管理决策模型与方法——层次分析法

(根据矩阵理论)，我们不难证明，n 是矩阵 A
的唯一非零的，也是最大的特征值，而W 为其
所对应的特征向量。
上述事实提示我们，如果有一组物体(假设 其重量总和为1)，需要知道它们的重量，而 又没有衡器，那么我们就可以通过两两比较 它们的相互重量，得出每对物体重量比的判 断，从而构成判断矩阵;然后通过求解判断
（二）递阶层次结构原理
一个复杂的无结构问题可分解为它的若 干组成部分或因素。例如，目标、约束、准 则、子准则、方案等,按照属性的不同把这些 因素分组形成互不相交的层次，上一层次的 因素对相邻的下一层次的全部或某些因素起 着支配作用，形成按层次自上而下的逐层支 配关系,具有这种性质的层次称为递阶层次。 分析建立一个有效的合理的递阶层次结构对 于能否解决问题具有决定性意义。
矩阵的最大特征值 max 和它所对应的特征
向量，就可以得出这一组物体的相对重量。
根据这一思路，对于复杂管理决策问题， 通过建立层次分析模型, 对于一些无法测量 的因素，只要引入合理的标度，构造出判断 矩阵，就可以应用这种求解判断矩阵的最大 特征根及其特性向量的方法,来确定出相应各 种方案、措施、政策等相对于总目标的重要 性权值(因素之间的相对重要性)，从而为有 关决策提供依据。
二、层次分析法的基本原理
复杂的决策问题往往涉及到许多因素，如社会、政 治、经济、科技乃至自然环境等，因此要认识一个复杂 系统就比较困难。层次分析法正是处理此类问题的有效 方法。它首先提出了递阶层次结构理论，然后给这种递 阶层次结构进行定量描述，通过排序理论得出满足系统 总目标要求的各个方案（或措施）的优先次序。因此， 层次分析法的基本原理可归纳为层次的数学原理—特征 向量方法、递阶层次结构原理、两两比较标度与判断原 理、层次排序原理。
层次分析法的理论核心
AHP法是综合定性与定量分析，使决策者 对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化 或规范化的一种方法，其理论核心是：很多 复杂的系统可以简化为有序的递阶层次结构， 决策问题通常表现为一组方案优先顺序的排 列问题，而这种排序又可以通过简单的两两 比较形式导出。
层次分析法的特点 （1）思路简单明瞭，它将决策者的思维过程 条理化、数量化，便于计算，容易被人们所接受； （2）所需要的定量数据较少，但对问题的本 质，包含的因素及其内在关系分析得清楚；
表4—1 判断矩阵
Ak
B1
B2
… Bn
B1
b11
b12
…
b1n
B2
b21
b22
…
b2n
⋮
⋮
⋮
…
⋮
Bn
bn1
bn2
…
bnn
任何一个递阶层次结构，均可以建立若 干个判断矩阵，判断矩阵数目是该递阶层次 结构图中，除最低一层以外的所有各层次的 因素之和。
对于两两比较的比率采用什么标度，也 即判断比率问题。层次分析法采用的标度是 1-9标度法，如表4-2 所示。
（一）层次分析法的数学原理 ——特征向量方法
层次分析法的基本原理可以用以下的简 单事例分析来说明。
假设有 n 个物体 A1, A2 ,, An，它们的
重量分别记为 W1,W2 ,Wn。现将每个物体的
重量两两进行比较如下：
物体重量两两比较结果：
A1
A2
…
A1
W1 /W1 W1 /W2
…
A2
W2 /W1 W2 /W2
(2)人们对事物某种属性同时做出判断比
较，并且使判断基本保持一致性时，所能感知 的最小差异是多少？这个问题属于心里学范畴。 显然，这个最小差异与被比较事物所涉及的属 性有关。很多心里学家在此方面做过实验。心 里学家ler的实验表明在某种属性上对 若干个不同物体进行辨别时，普通人能正确辨 别的物体数目在5～9个之间。Miller认为， 9 个项目为心理学上的测量极限。这表明用1～9 足以表述人在同时比较某种属性差异的档次判 断，这是比例标度采取1～9标度的第二个理由。
B ，计算满足BW m W ax 的特征根与特征向
量，式中 max 为B 的最大特征根, W 为对
应于B的正规化特征向量,W 的分量,即为相
