信号与系统-第三章习题讲解

Fn

1 T
T f (t)e jntdt 1
0
T
T E(1 t )e jntdt
0
T
E T e jnt dt 1 T te jnt dt]
T0
T0

E { 1 [t TT
1 e jnt
jn
|T0

T e jnt
0 jn
dt]}
E { 1 [T 1 0]} j E ; n 1, 2,....
E cos( )
2




2E cos( ) 2E cos( )

2
2 2 2

2
[1 ( )2 ]

3 32已知阶跃函数和正弦、余弦函数的傅立叶变换：
FT[u(t)] 1 (); j
FT[cos(0t)] [ ( 0 ) ( 0 )]; FT[sin(0t)] j[ ( 0 ) ( 0 )];
E
n

e
j

2
,
n为奇数
0，
n为偶数
故：f (t ) jE e jt jE e jt jE e j3t jE e j3t ....


3
3
4、求题图3－4所示周期三角信号的傅里叶级 数并画出幅度谱。
解：将该信号表示为三角形式的傅里叶级数，有
1T
2
频谱图如下所示：
3 7利用信号f (t)的对称性，定性判断题图3－7中各 周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
解：(1)图(a)中f (t)为偶函数，同时也是奇谐函数，故其 傅氏级数中只含奇次余弦分量。 (2)图(b)中f (t)为奇函数，同时也是奇谐函数，故其傅 氏级数中只含奇次正弦分量。 (3)图(c)中f (t)为奇谐函数，故其傅氏级数只含奇次谐 波分量。 (4)图(d )中f (t)为奇函数,故其傅氏级数中只含正弦分量。 (5)图(e)中f (t)既为偶函数又为偶谐函数，故其傅氏级数 中仅含直流和偶次谐波的余弦分量。

பைடு நூலகம்
j[ 2
1
j( 0 )
1 ] j( 0 ) 2
j[ ( 0 ) ( 0 )]

0 02

2

2
j[ ( 0 ) ( 0 )]
3 33已知三角脉冲f1(t)的傅立叶变换为：F1()

E
2
Sa2 (
4
)
试利用有关定理求f2 (t)
n n1.3.5...
n n1.3.5...
T
= 2E [sin(t) 1 sin(3t) 1 sin(5t) ...]

3
5
其中: 2
T

求指数形式的傅里叶级数：f (t)
F (n1 )e jn1t
n
令

1

2
T
F
(n1 )
(2)f (t) Sa2 (100t)，信号相乘，频谱展宽一倍。
即信号的最大频率m 200,所以
最低抽样率

2
fm

200;奈奎斯特间隔



200
(3)f (t) Sa(100t) Sa(50t)，两信号叠加，频谱与较大者一致。
即信号的最大频率m 100,所以
最低抽样率


因此:P() 2 ( 2n) n
P()仍是冲激序列，但周期为2，此时
Fp ()

1
2
F () * P()

1
2

F () * 2 (
n
2n)
1 F ( 2n)
n
Fp ()

1
2
F()* P()

1
第三章习题讲解
1、求题图3－1所示对称周期矩形信号的傅里 叶级数(三角形式与指数形式)
解：求三角形式的傅里叶级数表示。由图知，
原信号 f (t)关于原点对称，为奇函数。
将f (t)表示为：

f (t) a0 [an cos(n1t) bn sin(n1t)] n1
其中a0
]


2
[
(

0
)


(

0
)]

j 02 2


2
[
(
0 )

(
0 )]
单边正弦函数的傅立叶变换为：
F[sin(0t)u(t)]

1
2
FT[sin(0t)]* FT[u(t)]

1
2

j[ (
0 )
(
0 )]*[
1
j
()]

2
2
其傅立叶变换为:F ()
2 2
E cos(
t)e jt dt

E 2
2

[e
j t

e
j

t
]e

jt
dt
2

2
j
(
E


)
[e
j
(


)t
j( )t
e ] |2 2
E cos( )
2


求单边正弦函数和单边余弦函数的傅立叶变换。
解：单边余弦函数的傅立叶变换为：
F[cos(0t)u(t)]

1
2
FT[cos(0t)]* FT[u(t)]

1
2
[
(
0 ) (
0 )]*[
1
j

()]

1[ 2
1
j( 0 )

j(
1
0
)
(6)图( f )中[ f (t) 1]为奇函数且f (t)为偶谐函数，故其傅 2
氏级数中仅含直流和偶次谐波的正弦分量。
3－15求题图3－15所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并 画出频谱图。(见课本108)
解：由图得f (t)的时域表示为：f (t) E cos( t)[u(t ) u(t )]
2 n1,3,5 (n )2

