝sin2x －3cos2x ＋3－1 ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12(k ∈Z )．
所以f (x )的单调递增区间是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．
⎝ ⎛⎭
⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12 k ∈Z
(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1.
把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象，
再把得到的图象向左平移π
3个单位，
得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，
即g (x )＝2sin x ＋3－1.
所以g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 2．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内
的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；
(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝
⎛⎭
⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．
解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6.
数据补全如下表：
且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π
6＝k π，k ∈Z ，
解得x ＝
k π
2
＋
π
12
－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝
⎛⎭
⎪
⎫5π12，0成中心对称，
所以令
k π
2＋π12－θ＝5π
12
，k ∈Z ， 解得θ＝
k π
2－π
3
，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π
6
.
3．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．
解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2π
T
＝2.
又因为f (x )的图象关于直线x ＝π
3对称，
所以2·π3＋φ＝k π＋π
2，k ＝0，±1，±2，….
因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π
6.
(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.
由π6<α<2π3得，0<α－π6<π
2， 所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝
1－sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫142
＝154.
因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.
二、模拟大题
4．已知函数f (x )＝12sin ωx ＋3
2
cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间上的图象；
(2)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？ 解 (1)函数可化为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 因为T ＝π，所以2π
ω＝π，即ω＝2，
所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 列表如下：
(2)将函数y ＝sin x (x ∈R )图象上的所有点向左平移
π
3
个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，
可得函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的图象．
5．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示．
(1)写出φ及图中x 0的值；
(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡ －1
2
，
⎦
⎥⎤
13上的最大值和最小值．
解 (1)因为
32＝cos(0＋φ)，0<φ<π2，所以φ＝π6
， 因为
32＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6，所以2π－π6＝πx 0＋π6，
可得x 0＝5
3
.
(2)由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6
＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx . 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx
＝cos πx cos π6－sin πx sin π
6－sin πx
＝
32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －3
2
sin πx
＝3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π3. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13，所以－π6≤πx ＋π3≤2π3，所以当πx ＋π3＝0，即x ＝－13时，g (x )
取得最大值3；当πx ＋π3＝2π3，即x ＝13时，g (x )取得最小值－3
2
.
6．已知平面向量a ＝(cos φ，sin φ)，b ＝(cos x ，sin x )，其中0<φ<π，且函数f (x )
＝(a·b )cos x ＋sin(φ－x )sin x 的图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，1.
(1)求φ的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π
6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y
＝g (x )的单调递减区间．
解 (1)∵a·b ＝cos φcos x ＋sin φsin x ＝cos(φ－x )， ∴f (x )＝(a·b )cos x ＋sin(φ－x )sin x ＝cos(φ－x )cos x ＋sin(φ－x )sin x ＝cos(φ－x －x ) ＝cos(2x －φ)，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，而0<φ<π，∴φ＝π3. (2)由(1)得，f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3，
于是g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3， ∴g (x )的单调递减区间为2k π≤2x －2π3≤2k π＋π，k ∈Z ，解得k π＋π
3≤x ≤k π＋
5π
6
，k ∈Z ， ∴g (x )的单调递减区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z . 7．已知函数f (x )＝sin 2
ωx ＋(23sin ωx －cos ωx )cos ωx －λ的图象关于直线x ＝π
对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若存在x 0∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5，使f (x 0)＝0，求λ的取值范围．
解 (1)f (x )＝3sin2ωx －cos2ωx －λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－λ. 因为f (x )的图象关于直线x ＝π对称， 则2ωπ－π6＝k π＋π2，即ω＝k 2＋1
3(k ∈Z )．
因为ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则k ＝1，ω＝56.
所以f (x )的最小正周期T ＝
2π2ω＝6π5
. (2)令f (x )＝0，则λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53
x －π6.
由0≤x ≤3π5得－π6≤53x －π6≤5π
6，
则－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53
x －π6≤1.
据题意，方程λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53
x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5内有解，
所以λ的取值范围是．。