2010届漳州一中高三上理科数学期末测试卷

漳州一中2010届高三（上）理科数学期末测试卷
班级 姓名 座号
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若集合2
{|90,}A x x x x N *
=-<∈，4
{|
}B y N y
*=∈，则A B 中元素个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.已知a 是实数，
1a i
i
+-是纯虚数，则a =( )
A.1
B.1- D. 3.函数32
()ln()2f x x x
=-
的零点一定位于（ ） A.（1，2） B.（2，3） C.（3，4） D.（4，5） 4.将函数cos(2)4y x π
=+
的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
4
π
个单位，所得到的图象对应的函数式是（ ）
A.sin y x =
B.cos y x =
C.sin 4y x =
D.cos 4y x =
5.α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个命题： ①,,m n n m αββα⊥⊥⊥⇒⊥； ②,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥； ③,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥； ④,,n m m n αββα⊥⊥⊥⇒⊥. 其中正确的命题是（ ）
A. ①②
B. ①③
C.②④
D. ③④
6.已知1F 、2F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若
1290F PF ∠=，且12F PF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5 7.设0
(sin cos )a x x dx π
=
+⎰
，且21()n
x ax
-
的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是（ ） A.0 B.256 C.64 D.
164
8.下图是把二进制数(2)111111化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填 入的条件是（ ）
A.6i >
B.6i ≤
C.5i >
D.5i ≤ 9.关于统计数据的分析，有以下几个结论： ①一组数不可能有两个众数；
②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化； ③调查剧院中观众观看时的感受，从50排（每排人数相同）中任意取一排的人参加调查，属于分层抽样；
④右图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在[50,60]的汽车大约是60辆. 这4种说法中正确的个数是（ ） A.2 B.2 C.3 D.4
10.7人中选出5人排成一行，其中甲、乙两人必须选出，且甲必须排在乙的左边（不一定相邻），则不同的排法种数有（ ）
A.240
B.480
C.600
D.1200
11.已知{(A x =
、0)|y y y ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩
，则22
6820M x y x y =+--+的最小值为（ ） A.2- B.1 C.4 D.10
12.定义在R 上的函数()f x 满足(0)0f =，()(1)1f x f x +-=，1
()()52
x
f f x =
，且当1201x x ≤≤≤时，有12()()f x f x ≤，则1
(
)2010
f 的值为（ ） A.116 B.120 C.125 D.132
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的相应位置上.）
13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长
为，则四面体
1A BC D -的外接球面积为 .
1
D 1
C 1
A
A
B
C
D
1
B
正 视
14.已知实数x 、y 满足条件1010230x x y x y -≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =-的最小值为 .
15.设抛物线为2
4y x =，过点（1，0）的直线l 与抛物线交于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，则
1212x x y y += .
16.给出下列四个命题：
①抛物线2
(0)x ay a =≠的焦点坐标为1(0,
4a
. ②函数12
22()log x x f x ⎧-+⎪
=⎨⎪⎩ 在(,)-∞+∞上单调递减.
③对于任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=，且0x >时，()0,()0f x g x ''>>，则
0x <时，()()f x g x ''>.
④若命题:P x R ∃∈，使4sin cos 3
x x +=
,命题2:,10q x R x x ∀∈-+>，则命题“P q ⌝
∨”是真命题.
其中正确命题的序号为 .（把你认为正确的命题序号都填上）
17.顺次连结面积为1的正三角形的三边中点构成一个黑色三角形，在余下的白色三角形上重复上面的操作。

第（1）个图中黑色三角形面积总和为14，第（2）个图中黑色三角形面积总和为7
16
，第（3）个图中黑色三角形面积总和为
3764
，依此类推，则第()n n N *
∈个图中黑色三角形面积总和为 .
三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（本小题满分13
分）直三棱柱111ABC A B C -的直观图及其正视图、侧视图、俯视图如图所示.
俯 视 图
侧 视 图
(0)x ≤ (0)x > 1
A A
B
C
N
M
1
C 1
B
（1）求证：||MN 面11ACC A ； （2）求点N 到平面11AB C 的距离； （3）求二面角11A AB C --的大小. 19.（本小题满分12分）已知(3,sin
),(sin ,2sin
),2
2
x
x
a b x ωωω=-=，
函数()(0)f x a b m ω=+>的最小正周期为3π，且当[0,]x π∈时，()f x 的最小值为0. （1）求ω和m 的值；
（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,满足(2)cos cos a B c -=，
求()f A 的取值范围.
20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S a =-，数列{}n b 满足13b =，
1()n n n b a b n N *+=+∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ；
（3）是否存在非零实数k ，使得数列2
{}n n kT k a +为等差数列，证明你的结论.
