2021年高考数学冲刺卷01 理(新课标Ⅰ卷)答案

2021年高考数学冲刺卷01 理（新课标Ⅰ卷）答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A
2.【答案】B 【解析】
试题分析：因为α为锐角，且4cos 65
πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭，所以2
3sin()1cos ()665ππαα+=-+=，所以 3424sin 2sin 22sin cos 236665525ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+=+=++=⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，故选B.
3.【答案】D
【解析】若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少一个为真命题，因此p q ∧不一定为真命题，所以选项A 错误；
“0a >，0b >”时“22b a b a a b a b +≥⨯=”，充分性成立，而2
()2200b a b a a b a b a b ab
-+≥⇒+-≥⇒
≥ 0ab ⇒>，即“0a >，0b >”不一定成立，即必要性不成立，所以选项B 错误；命题“若2320x x -+=，
则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”，所以选项C 错误； 命题:p 0R x ∃∈，
使得2
0010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥，所以选项D 正确.故选D.
4.【答案】A
【解析】设两个腊肉馅的粽子为a ，b ，三个豆沙馅的粽子为d ，e ，f ，事件A 含有的基本事件有“ab ，
de ，df ，ef ”4个，事件B 含有的基本事件有“de ，df ，ef ”3个，所以()3
4
P B A =，故选A ．
5.【答案】C
【解析】因为222
246c a b =+=+=，所以6c =
()1F 6,0，(
)
2
F 6,0，不妨设l 的方程为
2y x =，设(
)002x x P ，则()100F 6,2x x P =--，(
)200
F 6,2x x P =
-
，因为1
2
F F 0P ⋅P =，
所以()20
6620x x x
-+=，解得02x =±P 到x 022=，故选C.
6.【答案】B
【解析】由俯视图知点M 为1D A 的中点、N 与C 重合、Q 与1D 重合，所以三棱锥Q -BMN 的正视图为
1CD ∆P ，其中点P 为1DD 的中点，所以三棱锥Q -BMN 的正视图面积为211
224
a a a ⨯⨯=，故选B.
7.【答案】C
【解析】6n
x x x ⎛+ ⎪⎝⎭的通项为15
66()2
1r
n r r n r r r n n T C x C x x x --+== ⎪⎝⎭
，由15602n r -=得：54n r =，因为n 为正整数，所以当4r =时，n 的最小值是5，故选C.
8.【答案】A
9.【答案】D
【解析】由程序框图得()()()12342013201420152016012101S a a a a a a a a =++++⋅⋅⋅++++=++-+++
()()()()()504410120141012016166665043024+++⋅⋅⋅+++-+++++=++⋅⋅⋅+=⨯=个
，故选D.
10.【答案】B
【解析】设C B 的中点为D ，则C 2D OB +O =O ，∵()()
C C 20OB -O ⋅OB +O -OA =，∴
()
C 2
D 20B⋅O -OA =，即C 2D 0B⋅A =，∴C D B ⊥A ，故C ∆AB 是以C B 为底边的等腰三角形，故
选 B ． 11.【答案】B
【解析】三棱锥CD A-B 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对2
2
2
12314++，它的外接球半径是
14
2
，外接球的表面积是2
144142ππ⎛⨯= ⎝⎭
．故选B ．
12.【答案】D
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.【答案】232
π
+ 【解析】
试题分析：1
2
311112|33
x dx x --==⎰，而根据定积分的定义可知12
11x dx --⎰表示圆心在原点的单位圆上半部
分半圆的面积，∴
1
12
22221
1
1
2(1)132
x x dx x dx x dx π---+-=+-=
+⎰
⎰⎰
. 14. 【答案】[)3,+∞
【解析】若20x y m -+≥总成立2m y x ⇔≥-总成立即可，设2z y x =-，即求出z 的最大值即可，作出不等式组对应的平面区域如图四边形C OAB 内部（含边界），由2z y x =-得2y x z =+，平移直线
2y x z =+，当其过点()C 0,3时，直线的截距最大，此时z 最大，此时3203z =-⨯=，∴3m ≥，故m
的取值范围是[)3,+∞．
15. 25
16.【答案】230
【解析】设x AC =，在ABC ∆中，由余弦定理有：B B x cos 1620cos 42242222-=⨯⨯-+=，同理，在ADC ∆中，由余弦定理有：D D x cos 3034cos 53253222-=⨯⨯-+=，即7cos 8cos 15=-B D ①，四边形ABCD 面积为)sin 15sin 8(2