应因素单排序的权值。最常见的求特征向量 的计算方法有和积法(求和法)、方根法、正 规化求和法及特征向量法。
前三种方法是近似方法，使得人们可以 在使用小型计算器并保证足够精确度的条件 下应用层次分析法；而最后一种方法则是严 格计算特征向量的方法。
n
Wi bij j 1
(i 1,2,, n)
(4)如果需要用比标度1～9更大的数， 可用聚类分析方法将因素进一步分解聚 类，在比较这些因素之前，先比较这些 类，这样就可使所比较的因素间的差别 落在1～9标度范围内。
（四）层次排序原理
层次排序原理包括：层次单排序、层次总 排序和一致性检验理论。
1、层次单排序原理：确定各层次中因素 对相邻上一层次的各因素的优先次序称为层 次单排序。 层次单排序可归结为计算判断矩 阵的特征根和特征向量问题，即对判断矩阵
例: 某人拟从相同配置的金长城电脑、联想电脑 和托普电脑中购买一台，其决策的层次结构模型如下 图所示。
目标层
A购买一台满意的电脑
准则层 (含子准则层)
C1功能强
C2价格低
C3易维护
方案层
P1金长城
P2联想 图4-2
P3托普
（三）两两比较的标度与判断原理
判断矩阵的构成是，先给出递阶层次中的
某一层因素，比如第 i 层，以及相邻上一层
(适用于信息管理与信息系统、工商管理专业 30H)
主讲教师：屈春艳
第四章 层次分析法
决策的研究中存在的两种倾向： 一是过分地依赖数学模型，期望对复杂的问题进
行定量而精确的分析并追求大而复杂的数学模型，其 结果是无法反映人们的经验因素，因而使相当多的数 学模型的最优解与现实中的最优相距甚远。
二是过多的偏重于行为、逻辑、推理方面的研究 和分析，而忽视了把重要因素定量地反映到决策中来， 以致于不能够定量描述因素之间的相关关系。
另一种标度是导出标度，用于被比较元 素相对重要性程度的测量，标度值为[0，1] 区间的实数，通过计算判断矩阵的特征向量 导出测度结果，它涉及AHP的排序理论(后面 的内容将详细叙述)。
采用1～9比例标度方法的依据
(1)AHP测度是通过两两比较判断给出的，在进 行这种判断的时候，被比较的对象在它们所具有的 某种属性特征上应该是比较接近的，否则定性分析 将没有什么意义，而且测量也缺乏必要的精度。在 估计事物的区别时，可以用五种判断很好表示其特 征的重要程度(或强弱程度)，即同等重要、较重要、 重要、很重要、极其重要(或相等、较强、强、很 强、绝对强)。当需要更高精度时，还可以在相邻 判断之间做出比较，这样就有九个数值，它们有连 贯性，因此在实践中可以应用。同时，当一个客体 比另一客体的强弱判断用1～9中的某个整数表达时， 后者与前者相比，其判断当然可以用这些整数的倒 数来表达，这是比例标度用1～9的整数及其倒数的 理由之一。
显然 aij 1/ a ji ；aii 1 ； aij ajk aik (i, j,k 1,2,,n)
上式中，A 称为判断矩阵。 若取重量向量
W W1,W2 ,Wn T
则有：
AW n W
这就是说, W 是判断矩阵 A 的特征向量,n 是
A 的一个特征值。事实上，根据线性代数知识
倒数 因素i与j比较得判断bij ,则因素j与i比较的判断bji =1/ bij 。
AHP从决策角度提出社会经济因素的测 度方式。在其测度过程中存在两种标度：
一种是规定性标度，它用于在某一准则 下两个元素相对重要性或优劣的测度，属于 比例标度，标度值为1～9之间的整数及其倒 数，测量方法是两两比较判断并赋值，其结 果表现为正的互反矩阵。
(3)1～9标度是一种比例标度，以此为元素组 成的判断矩阵，一般不具有一致性。这里的一致 性包括基本一致性与次序一致性。
基本一致性是指：如果要素甲比要素乙重要两 倍，要素乙比要素丙重要四倍，则要素甲比要素 丙重要八倍。在介绍判断矩阵时所给公式 bij ·bjk = bik就是基本一致性的数学表达式；
( i 1 )层次中的一个因素Ak ,两两比较第 i
层的所有因素对Ak 因素的影响程度，将比较的
结果以数字的形式写入一个矩阵表，即构成判
i 断矩阵。如，设 B1, B2 ,,为Bn 层的因素，
则有判断矩阵如表4-1所示。其中 表示对
bij