21.（本小题满分13分）直线l 与椭圆22
221(0)y x a b a b
+=>>交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，
已知11(,)m ax by =，22(,)n ax by =，若m n ⊥且椭圆的离心率2e =
，又椭圆经过点,1)2
，O 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l 过椭圆的焦点(0,)F c ，（c 为半焦距），求直线l 的斜率k 的值；
（Ⅲ）试问：AOB ∆的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 22.（本小题满分14分）已知2
()ln (0)f x x ax bx a =--≠.
（1）若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围. （2）在（1）的结论下，设2(),[0,ln 2]x
x g x e
be x =+∈，求函数()g x 的最小值；
（3）若()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0),()A x B x x x <，AB 中点为0(,0)C x ，求证：0()0f x '≠.
正 视 图
漳州一中高三理科数学期末参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的相应位置上.）
13.36π 14.0 15.3- 16.③④ 17.31()4
n
- ()n N *
∈
三、解答题（本大题共
5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18. （本小题满分13分） 解法一、（1）如图所示，建立空间直角坐标系 则(1,0,0)N
，(1,1,1)M ，(2,0,0)B
(0,1,1)NM =， CB ⊥平面11ACC A ，……………………1分 (0,1,1)(2,0,0)0NM CB =
= …………………………2分
∴NM CB ⊥， ……………………… 3分 又∵MN ⊄平面11ACC A
∴MN ∥平面11ACC A ………………………4分（或证明111
)22
MN CA CC =
+ 俯 视 图
侧 视 图
（２）设(n x =、y 、)z 为平面11AB C 的法向量
∵11(2,0,0)C B CB == 1(0,0,2)(0,2,0)(0,2,2)C A =-=-
∵111(,,)(2,0,0)20(,,)(0,2,2)220n C B x y z x n C A x y z y z ⎧===⎪⎨=-=-+=⎪⎩ ∴取(0,1,1)n = ………………………7分
∵1(2,2,0)(1,0,0)(1,2,0)NB =-=
∴点N 到平面11AB C 的距离1|
|||
NB n
d n
=|
|==…………………9分 （３）∵三棱柱11ABC AB C -为直三棱柱，
∴平面11A AB 的法向量(1,0,1m =） ………………………10分
又平面11AB C 的法向量(0,1,1)n =
∴1
cos |
|||2||||22
m n m n θ=== ……………………12分
∴二面角111A AB C --的大小为60. ……………………13分
解法二、（1）连接1A C ，∵M 、N 为1A B ，CB 的中点，
∴1MN A C ∥.
1
AC ⊂面11ACC A MN ⎫⇒⎬⎭
∥面11ACC A MN ⊄面11ACC A
……………………5分 ……………………6分
（2）设1
AC
AC E =，连接ME ， 则ME ∥1112B C ，又CN ∥11
12
B C ， ∴ME CN ∥，∴MN CE ∥.
∵111,CE AC B C ⊥⊥面11ACC A ，∴11CE B C ⊥ ∴CE ⊥面11AB C ，∴MN ⊥面11AB C . ∴N 到平面11AB C
的距离CE ==
.
（3）过E 引1EF AB ⊥交1AB 于F ，连接1A F ，则 1A FE ∠为二面角11A AB C --的平面角
∵3AE AF ==
=
∴sin θ=
=60θ= ∴二面角11A AB C --的平面角为60. 19. （1
）2
()2sin
2
x
f x x m ωω=-+
(1cos )x x m ωω=--+
cos 1x x m ωω=++- 2sin()16
x m π
ω=+
+- …………………3分
∵()f x 的最小值周期为3π，故
23π
πω
= ∴2
3
ω=
…………………4分 2()2sin()136f x x m π
=++-
∵[0,]x π∈ ∴25
[,]3666
x πππ+∈
＝ ＝ ＝
∴
12sin()1236
x π
≤+≤ ……………………5分 ∴函数()f x 的最小值为1
2102
m m ⨯+-== …………………6分
∴2()2sin()136
f x x π
=+-
（2
）∵(2cos a B c =
∴2sin cos cos cos A B c B B C = …………………8分
∴2sin cos )A B B C A =
+= …………………9分
∵sin 0A >
，∴cos 2B =，∴4
B π
= …………………10分 ∴304A π<<
∴22
6363A πππ<+< ……………………11分 ∴ 12sin()1236A π<+≤ ∵2()2sin()136
f A A π
=+-
∴0()1f A <≤ ……………………12分
20.（１）1n =，1111211a S a a ==-⇒=
2n ≥时，112121n n n n n a S S a a --=-=--+ …………………2分
∴11
22n
n n n a a a a --=⇒
= …………………3分 ∴{}n a 是以１为首项，２为公比的等比数列. ∴1
2n n a -= …………………4分
（２）∵1
12n n n n b b a -+-==
∴121()n b b b b =+-+...1()n n b b -+- .....................5分 312=+++ (2)
2
n - ……………………6分
1
11232212
n n ---=+
=+- ........................7分 ∴12n T b b =++...(12n b +=++ (1)
2)2n n -++12222112
n
n n n -=
+=+-- ……9分 （３）设2
n n n C kT k a =+
21
2(21)2n n k k n k -=+-+21
()2(21)2
n k k k n =++-……………11分
211()222
n n n C C k k k +-=+
+与n 无关 ………………………12分 ∴2
102
k k +
= ∵0k ≠ ∴2k =-，使得数列2
{}n n kT k a +为首项为2-，公差为4-的等差数列. ………13分
21.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）∵22
1314c e a a b ⎧===⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩ …………………2分 ∴2,1a b == ∴椭圆的方程为2
214
y x += ………………3分 （Ⅱ）依题意，设l
的方程为y kx =+ 由
222
2
(4)1014
y kx k x y x ⎧=+⎪
⇒++-=⎨+=⎪⎩ 显然0∆>
1212
21
4
x x x x k -+=
=+ …………………5分 由已知0m n =得：
22121212124(a x x b y y x x kx kx +=+
21212(4)()3k x x x x =+++ …6分
2
21(23)
(4)()30
4k k k -=+-
++=+ ……………7分 解得k =……………………8分
（Ⅲ）（1）当直线AB 斜率不存在时，即2121,x x y y ==-，由0m n =
得2222
11114
04x y y x -
=⇒=
又11(,)A x y 在椭圆上， 所以22
11
1141|||42
x x x y +=⇒== 1121111
||||||2||122
S x y y x y =
-== ………………9分 所以三角形的面积为定值.
（2）当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为y kx b =+
222
22
(4)24014
y kx b k x kbx b y x =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 必须0∆> 即22
2
2
44(4)(4)0k b k b -+->
得到12224
kb
x x k -+=+，212244b x x k -=+ …………………10分
∵m n ⊥，∴12121212404()()0x x y y x x kx b kx b +=
⇔+++=
代入整理得：2
2
24b k -= ……………………11分 1
|||
2
S
AB b =
= …………………12分
1=== …………………13分 所以三形的面积为定值.
22.（本小题满分14分）
解：（1）依题意：2
()ln f x x x bx =+-
∵)(x f 在),0(+∞递增 ∴021
)(≥-+='b x x
x f 对),0(+∞∈x 恒成立 ………………1分 ∴x x b 21
+≤
…………………2分 ∵0>x ∴2221
≥+x x
………………3分
当且仅当2
x =
时取“=”， ∴22≤b ， …………………4分
且当b =0)(),2
2
,
0(>'∈x f x ，
02f '=，(),()02
x f x '∈+∞> ∴符合)(x f 在),0(+∞是增函数 ∴]22,(-∞∈b
(2)设x
t e =,∵[0,ln 2]x ∈ ∴12t ≤≤， 则函数()g x 化为:
2
2
2()22
b b y t bt t =+=+-，[1,2]t ∈ …………………6分
① 当12
≤-
b
时,即222≤≤-b 时.y 在]2,1[递增 ∴当1t =时,1min +=b y
②当22
1<-<b
时,即24-<<-b ,当2min ,24b b t y =-=-
③当22
≥-
b
,即4-≤b 时,y 在]2,1[递减,当2t =时,b y 24min +=
综上:⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-+=b b
b x g 14
24)(2min 222244≤≤--<<--≤b b b …………………9分
(3)依题意:1202x x x +=，假设结论不成立，
则有2111122222000()ln 0()ln 01()20
f x x ax bx f x x ax bx f x ax b x ⎧
⎪=--=⎪⎪
=--=⎨⎪⎪'=--=⎪⎩
……………②
由①-②得：1
1212122
ln
()()()0x a x x x x b x x x -+---= ④ ………………10分 由③知
12121212
22
()0()a x x b a x x b x x x x -+-=⇒+=-++代入④
得11212212
2ln
()()()0x b x x b x x x x x -----=+ ∴1122122()
ln
0x x x x x x --=+ 即1
121
22
2
1
ln 01x x x x x x --=+ …………………11分 令12(0,1)x t x =
∈ 则22ln 01
t t t --=+ …………⑤ ……………………12分 令22
()ln 1
t t t t ϕ-=-
+ (01)t << ∵2
2
(1)()0(1)t t t t ϕ-'=
>+ ∴()t ϕ在(0,1)递增 …………………13分 ∴()(1)0t ϕϕ<= 即22
ln 01
t t t --<+ 与⑤式矛盾 ∴假设不成立
∴0()0f x '≠ ………………………14分
…………… ① …………… ③
正 视
漳州一中高三理科数学期末答题卷
班级 姓名 座号
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的相应位置上.） 13.
14.
15. 16. 17.
三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（本小题满分13分）
19. （本小题满分12分）
俯 视 图
侧 视 图
1
A A
B
C
M
1
C 1
B
20.（本小题满分13分）
21.（本小题满分13分）
22.（本小题满分14分）。