1
sin 5321sin 4221D B D B S +=⨯⨯+⨯⨯=
，即8sin 15sin B D + 2S =②，①②平方相加得264225240(sin sin cos cos )494240cos()B D B D S B D ++-=+-+
24240S =-，当π=+D B 时，S 取最大值302.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）
【答案】（1）21n a n =-；（2）1(23)26n n T n +=-+．
【解析】解：（1）由12n n n S S a +=++得：*12()n n a a n N +-=∈ …………………1分 ∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列 ……………………………………3分 由125,,a a a 成等比数列得2111(2)(8)a a a +=+，解得11a =…………………………4分 ∴*21
()n a n n N =-∈
………………………………………………………5分
（2）由（1）可得2(21)(2)(21)2n n n b n n =-⋅=-……………………………………6分 ∴1231n n n T b b b b b -=+++
++
即123123252(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅+
+-⋅①…………………………………………8分
23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅+
+-⋅+-⋅②……………………………10分
①—②可得：23122(222)(21)2n n n T n +-=+++
+--
∴1(23)26n n T n +=-+………………………………………………………………12分 18.（本小题满分12分）
【答案】（1）ˆ8.69 1.23y x =-；（2）2.72吨．
【解析】解：(1)()11234535x =
++++=，()1
7.0 6.5 5.5 3.8 2.255
y =++++=…………………2分 5
1
17.02 6.53 5.54 3.85 2.262.7i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑
5
2
222221
1234555i
i x
==++++=∑………………4分
∴5
1
5
2
2
21
5
62.7535
ˆ 1.2355535i i
i i i x y x y
b
x x
==-⋅⋅-⨯⨯==
=--⨯-∑∑…………………6分
()ˆˆ5 1.2338.69a
y bx =-=--⨯=…………………7分 ∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ8.69 1.23y
x =-…………………8分 (2)年利润(8.69 1.23)2z x x x =-- …………………10分
21.23 6.69x x =-+…………………11分
所以当 2.72x =时，年利润z 最大.…………………12分 19.（本小题满分12分） 【答案】（1）证明见解析；（2）
15
5
．
则
（2）法2：由（1）可知AP AD AE ,,两两垂直，以A 为坐标原点，以AP AD AE ,,分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设a AP =…………………6分 则)2
,21,23(
),0,0,3(),,0,0(),0,2,0(),0,1,3(),0,1,3(),0,0,0(a F E a P D C B A - ),22,0(λλa H -（其中]1,0[∈λ）)),1(2,3(λλa --=∴
面PAD 的法向量为)0,0,1(=
()()2
2
2
2
222
3
3
sin cos ,487
341n a
a θλλλλ=HE
=
=
+-++-+
EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为2
6
∴7
8)4(3
sin 222
+-+=
λλθa 的最大值为5
3
即78)4()(2
2
+-+=λλa a f 在]1,0[∈λ的最小值为5
函数)(a f 对称轴)1,0(4
4
2
∈+=
a λ ∴=min )(a f 5)4
4
(
2
=+a f ，计算可得2=a …………………………8分 ∴)1,2
1,23(
),0,0,3(==→
→
AF AE 设平面AEF 的一个法向量为),,(1
11z y x m =→，则⎪⎩⎪⎨⎧=•=•→→→
→0
AF m AE m
因此⎪
⎩⎪⎨⎧=++=021
2
30
31111z y x x ，取11-=z ，则)1,2,0(-=→
m …………9分 )0,3,3(-=BD 为平面AFC 的一个法向量.…………………………10分
∴5
15
|
|||,cos =
>=
<BD m BD m BD m ………………………………11分 ∴所求二面角的余弦值为5
15
…………………………………12分 20.(本小题满分12分)
【答案】（1）2；（2）2l 恒过定点(2,0)，理由见解析.
