江西省吉安市安福中学2021年高三数学文联考试卷含解析

江西省吉安市安福中学2021年高三数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则cos2α的值为（）
A．B．﹣C．﹣D．
参考答案：
A
【考点】二倍角的余弦．
【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．
【解答】解：∵α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则
cos2α====，
故选：A．
2. 设若是与的等比中项，则的最小值为（）
A．8 B．4 C． 1 D．
参考答案：
B
试题分析：由题意，所以，则
，故选B.
考点：1.等比数列的性质；2.均值不等式的应用.
3. 集合，，则
A． B． C． D．参考答案：
4. 已知函数f (x) 是定义在（0，+∞）上的单调函数，则对任意x∈（0，+∞）都有＝－1成立，则f (1)= ( )
A、－1
B、－4
C、－3
D、0
参考答案：
A
由题意，因为在为单调函数，且，
设，则，即，所以，
可得或（负值舍），所以，故选A.
5. 设曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形为区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为（）
A．B．
C．D．以上答案均不正确
参考答案：
C
【考点】几何概型．
【分析】根据题意，画出由曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形区域D（阴影部分），以
及不等式组所确定的区域E，计算阴影面积与正方形面积比即可．
【解答】解：画出由曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形区域D（阴影部分），
以及不等式组所确定的区域E，
如图所示，
则在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为：
P==．
故选：C．
6. 集合，则“”是“”的( )
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
7. 平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）
A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
参考答案：
A
【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．
【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，
所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0
故选：A．
【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．
8. 已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是()
A. B. C. D.
参考答案：
D
9. 若集合，，则
A．(0,1) B．(0,2) C．(－∞,2) D．(0,+ ∞)
参考答案：
C
10. 曲线在处的切线倾斜角是（）
A B C
D
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为
．
参考答案：
略
12. 若函数有极值点,且则关于的方程
的不同实根个数是▲．
参考答案：
3
略
13. 已知△ABC是等边三角形，有一点
D 满足＋＝，且||＝
，那么
＝
▲．
参考答案：
3
14. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边过点(1,2)，则
．
参考答案：
由题意得，所以
15. 设抛物线的焦点F，准线为，P为抛物线上一点，
，A为垂足，如果,则直线AF的斜率为 .
参考答案：
略
16. 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是_________
参考答案：17. 设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式
恒成立，则正数k的取值范围是．
参考答案：
k≥1
【考点】函数恒成立问题．
【专题】计算题．
【分析】当x＞0时，=，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g （x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则，可求
【解答】解：∵当x＞0时，==2e
∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e
∵
∴=
当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增
当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减
∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e
则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e
∵恒成立且k＞0，
∴
∴k≥1
故答案为k≥1
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，导数在函数的单调性，最值求解中的应用是解答本题的另一重要方法，函数的恒成立问题的转化，本题具有一定的难度
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：
分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x+y的值；
（2）如果x=6，y=10，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a，b，求a ＞b的概率；
（3）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）
参考答案：
【考点】BC：极差、方差与标准差．
【分析】（1）由乙的平均得分高于甲的平均得分，求出x+y＞14．推导出x，y至少有一个小于6，由此能求出x+y．
（2）设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足a≥b”为事件M，记甲的4局比赛为A1，A2，A3，A4，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为B1，B2，B3，B4，各局的得分分别是7，9，6，10．则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，利用列举法能求出a＞b的概率．
（3）由甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，能写出x的所有可能．
【解答】解：（1）由题意得，即x+y＞14．
∵在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于的概率不为零，
∴x，y至少有一个小于6，又∵x≤10，y≤10，且x，y∈N，
∴x+y≤15，∴x+y=15．
（2）设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足a＞b”为事件M，
记甲的4局比赛为A1，A2，A3，A4，各局的得分分别是6，6，9，9；
乙的4局比赛为B1，B2，B3，B4，各局的得分分别是7，9，6，10．
则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），
（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）．
而事件M的结果有4种，它们是：
（A3，B1），（A3，B3），（A4，B1），（A4，B3），
∴事件M的概率P（M）=．
（3）x的所有可能取值为6，7，8．
19. （本小题满分14分）
设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.
参考答案：
和关于点对称，得，……………… 1分
所以椭圆E的焦点为，，……………… 2分
由椭圆定义，得.
所以，. ……………… 4分
故椭圆E的方程为. ……………… 5分
得，……………… 8分
由题意，可知，设，，
则，，……………… 9分
由消去,
20. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，a3=，且S2+，S3，S4成等差数列，数列{b n}满足b n=8n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n?b n}的前n项和T n．
参考答案：
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（Ⅰ）记数列{a n}的公比为q，则2S3=S2++S4，即，又由a3=，知a4=，从而q=，根据公式即得结果；
（Ⅱ）当b n=8n时，a n?b n=?8n，计算出T n、T n，两式相减即得结论T n．
【解答】解：（Ⅰ）记数列{a n}的公比为q，由S2+，S3，S4成等差数列，
可知2S3=S2++S4，即，
又a3=，故a4=，从而=，
则a1==，a n==（n∈N*）；
（Ⅱ）当b n=8n时，a n?b n=?8n，
所以T n=，
T n=，
两式相减，得： T n=
=
=，
所以T n=16．
【点评】本题考查等比数列的通项公式、等差中项的应用、错位相减法求和，考查转化与化归思想、运算求解能力和数据处理能力，属于中档题．
21. （12分）设锐角三角形的内角的对边分别是，且.
(1)求的大小；（2）若，求.
参考答案：
：（1）,（2）
22. 已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，且a2?a3=15，S4=16．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b n}满足b1=a1，．
①求数列{b n}的通项公式；
②是否存在正整数m，n（m≠n），使得b2，b m，b n成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】数列递推式．
【专题】综合题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）直接由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）①把数列{a n}的通项公式代入，然后裂项，累加后即可求得数列{b n}的通项公式；
②假设存在正整数m、n（m≠n），使得b2，b m，b n成等差数列，则b2+b n=2b m．由此列关于m的方程，求解得答案．
【解答】解：（I）设数列{a n}的公差为d，则d＞0．
由a2?a3=15，S4=16，得，
解得或（舍去）．
a n=2n﹣1；
（Ⅱ）①∵b1=a1，，
∴b1=a1=1，
==（﹣），
即b2﹣b1=（1﹣），b3﹣b2=（﹣），…，b n﹣b﹣1=（﹣），（n≥2）
累加得：b n﹣b1=（1﹣）=，
∴b n=b1+=1+=．
b1=1也符合上式．
故b n=，n∈N*．
②假设存在正整数m、n（m≠n），使得b2，b m，b n成等差数列，
则b2+b n=2b m．
又b2=，b n==﹣，b m=﹣，
∴+（﹣）=2（﹣），即=+，
化简得：2m==7﹣．
当n+1=3，即n=2时，m=2，（舍去）；
当n+1=9，即n=8时，m=3，符合题意．
∴存在正整数m=3，n=8，使得b2，b m，b n成等差数列．
【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列通项公式的求法，训练了裂项相消法及累加法求数列的通项公式，考查存在性问题的求法，是中档题．。