而言， 对 相对重要性的数值表现形式。
A B B k
i
j
V j
j 1
(i 1,2,, n)
n
于是得到向量 W 。显然 Wi 1 ，这符合 i 1
层次单排序原理。
（2）正规化求和法
具体步骤如下：
①将判断矩阵每一列进行正规化
bij
bij
n
bkj
(i, j 1,2,, n)
k 1
正规化后，每列各元素之和为1；
②每一列经过正规化后的判断矩阵按行相加
所谓次序一致性是说：如果要素甲比要素乙 重要，乙又比丙重要，则要素甲比要素丙重要。
利 用 AHP 的 比 例 标 度 进 行 判 断 赋 值 ， 允 许违反上述两类一致性。即便是在判断不一 致甚至相互矛盾的情况下对被比较要素进行 标度，所求得的导出标度仍然趋近于实际情 况。况且这种标度方法不要求对被比较的事 物有专门的知识，普通非专业人员也可使用。 因此1～9标度在众多可采用的标度中，堪称 一种最佳标度，这是选择1～9标度的第三个 理由。
正是在这种背景下，产生了层次分析理论。
层次分析法(The Analytic Hierarchy Process， 简称AHP方法)是美国运筹学家A.L.Saaty教授二十世纪 七十年代提出的，它是一种新的定性与定量分析相结 合的系统分析方法。AHP本质上是一种决策思维方式， 人们往往把AHP看作一种最优化技术，归入多目标决策 的一个分支，但AHP改变了以往最优化技术只能处理定 量分析问题的传统观念，而率先进入了长期滞留在定 性分析水平上的许多科学研究的领地。AHP最大的贡献 在于提供了对非定量事件作定量分析的简便方法，而 导致这种贡献的最关键突破在于对人的主观判断做出 了客观的定量描述。
目标层
准则层
(含子准则层)
目标
准则1
准则2 …… 准则m
方案层 方案1
方案2
方案3
……
方案n
图4-1 层次结构
AHP的基本思想(另一种说法)
以系统方法为指导，在对问题充分研究 后首先分析问题内在因素间的联系，并把它 划分为若干层次，然后通过两两比较确定同 一层次元素相对上一层次元素的数量关系， 最后进行简单的数学运算，从而实现对方案 进行排序的一种简洁实用的决策方法。
（3）可用于复杂的非结构化的问题，以及多 目标、多准则、多时段等各种类型问题的决策分 析，具有较广泛的实用性。
第一节 层次分析法的原理
一、AHP的基本思想
层次分析法对复杂决策问题处理的基本思想 是：在对问题充分研究后首先分析问题内在因素间 的联系，并把它划分为若干层次，如措施层(或方 案层)、准则层（含子准则）、目标层等。措施层 指的是决策问题的可行方案，准则层是指评价方案 优劣的准则，目标层指的是解决问题所追求的总目 标，把各层间要求的联系用直线表示出来，所形成 的层次结构如1 Wn /W2
…
An
W1 /Wn
W2 /Wn

Wn /Wn
若以矩阵来表示各物体的这种相互重量关 系，即
W1 /W1 W1 /W2 W1 /Wn
A

W2
/
W1
W2 /W2

W2
/Wn


(aij
)nn
Wn /W1 Wn /W2 Wn /Wn
（1）求和法
计算步骤是： ①把判断矩阵的元素依行相加，即
n
bij Vi ( i 1,2,,n )
j 1
这样得到n 个 Vi 值已经表示出该层要素的优劣
程度了，但为了便于比较起见，我们在进行第 二步；
②进行正规化(或向量归一化)，即把各V i 值加起来后去除 Vi 得
Wi
Vi
n
表4—2 标度方法
标度
含
义
1 表示两个因素相比,具有同样重要性。
3 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素稍微重要。
5 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素明显重要。 7 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素显得很重要。
9 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素显得极其重要。
2,4,6,8 上述两相邻判断的中值。