新高考数学备考专题计数原理考点真题训练(解析版)

新高考 计数原理 考点专题训练
一、单选题
1．（2022·山东济南·二模）由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ．24个
【答案】C 【分析】
先排个位，然后排万位，再排其它位置，由此计算出正确答案. 【详解】
先排个位，然后排万位，再排其它位置，
所以由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有
332336A ⨯⨯=个.
故选：C
2．（2022·四川巴中·一模（理））()
()5
211x x ++的展开式中4x 的系数为（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
【答案】C 【分析】
先求出项式()5
1x +的展开式的通项为5r r C x ，进而可以求出()
()5
2
11x x ++的展开式中含4
x 的项，由此即可求出结果. 【详解】
因为二项式()5
1x +的展开式的通项为5r r C x ，所以()
()5
2
11x x ++的展开式中含4x 的项为
44222455115C x x C x x ⨯+⨯=，所以4x 的系数为15.
故选：C ．
3．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种
C ．240种
D ．480种
【答案】C
先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】
根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名
志愿者中任选2人，组成一个小组，有2
5
C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，
根据乘法原理，完成这件事，共有2
54!240
C⨯=种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】
本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
4．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）
A．1
3
B．
2
5
C．
2
3
D．
4
5
【答案】C
【分析】
采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】
将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有1
55
C=种排法，若2个0不相邻，则有2
510
C=种排法，
所以2个0不相邻的概率为
102 5103
=
+
.
故选：C.
5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））
2
5
()()
x x
y
x
y
++的展开式中x3y3
的系数为（）
A．5B．10 C．15D．20【答案】C
求得5
()x y +展开式的通项公式为515
r r
r
r T C x
y -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭与
5()x y +展开式的乘积为65r r
r C x
y -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系
数，问题得解. 【详解】
5()x y +展开式的通项公式为515r r
r r T C x
y -+=（r N ∈且5r ≤）
所以2y x x ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：
5615
5
r r
r
r r
r
r xT xC x
y C x
y --+==和22542155r r r
r r r r T C x y x
C y y y x x --++==
在615r
r
r r xT C x
y -+=中，令3r =，可得：333
45xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，
在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：52133
2T C y x x
y =，该项中33x y 的系数为5
所以33x y 的系数为10515+= 故选：C 【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
6．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种
【答案】C 【分析】
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】
首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有1
6C ；
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有2
5
C；最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有12
6561060
C C⋅=⨯=种.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
7．（2022·浙江台州·高三期末）若从编号为110的十个小球中取3个不同的小球，且3个小球的编号两两不连续，则不同的取法共有（）
A．8种
B．36种
C．56种
D．64种
【答案】C
【分析】
先求出总的情况为3
10120
C=种，减去三个数依次连续，再减去三个数只有两个数连续的情况，注意此时和三个数依次连续的重叠部分.
【详解】
依题意得，取出小球的总的可能有3
10120
C=种，
排除123,234,,8910这8种依次连续的情况;
再排除三个数恰好两个连续的情况：12,23,910共9组情况，
其中12,910两组可以和7个数组成不完全连续的情况，共14种；
23,34,89共7组，每组都能和6个数组合成为不完全连续的情况，共42种；
于是符合题意的情况有1208144256种.
故选：C.
8．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.为了缓解了教育的“内卷”现象，2021年7月24日，中共中央办公厅､国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》.某初中学校为了响应上级的号召，每天减少了一节学科类课程，增加了一节活动课，为此学校特开设了乓乓球，羽毛
球，书法，小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）
A．60种B．78种C．54种D．84种
【答案】C
【分析】
根据题意，每位同学每年所修课程数按1，1，2或0，2，2，分成三组，再进行排列/【详解】
解：由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门，
则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2，
先将4每学科按1，1，2分成三组，有
211
421
2
2
C C C
A
⋅⋅
种方式，
再分到三个学年，有3
3
A种不同分式，
由分步计数原理得，不同选修分式共有
211
3
421
3
2
2
36
C C C
A
A
⋅⋅
⋅=种，
同理将4门课程按0，2，2分成三组，再排列，有
22
3
42
3
2
2
18
C C
A
A
⋅
⋅=种，
所以共有36+18=54种，
故选：C
二、多选题
9．（2021·辽宁实验中学模拟预测）一个布袋内装除颜色外完全相同的4个红球和3个蓝球.现从袋中摸出4个球，则（）
A．摸出4个红球的概率是1 35
B．摸出3个红球和1个蓝球的概率是12 35
C．摸出2个红球和2个蓝球的概率是18 35
D．摸出1个红球和3个蓝球的概率是1 35
【答案】ABC
【分析】
结合组合数以及古典概型概率公式逐项分析即可.
