三角形内角和定理 ppt
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但观察与试验得到的结论,并不一定正确、可靠, 这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢?这节 课我们一起探究一下三角形内角和定理的证明.
新知讲解
我们知道，三角形内角和等于180°.你还记得这 个结论的探索过程吗？ （1）如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置， 你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你 还有什么方法可以达到同样的效果？ （2）根据前面给出的基本事实和定理，你能用 自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能 用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同 伴进行交流.
中考链接
6.（2019•铁岭）如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF， AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ B ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
中考链接
7.（2019•赤峰）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交 AC于点F．若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（ B ） A．65° B．70° C．75° D．85°
新知讲解
已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°.
新知讲解
分析：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，这样就相当于把∠A移 到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.
这里的CD，CE称 为辅助线，辅助线 通常画成虚线.
新知讲解
证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，则 ∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）， ∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）. ∵∠l+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.
在ΔADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理). ∵∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已证), ∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性质).
课堂练习
1.下列叙述正确的是 ( C ) A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和 B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角 C.三角形中至少有两个锐角 D.三角形中至少有一个锐角
新知讲解
我们通过推理的过程,得证了命题:三角形的内角和等于180°是真 命题,这时称它为定理,即三角形内角和定理.
1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. 2.定理证明的思路：因为180°的角有： (1)平角；(2)邻补角的和； (3)平行线间一对同旁内角的和，因此证三角形的内角和为180°就是 要把三角形的三个内角转化为上述的三种角，而创造平行线是转化 的桥梁．
课堂练习
2.若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4,则这个三角形是
(C) A.直角三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形
3.如图所示,在ΔABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是ΔABC的角平分
线,则∠CAD的度数为 ( A )
ห้องสมุดไป่ตู้
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
课堂练习
4.如图所示,已知∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点O, ∠A=60°,求∠BOC的度数.
解:在ΔABC中, ∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°, ∴∠ABC+∠ACB的一半等于60°. ∴在ΔBOC中,∠BOC=120°.
拓展提高
5.在ΔABC中,∠ABC=∠C,BD⊥AC,∠ABD=30°,则∠C的度数是多少? 解:①当ΔABC为锐角三角形时,如图(1)所示,在ΔABD 中,∵BD⊥AC(已知),∴∠ADB=90°(垂直的定义). 又∵∠ABD=30°(已知),∴∠A=180°-∠ADB∠ABD=180°-90°-30°=60°. 又∵∠A+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定 理),∴∠ABC+∠C=120°.又∵∠ABC=∠C(已 知),∴∠C=60°.
7.5.1 三角形内角和定理
北师版 八年级上
新知导入
三角形内角和等于多少度?
我们在小学就已经知道三角形的内角和等于180°,这个结论是通过实 验得到的,这个命题是不是真命题还需要证明,怎样证明呢?
新知导入
回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的?
将三角形纸片的三个角剪下,随意将它们拼凑在一 起.由试验可知三角形的内角和正好为一个平角.
证法2:过点A作AD∥BC. ∵AD∥BC,∴∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠DAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补). 又∵∠DAC=∠1+∠2, ∴∠1+∠2+∠C=180°(等量代换), ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).
新知讲解
综上所述,添加辅助线的目的是什么?你是怎样理解辅助线的?
拓展提高
5.在ΔABC中,∠ABC=∠C,BD⊥AC,∠ABD=30°,则∠C的度数是多少?
②当ΔABC是钝角三角形时,如图(2)所示,在直角 三角形ABD中,∵∠ABD=30°(已知), ∴∠BAD=60°,∴∠BAC=120°, 又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定 理),∴∠ABC+∠C=60°. 又∵∠ABC=∠C(已知),∴∠C=30°.综上,∠C的度 数应为60°或30°.
(1)辅助线通常画成虚线;(2)辅助线要正确、规范地写出作法,并标明 字母,便于书写证明过程;(3)辅助线能把题目中可利用的隐藏条件显 露出来,化难为易.
总结四句话:小小辅助线,作时画虚线,写清其来源,隐藏条件见.
新知讲解
【例1】如图所示,在ΔABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是ΔABC的角平 分线,求∠ADB的度数.
解:在ΔABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理). ∵∠B=38°,∠C=62°(已知), ∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性质). ∵AD平分∠BAC(已知), ∴∠BAD=∠CAD=80°÷2=40°(角平分线的定义).
新知讲解
【例1】如图所示,在ΔABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是ΔABC的角平 分线,求∠ADB的度数.
新知讲解
【问题】你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗?
