矩阵的微分与积分

§3.矩阵的微分与积分 一、矩阵的微分
1.Def 1.若n m ij x a x A ⨯=))(()(，且)(x a ij 可导。

则称A (x )可导，记为n m ij
x a x A ⨯'='))(()( 的为A (x )导数。

2.性质：①)()(])()([x B x A x B x A '+'='+
②)()()()(])()([x B x A x B x A x B x A '+'='⋅
注意：)(),(x B x A 的位置不可变换，特别地)(])([x A c x A c '⋅='⋅
)(x f u =是可微函数）
④若A (x )与)(1
x A -均可导（m =n 方阵）
Proof : ④由I x A x A =⋅-)()(1
0])([)()()(11='⋅+⋅'⇒--x A x A x A x A )()(])([)(11x A x A x A x A --⋅'-='⋅⇒
)()]([)()]([111x A x A dx
d
x A x A dx d ---⋅⋅-=⇒
注：性质④不同于反函数的导数，)
(1
])([1
x f x f '=
'- 另：)()(2?])([2
x A x A x A '='
事实上)()()()(])()([])([2
x A x A x A x A x A x A x A '+'='⋅='
eg 1.求⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3201sin cos sin )(x x e x
x x x x x A x 的导数，及)(2
x A 的导数
解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--='22
30
02sin cos 1sin cos )(x x e x x
x x x x x A x
)
()()()(])([2x A x A x A x A x A '+'='⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+++++-+-++-+-+-+-+=522422
222322
61sin 3cos )2(5cos 22sin 2cos 22sin )cos (sin sin 2sin 4sin )1(cos 32sin 2cos 122sin 2cos 22sin x
x x x e x x x x e x x x x x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x
eg2.设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x x
x x
x A sin cos cos sin )( 求)]([1x A dx d -，)]([2
x A dx d 解：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-x x x x x A sin cos cos sin )(1
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-x x x x x A dx d cos sin sin cos )]([1
)()(22sin 2cos 2cos 2sin 22cos 2sin 2sin 2cos )]([2x A x A x x x x x x x x dx d x A dx d '⋅=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---= Df 2.设),,,()(21n x x x f X f =为可微函数，),,(21n x x x X =为变向量，称
),,,(
21n x f x f x f ∂∂∂∂∂∂ 为函数)(X f 对X 的导数，记作：dX
df
（注：这事实上是多元函数的梯度，即},,,{
21n
x f
x f x f gradf ∂∂∂∂∂∂= ） Df 3.设n m ij z Z ⨯=)(,q p kl x X ⨯=)(且ij z 是),,2,1,,,2,1(q l p k x kl ==的可微函数，
则称
eg 3.设T
m
n T
n
n x x x X y y y Y ⨯⨯==121121),,(),,(
其中i y 是i x 的可微函数，求dX
dY 解：
),,,(21m
dx dY
dx dY dx dY dX dY = m
n m n n n m m dx dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx dy ⨯⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=
2
1
2221
2
12111
eg 4.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x e xy xyz xyz Z 2)()sin( ),,(z y x X = 求dX dZ ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=00022)cos()cos()cos(2
2xy e xy
xyz xy xy xyz xz xz xyz yz yz
dX dZ x
eg 5.设⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++=z x xyt xt xyz x Z 222 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t z y x X 求dX dZ 解：
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛+=⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=⨯01020002024244xy x xy xt x yt
xy t y x dt dZ dz
dZ
dy dZ dx
dZ
dX dZ
二、矩阵的积分
1.Df 4..设函数矩阵n m ij x a x A ⨯=)]([)(，若)(x a ij 在[a ,b ]上可积，称n m b
a
ij dx x a ⨯⎰
])([
为)(x A 在[a ,b ]上的定积分，记为
⎰
b
a
dx x A )(。