21.（本小题满分12分）
【答案】（1）0=b 时，)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞，0>b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(b --∞，),1(+∞，0<b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(-∞，),1(+∞-b ；
（2）)2
1
,22(-e ． 【解析】（1）当2
1=
a ，x
e bx x x
f -++=)1()(2， x e b x b x x f --+-+-=']1)2([)(2，……………………………1分
令0)(='x f ，得11=x ，b x -=12.
当0=b 时，0)(≤'x f ，……………………………2分
当0>b ，11<<-x b 时，0)(>'x f ，b x -<1或1>x 时，0)(<'x f ，……………………………3分 当0<b ，b x -<<11时，0)(>'x f ，b x ->1或1<x 时，0)(<'x f ，…………4分 ∴0=b 时，)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞；
当4
1
≤a 时，0)(>'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递增，)(x h 不可能有两个及以上零点； 当4
e
a ≥时，0)(<'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递减，)(x h 不可能有两个及以上零点； 当
4
41e
a <<时，令0)(='x h 得)1,0()4ln(∈=a x ，∴)(x h 在区间))4ln(,0(a 上递减，在)1),4(ln(a 上递增，)(x h 在区间)1,0(上存在最小值))4(ln(a h ，……………………………8分 若)(x h 有两个零点，则有：0))4(ln(<a h ，0)0(>h ，0)1(>h ，
)4
41(1)4ln(46)4ln(44))4(ln(e
a e a a a
b a a a a h <<-+-=--=，……………………………9分
设)1(,1ln 2
3
)(e x e x x x x <<-+-=ϕ，则x x ln 21)(-='ϕ，令0)(='x ϕ，得e x =，
当e x <
<1时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ递增，当e x e <<时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ递减，
01)()(max <-+==e e e x ϕϕ，∴0))4(ln(<a h 恒成立，……………………………10分
由0221)0(>+-=-=e a b h ，04)1(>--=b a e h ，得
2
1
22<<-a e ， 当
2
1
22<<-a e 时，设)(x h 的两个零点为1x ，2x ，则)(x g 在),0(1x 递增，在),(21x x 递减，在)1,(2x 递增，∴0)0()(1=>g x g ，0)1()(2=<g x g ，则)(x g 在),(21x x 内有零点， 综上，实数a 的取值范围是)2
1
,22(
-e .……………………………12分 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.（本题满分10分） 【答案】（1）证明见解析；（2）
4
5
．
（2）解：连结BF ∵C B 为圆O 的直径
∴BF EC ⊥ ………………………………6分 由BF CE BE BC S BCE ⋅=⋅=∆2
1
21 得55
25
21=⨯=
BF …………………………8分 又在Rt BCE ∆中，由射影定理得5
4
2
=
=⋅BF FC EF ……………………10分 F
C
23.（本题满分10分）
【答案】（1）()2
211x y -+=；（2）
333
2
. 【解析】（1）由θρcos 2=，可得：θρρcos 22
=，所以x y x 22
2
=+
故在平面直角坐标系中圆的标准方程为()2
211x y -+= ………………5分
（2）在直角坐标系中，(0,33A ，333,22⎛⎫B ⎪ ⎪⎝⎭
所以3)332
3
3()023(22=-+-=
AB ，直线AB 的方程为：333=+y x 所以圆心到直线AB 的距离34
333=-=
d ，又圆C 的半径为1，
所以圆C 上的点到直线AB 的最大距离为13+
故ABP ∆面积的最大值为233331
321+=⨯+=）（S ………………10分 24.（本题满分10分）
【答案】（1）(),2(0,)-∞-+∞；（2）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。