证法1:过点A作DE∥BC. ∵DE∥BC,
∴∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等). ∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义), ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).
新知讲解
【问题】你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗?
新知讲解
我们知道，三角形内角和等于180°.你还记得这 个结论的探索过程吗？ （1）如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置， 你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你 还有什么方法可以达到同样的效果？ （2）根据前面给出的基本事实和定理，你能用 自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能 用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同 伴进行交流.
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6.（2019•铁岭）如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF， AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ B ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
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7.（2019•赤峰）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交 AC于点F．若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（ B ） A．65° B．70° C．75° D．85°
新知讲解
已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°.
新知讲解
分析：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，这样就相当于把∠A移 到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.
这里的CD，CE称 为辅助线，辅助线 通常画成虚线.
新知讲解
证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，则 ∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）， ∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）. ∵∠l+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.
在ΔADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理). ∵∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已证), ∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性质).
课堂练习
1.下列叙述正确的是 ( C ) A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和 B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角 C.三角形中至少有两个锐角 D.三角形中至少有一个锐角
新知讲解
我们通过推理的过程,得证了命题:三角形的内角和等于180°是真 命题,这时称它为定理,即三角形内角和定理.
1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. 2.定理证明的思路：因为180°的角有： (1)平角；(2)邻补角的和； (3)平行线间一对同旁内角的和，因此证三角形的内角和为180°就是 要把三角形的三个内角转化为上述的三种角，而创造平行线是转化 的桥梁．
课堂练习
2.若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4,则这个三角形是
(C) A.直角三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形
3.如图所示,在ΔABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是ΔABC的角平分
线,则∠CAD的度数为 ( A )
ห้องสมุดไป่ตู้
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
课堂练习
4.如图所示,已知∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点O, ∠A=60°,求∠BOC的度数.
解:在ΔABC中, ∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°, ∴∠ABC+∠ACB的一半等于60°. ∴在ΔBOC中,∠BOC=120°.
拓展提高
5.在ΔABC中,∠ABC=∠C,BD⊥AC,∠ABD=30°,则∠C的度数是多少? 解:①当ΔABC为锐角三角形时,如图(1)所示,在ΔABD 中,∵BD⊥AC(已知),∴∠ADB=90°(垂直的定义). 又∵∠ABD=30°(已知),∴∠A=180°-∠ADB∠ABD=180°-90°-30°=60°. 又∵∠A+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定 理),∴∠ABC+∠C=120°.又∵∠ABC=∠C(已 知),∴∠C=60°.
7.5.1 三角形内角和定理
北师版 八年级上
新知导入
三角形内角和等于多少度?
我们在小学就已经知道三角形的内角和等于180°,这个结论是通过实 验得到的,这个命题是不是真命题还需要证明,怎样证明呢?
新知导入
回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的?
将三角形纸片的三个角剪下,随意将它们拼凑在一 起.由试验可知三角形的内角和正好为一个平角.
证法2:过点A作AD∥BC. ∵AD∥BC,∴∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠DAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补). 又∵∠DAC=∠1+∠2, ∴∠1+∠2+∠C=180°(等量代换), ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).
新知讲解
综上所述,添加辅助线的目的是什么?你是怎样理解辅助线的?
拓展提高
5.在ΔABC中,∠ABC=∠C,BD⊥AC,∠ABD=30°,则∠C的度数是多少?
②当ΔABC是钝角三角形时,如图(2)所示,在直角 三角形ABD中,∵∠ABD=30°(已知), ∴∠BAD=60°,∴∠BAC=120°, 又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定 理),∴∠ABC+∠C=60°. 又∵∠ABC=∠C(已知),∴∠C=30°.综上,∠C的度 数应为60°或30°.
(1)辅助线通常画成虚线;(2)辅助线要正确、规范地写出作法,并标明 字母,便于书写证明过程;(3)辅助线能把题目中可利用的隐藏条件显 露出来,化难为易.
总结四句话:小小辅助线,作时画虚线,写清其来源,隐藏条件见.
新知讲解
【例1】如图所示,在ΔABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是ΔABC的角平 分线,求∠ADB的度数.
解:在ΔABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理). ∵∠B=38°,∠C=62°(已知), ∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性质). ∵AD平分∠BAC(已知), ∴∠BAD=∠CAD=80°÷2=40°(角平分线的定义).
新知讲解
【例1】如图所示,在ΔABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是ΔABC的角平 分线,求∠ADB的度数.
新知讲解
【问题】你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗?
证法1:过点A作DE∥BC. ∵DE∥BC,
∴∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等). ∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义), ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).
新知讲解
【问题】你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗?