高斯小学奥数六年级上册含答案第14讲 工程问题综合提高

第十四讲工程问题综合提高

本讲知识点汇总：

1.工程问题基本公式：

工作量=工作效率×工作时间；

工作时间=工作量÷工作效率；

工作效率=工作量÷工作时间．

2.理解“单位1”的概念并灵活应用；

3.有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工

作过程、灵活运用基本数量关系；

工作量其实是一种分率，利用量率对应可以求出全部工作的具体数量．

典型题型

1.基本效率计算：最常见的工程问题，基本思路是根据工作过程计算效率，通过对效

率的分析计算时间．

（1）基本工程问题：关键在于效率的计算；

（2）中途离开或加入型：算清楚每个人工作的时间或合作时间即可；

（3）来回帮忙型：先利用每个人都在干活算出总时间，再根据总时间算每个人具体

的工作安排；

2.具有周期性的工程问题

（1）轮流工作型：先处理合作的整的单位时间工作量，再独做处理零头，即剩余的

工作量；

（2）间隔休息型：先考虑一个周期各自的工作量，再分段处理；

3.工程问题中的比例

（1）正反比的应用：关键要明确“什么是不变的”，从而知道该用何种比例；

（2）效率变化：类似于行程问题中的变速问题，需要从变速点分段计算；

4.水管问题和牛吃草问题

（1）牛吃草问题型：设效率，比较总量；

（2）水管问题型：注意有“帮倒忙”的水管．

（

例1． 生产一批帽子，甲、乙二人合作需 15 天完成．现由甲先单独工作 5 天，再由乙单独 工作 3 天后还剩这批帽子的 3 4

没完成．若甲每天比乙少加工 4 个帽子，则这批帽子共

有多少个？

「分析」题中已知甲、乙的工效和，那么就应想办法让甲、乙同时工作，不妨采用假设

的工作方式分析题目．

练习 1、一件工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 30 天完成．现在两队合作，期

间甲队休息了 2 天，乙队休息了 8 天．开始到完工共用了多少天时间？

例2． A 仓库货物是 B 仓库的 2 倍，甲搬运 A 仓库需要 32 小时，乙、丙搬运 B 仓库分别需

要 24 小时和 12 小时．甲在 A 仓库、乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬

运，中途又转向帮助乙搬运，最后两仓库货物同时搬完．丙帮助甲搬了多少小时？

「分析」总的工作量是已知的，工作效率的和也知道，在整个工作的过程中没有人休息，

那么，我们可以求出工作时间．

练习 2、墨莫带着阿呆和阿瓜去割草．单独割完一个草地的草，阿呆需要9 个小时，阿

瓜需要 12 个小时，墨莫只需要 18 个小时就行．现在阿呆和阿瓜各自负责一个大小相同

的草地．墨莫先帮助阿瓜，一会去帮助阿呆，最后阿呆和阿瓜一起完成了割草的任务，

那么墨莫共帮助阿呆割了多少个小时？

例3． 小鹿、小羊、小猪三名打字员承担一项打字任务，若由这3 人中的某人单独完成全部

打字任务，则小鹿需 24 小时，小羊需 20 小时，小猪需 16 小时．

（1）如果鹿、羊、猪三人同时打字，那么需要多少小时完成？

（2）如果按鹿、羊、猪的次序轮流每人各打 1 小时，那么需要多少小时完成？

「分析」（1）直接计算即可； 2）分析可得每 3 个小时可以作为一个周期，那么在完成

工作的过程中需要多少个整周期哪？

例5． 一批蜘蛛侠模型，做了 后，提速 25%，提前 3 小时完成任务；如果做了 400 个模型 （

练习 3、一个水池有两根进水管，单开甲管 12 小时注满，单开乙管 15 小时注满，现在

甲乙管轮流打开，甲管打开 1 小时，乙管打开 1 小时，甲管打开 1 小时，乙管打开 1

小时……重复交替下去，那么注满水池共需要多少小时？

例4． 甲工程队每工作 6 天必须休息 1 天，乙工程队每工作 5 天必须休息 2 天，一项工程，

甲工程队单独做需 104 天（含休息），乙工程队单独做需 82 天（含休息），如果两队合

作，从 2012 年 8 月 28 日开工，则该工程在哪一天可以竣工？

「分析」分析可得两个工程队都是每 7 天为一个周期，那么一个周期内它们完成的工作

量分别是多少呢？

练习 4、姜太公“三天打鱼两天晒网” 打三天鱼休息两天），周文王“四天打鱼一天晒

网”，姜太公打满一缸鱼要 38 天，周文王打满同样的一缸鱼要 37 天，两人从 2012 年 9

月 2 号开始打鱼，在几月几号可以合打满一缸鱼？

1 4

后，提速 20%，可以提前 2 小时完成任务，那么这批模型有多少个？

「分析」不妨画出一个类似行程问题的线段图来分段分析本题．

例6． 甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程需要 12 天，二队

完成乙工程需要 18 天；在雨天，一队的工作效率要下降 40%，二队的工作效率要上升

20%．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？

「分析」在解决某些工程问题时列方程是个不错的选择．

“ ”

智慧的结晶——《梦溪笔谈》

宋代是中国古代数学最辉煌的时期之一．北宋大科学家沈括的名著《梦溪笔谈》中，

有 10 多条有关数学的讨论，内容既广且深，堪称我国古代数学的瑰宝．

沈括最重要的数学探讨是隙积术和会圆术．隙积术在我国数学史上开辟了高阶等差

级数求和的研究领域．

所谓“隙积”，指的是有空隙的堆积体、例如酒店中堆积的酒坛、叠起来的棋子等，

这类堆积体整体上就像一个倒扣的斗，与平截头的长方锥（刍童）很像．但是隙积的边

缘不是平的，而中间又有空隙，所以不能照搬刍童的体积公式．沈括经过思考后，发现

了正确的计算方法．他以堆积的酒坛为例说明这一问题：设最上层为纵横各 2 个坛子，

最下层为纵横各 12 个坛子，相邻两层纵横各差 1 坛，显然这堆酒坛共 11 层；每个酒坛

的体积不妨设为 1，用刍童体积公式计算，总体积为 3784 ÷ 6 ，酒坛总数也应是这个数．显 然，酒坛数不应为非整数，问题何在呢？沈括提出，应在刍童体积基础上加上一项 “ (下宽 - 上宽 )⨯ 高 ÷ 6 ”即为110 ÷ 6 ，酒坛实际数应为 (3784 + 110) ÷ 6 = 649 ．加上去

的这一项正是一个体积上的修正项．在这里，沈括以体积公式为基础，把求解不连续的

个体的累积数（级数求和），化为连续整体数值来求解，可见他已具有了用连续模型解

决离散问题的思想．

会圆术是对圆的弧矢关系给出的比较实用的近似公式，主要思想是局部以直代

曲．沈括进一步应用《九章算术》中弧田的面积近似公式，求出弧长，这便是会圆术公

式．沈括得出的虽是近似公式，但可以证明，当圆心角小于 45°时，相对误差小于 2%，

所以该公式有较强的实用性．这是对刘徽割圆术以弦（正多边形的边）代替圆弧思想的

一个重要佐证，很有理论意义．后来，郭守敬、王恂在历法计算中，就应用了会圆术．

在《梦溪笔谈》中，沈括还应用组合数学法计算得出围棋可能的局数是 3361 种，

并提出用数量级概念来表示大数 3361 的方法．沈括还在书中记载了一些运筹思想，如

将暴涨的汴水引向古城废墟来抢救河堤的塌陷，以及用挖路成河、取土、运输，最后又

将建筑垃圾填河成路的方法来修复皇宫等．沈括对数的本质的认识也很深刻，指出： 大

凡物有定形，形有真数．”显然他否定了数的神秘性，而肯定了数与物的关系．他还指

出：“然算术不患多学，见简即用，见繁即变，乃为通术也．