E 2

4E
2
[cos(t)

1 32
cos(3t)

1 52
cos(5t)
]
信号幅度谱如下图
( 2 )
T
3－6、求题图3－6所示周期锯齿信号的指数形式傅里叶级， 并大致画出频谱图。
解：由图3－6知在一个周期内:f (t) E(1 t ) T

T
2 sin(nt)dt]
0
0,
n为偶数

8E
(nT
)2
[cos( nT
2
)
1]


4E
(n )2
，n为奇数；式中

2
T
bn 0, 所以

f (t) a0 [an cos(nt) bn sin(nt)]
n1
( 2 )
T
E ( 4E ) cos(nt)
2 [
T 2
E
sin( nt )dt

T 02
T T 2
(
E 2
) sin(nt)dt

2 T
{E
2n
[ cos(nt)]
T
|02
(
E
2n
)[
cos( nt )]
|TT
2


2E
n
,
n为奇数
0， n为偶数
故f (t) 2E 1 sin(nt) 2E 1 sin(n 2 t)
f1
(t


2
)
cos(0t
)的傅立叶
变换F2 ()。f1(t)、f2 (t)的波形如题图3－33所示。
解：由时移特性有：FT[
f1 (t

)]
2


F1()e
j 2
FT[ f2 (t)]
1 2
[
F1
(

0

)e
j
(
0 2
)
j ( 0 )
F1( 0 )e 2 ]

P() 2 an ( n0 ) n
由f p (t) f (t) p(t)及频率卷积性质有
Fp ()

1
2
F ()* P()

1
2

F () * 2 an ( n0 )
n

anF ( n0 ) n

当p(t) (t n)时，p(t)是周期为的冲激序列， n

1 T
T f (t )e jnt dt
0
1 [
T 2
E e jnt dt

T 02
T T 2
(
E )e 2
jnt dt ]

1 T
[
E 2

e jnt
jn
T
|02

E 2

e jnt
jn
|TT
2
]

1 T
[
E
jn
(1
cos
n
)]
=
E
j 2n
[1 (1)n ]
解：由抽样定理可知，信号的最低抽样率为2 fm
(m

2
fm ,m为信号的最大频率)，奈奎斯特间隔

1 2 fm
(1)由于Sa(100t) [u( 100) u( 100)]
100
即信号的最大频率m 100,所以
最低抽样率

2
fm

100;奈奎斯特间隔



100
（见课本P124图示或P123对称性）
ane jn0t
n
(1)令f p (t) f (t) p(t),求相乘信号的傅立叶变换表达式
Fp () FT[ f p (t)];

(2)若F ()的图形如下图所示，当p(t) (t n) n
求Fp ()表达式并画出频谱图。

解：由p(t) ane jn0t，0为基波频率得其傅氏变换 n

1 T1
T1 0
f
(t)dt

0, 此时T1
T ,1


2
T
f (t)为奇函数，cos(n1t)为偶函数，故
f (t) cos(n1t)为奇函数，在一个周期内积分为零，
因而有：an

2 T1
T1 0
f
(t) cos(n1t)dt

0
bn

2 T1
T1 0
f
(t) sin(n1t)dt


F (
n
2n)
频谱图如下：
Fp ()
1/
3 2 1 0 1 2 3

E
a0 T
0
f (t)dt , 2
由图3－4知f (t)为偶函数，故
an

2 T
T f (t) cos(nt)dt 2
0
T
T
2 T
f (t) cos(nt)dt
2
4 T
T 2 0
2E T
t cos(nt)dt

8E T2

1
n
[t
sin(nt
)
T
|02
将F1 ( )

E
2
Sa2 (
4
)代入可得
FT[ f2 (t)] F2 ()

E
[Sa2
(

0


)e
j
(
0 2
)

Sa2
(

0


)e
j ( 0 ) 2
]
4
4
4
3 39决定下列信号的最低抽样频率与奈奎斯特间隔： (1) : Sa(100t);(2) : Sa2(100t)； (3) : Sa(100t) Sa(50t);(4) : Sa(100t) Sa2(60t)
2
fm

100;奈奎斯特间隔



100
(4)f (t) Sa(100t) Sa2 (60t)，
信号的最大频率m 120,所以
最低抽样率

2
fm

120;奈奎斯特间隔



120
3 40若FT[ f (t)] F (), p(t)是周期信号，基波频率为0，

p(t)
T T jn
2 n
F0

1 T
T E(1 t )dt E
0
T
2
故f (t) E jE e jt jE e jt jE e j2t jE e j2t ....
2 2
2
4
4
E E [sin(t) 1 sin(2t) ...]
2