称n m ij dx x a ⨯⎰])([为)(x A 的不定积分，记为
⎰
dx x A )(。

2.性质：①⎰
⎰⎰+=+dx x B dx x A dx x B x A )()())()((βαβα（βα,为非0常数） ②⎰
⎰=T T dx x A dx x A ])([)(
③⎰⎰
=dx x A B dx x BA )()(（B 为常数矩阵） ④⎰⎰
'-='dx
x B x A x B x A dx x B x A )()()()()()(
eg 6.设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=tgx x tgx x x
x A cos cos sin )( 求⎰dx x A )(
解：⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛
---=⎰
x x x x
x dx x A cos ln cos ln sin sin cos )( eg 7.设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x x x x A 1sin )(π求⎰10)(dx x A
解：⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰⎰⎰211221)(sin )(101
1
0101
ππdx x dx xdx xdx dx x A eg 8.设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=t t
t t
t A sin cos cos sin )( 求⎰2
0)(x dt t A dx d
解：1.直接利用定义： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰
⎰⎰dt t dt t dt t dt
t dt t A x x x x x
2
2
2
2
2000
00
sin cos cos sin )(
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎰22220sin 2cos 2cos 2sin 2)(2
x x x x x x x x dt t A dx d x 2.利用变上限定积分是上限函数的求导公式：
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=⋅=⎰22222
0sin cos cos sin 2)(2)(2x x x x x x A x dt t A dx d x
§4.矩阵的幂级数
在研究矩阵幂级数之前先研究一下矩阵（主要是方阵）级数。

一、矩阵级数
1.Df 1.：若给定n n C ⨯中的一方阵序列， ,,,10m A A A 则和式 +++++m A A A A 210 )1( 称为方阵级数，记为
∑∞
=0
m m
A。

其中m A 为通项，m —求和变量。

∑==+++=N
m m N N A A A A S 0
10 称为（1）的前N 项部分和序列（矩阵序列）
若S S N →}{，则称（1）收敛，且其和为S
Df 2. ij m A )( 表示的 m A 第i 行第j 列位置上的元素。

显然，
∑∞
=0
m m
A
收敛2
n ⇔个数项级数
∑∞
==0
),,2,1,()(m ij
m n j i A
收敛。

Df 3.若2
n 个数项级数
∑∞
=0
)
(m ij
m A
绝对收敛，则称
∑∞
=0
m m
A
绝对收敛。

Df 4.设n
n C
A ⨯∈，称为矩阵A 的幂级数，其中}{m c 为一复数序列，称∑==
N
m m m
N A c
S 0
为幂
级数
∑∞
=0
m m m
A c
的部分和，若S S N N =∞
→lim ，称∑∞
=0
m m m A c 收敛于S ，并称S 为幂级数∑∞
=0
m m
m A c 的和矩阵。

2.收敛方阵级数的性质： ①若方阵级数
∑∞
=0
m m
A
绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换各项的次序，所得新级数仍收
敛且和不变。

②方阵级数
∑∞
=0
m m
A
收敛⇔对任一方阵范数⋅，正项级数
∑
∞
=0
m m A 收敛（证明见157P ）。

下面研究矩阵（方阵）幂级数
二、矩阵幂级数
注：令m m
m A A c =，则矩阵幂级数→矩阵级数的形式。

因此，矩阵级数的结论对矩阵幂级
数的形式是适用的。

即：
Th 1.矩阵幂级数∑∞
=0
m m m A c 收敛于∑∞
===⇔
),2,1,()()(m ij
ij m m
n j i S A c
S
其中，ij m m A c )(,ij S )(分别表示m
m A c 和S 的第i 行，第j 列元素。

Th 2.矩阵幂级数∑∞=0
m m m A c 绝对收敛⇔对任一范数⋅，级数∑∞
=0
m m m A c 收敛。

Proof :⇐若∑∞=0
m m m A c 收敛，考虑∑∞
=0
1
m m
m A c 的敛散性，
由矩阵范数的等价性，⋅与1⋅等价，即2
1,k k ∃
使m m m
m m
m A c k A c A
c k 21
1≤≤（由比较审敛法）
∑∞
=0
1
m m
m
A c
收敛。

又∑==≤n
i ij m m j
m m ij m m A c A
c A c 1
1
)(max ˆ)(
∴
∑∞
=0
)(m ij
m
m
A c
收敛，因此，
∑∞
=0
m m m
A c
绝对收敛。

⇒若∑∞
=0
m m m A c 绝对收敛∑∞
=⇔0
)(m ij
m m A c 收敛
))((0
11
∑∑∑∞===⇒m n i n j ij m
m A c 收敛，即∑∞
=0
4
m m
m A c 收敛。

由矩阵范数的等价性∴对任一矩阵范数⋅，21,k k ∃使4
24
1m m m m m
m A c k A c A
c k ≤≤，
∴有∑∞
=0
m m m A c 收敛。

推论1.若
∑∞
=0
m m
m
A c
绝对收敛（收敛），则∑∞
=0
)(m m
m Q A c P 绝对收敛（收敛） 其中P ,Q 为给定的n 阶方阵，且有
∑∑∞
=∞
==0
)(m m m m m
m
Q A c P Q A c
P
Proof ：∑∞
=0
m m
m A c 绝对收敛⇒∑∞
=0
m m m A c 绝对收敛。

又Q A c P Q A c P m m m m ⋅⋅≤⋅⋅)( 由比较审敛法，∴
∑∞
=0
)(m m m
Q A c
P 绝对收敛。

下面给出判断矩阵幂级数收敛与发散的方法：
Th 3.设复变数幂级数∑∞
=0
m m m Z c 的收敛半径为R ，A 的谱半径为n n C A A ⨯∈),(ρ，
则：
①当R A <)(ρ时，
∑∞
=0
m m m
A c
绝对收敛。

②当R A >)(ρ时，
∑∞
=0
m m m
A c
发散。

Proof ：①若R A <)(ρ，R A st <+>∃ερε)(.,0（如取))((2
1
A R ρε-=
） ∴ ∑∞
=+0
))((m m m A c ερ收敛
存在矩阵⋅,m m m m A c A c A A t
s ))(()(.ερερ+≤⇒≥+
②若R A >)(ρ，设x Ax j λ=，其中x 为单位向量)(A j ρλ= 若
∑∞
=0
m m m
A c
收敛，则由推论1.知：
)
1()(0
2
∑∑∑∑∑∞
=∞
=∞
=∞
=∞
=======m H m j
m m H
m j
m m m
j
m H
m m
m H
m m
m H
x x x c x x c x c x x A c x x A c x λλλ
也收敛，但
∑∞
=0
m m j m
c
λ在收敛域之外而发散，矛盾，
故，
∑∞
=0
m m m
A c
发散。

应该注意：R A =)(ρ时，无法确定。

推论2.若
∑∞
=0m m m
Z c
的收敛半径+∞=R ，则对n
n C
A ⨯∈∀，
∑∞
=0
m m m
A c
绝对收敛，即复变数
幂级数
∑∞
=0
m m m
Z c
在整个复平面上收敛。

eg 1.∑∞
=0!m m m Z 的收敛半径+∞=R ，对n
n C A ⨯∈∀,有R A <)(ρ，故A m m e m A →∑
∞
=0!
且绝对收敛。

eg 2.设⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=2.024.02.03.015.01.01.03.02.0A ，试证明∑∞=0m m A 绝对收敛。

Proof ：∑∞
=0
m m
X
的收敛半径1=R 。

则只要证1)(<A ρ即可。

对任意的矩阵范数，都相互等价，不妨取5⋅，有：
19.0m ax )(,15<==<≤≤ij n
j i a n A A ρ
由Th 3，∑∞
=∴
m m
A
绝对收敛。

eg 3.若n
n C A ⨯∈，1)(<A ρ 证明：
10
)(-∞
=-=∑A E A
m m
Proof :12))((+-=++++-N N A E A A A E A E
即10
)
(+=-=-∑N N
m m
A E A
A E
∑∑∞
==∞
→-=-0
)()(lim m m N
m m
N A A E A A E
E A E A A E N N N
m m N =-=-+∞
→=∞
→∑10
lim )(lim （由上节Th5. 1)(<A ρ ,0lim 1→∴+∞
→N N A ）
10
)(-∞
=-=⇒∑A E A m m
eg 4.设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=3003.0203.02.01A
①试判断
∑
∞
=+0
1m m A m 的敛散性
②试证明：∑∞
=-0
!)1(m m
m A m 绝对收敛。

解：①3)(=A ρ ,设
∑
∞
=+0
1m m Z m 的收敛半径为R 。

12
1lim
=++=∞
→m m R m 可见R A >)(ρ，故∑∞
=+0
1m m A m 发散。

②∑∞
=-0
!)1(m m
m Z m 的收敛半径+∞=R
R A <∴)(ρ 故∑∞
=-0
!)1(m m
m A m 绝对收敛。

象幂级数一样，有时还会遇到如∑∞
=-0
0)(m m m
E A c
λ的幂级数，对于它的敛散性，可用下列
定理判别。

Th 4.若∑∞
=-0
0)(m m m E Z c λ的收敛半径为R ，对n n C A ⨯∈∀其特征值为n λλλ,,,21
，若满足
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