摸出4个红球的概率是474
4135C C =；摸出3个红球和1个蓝球的概率是31434
712
35
C C C ⋅=；摸出2个红球和2个蓝球的概率是2
2434
718
35
C C C ⋅=；摸出1个红球和3个蓝球的概率是13
434
734
5
C C C ⋅=， 故选：ABC.
10．（2021·江苏南通·模拟预测）若8280128(3)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++
++，
x ∈R ，则下列结论中正确的有（ ）
A ．802a =
B ．3
3108C a =
C ．81283a a a +++=
D ．228
024681357()()3a a a a a a a a a ++++-+++=
【答案】AD 【分析】
直接根据88(3)[2(1)]x x +=++利用二项式定理将其展开，再结合二项式系数的性质对四个选项依次分析即可求解． 【详解】
88871622533
8888(3)[2(1)]22C (1)2C (1)2C (1)(1)x x x x x x +=++=+++++++
++，
对于A ，令1x =-，则88
0(13)2a -+==，故A 正确.
对于B ，于是53382C 1792a ==，而3
108C 960=，故B 错误.
对于C ，令0x =，则8
01283a a a a =++++，于是8881280332a a a a +++=-=-，故C
错误.
对于D ，令2x =-，则01281a a a a =-+-
+.因为801283a a a a +++
+=，所以
()()
()()2
2
8024681357012801283a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++-+++=++++-+-+=，
故选：AD.
11．（2021·全国全国·模拟预测）为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去A 地重点高中进行教学调研.现知A 地有三所重点高中，则下列说法正确的是（ ） A ．不同的调研安排有243种
B ．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种
C ．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种
D ．若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种 【答案】ABD 【分析】
利用分步计数原理可判断A ；利用部分平均分组可判断B 、C ；先利用部分平均分组以及排列可判断D. 【详解】
对于A 选项，每位教研员有三所学校可以选择， 故不同的调研安排有53243=种，故A 正确；
对于B ，C 选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组， 再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1，
分别有3115212210C C C A =，221
531
2
2
15C C C A =种分组方法， 则不同的调研安排有()3
31015A 150+=种，故B 正确，C 错误；
对于D 选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，
且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有211
3
42132
2
36C C C A A ⨯=种， 则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有15036114-=种，D 正确. 故选：ABD.
12．（2022·全国·模拟预测）下列关于多项式5
122x x ⎛-⎫
⎪⎝⎭-的展开式的结论中，正确的是
（ ）
A ．各项系数之和为1-
B ．各项系数的绝对值之和为1
C ．不存在4x 项
D ．常数项为48
【答案】AD 【分析】
赋值法判断A 、B ；根据已知多项式，结合二项式定理判断C 、D 的正误. 【详解】
令1,x =得52121()--=-，故A 正确﹔ 取多项式522)1
(x x
+
+，将代1x =入多项式可得5()2123125++=，故B 错误﹔ 由题设，5
()()()1111112222222222)()(22()x x x x x x x x x x x x ------------=，
若要得到含4x 项，只需5个因式中4个取2x ，剩下1个取2-，故C 错误; 5个因式中1个取2x ，1个取1x -，剩下3个取2-，得()()31154122320,C x C x ⎛
⎫--= ⎪⎝⎭
5个因式中2个取2,2x 个取1x -，剩下1个取2-，得()()222253122240C x C x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭
， 5个因式中均取2-，得5(2)32-=-. 故常数项为3202403248--=，D 正确. 故选：AD. 三、填空题
13．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】36 【分析】
根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解. 【详解】
4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：3
36A =
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种 故答案为：36. 【点睛】
本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
14．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））262
()x x
+的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 【答案】240 【分析】
写出6
22x x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项.
【详解】
6
22x
x ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭
其二项式展开通项：
()
626
12r
r
r r C x
x T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭
= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅
1236(2)r r r C x -=⋅
当1230r -=，解得4r =
∴6
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.
故答案为：240. 【点睛】
本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()n
a b +的展开通项公式1C r
n r
r r n T a
b -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
15．（2018·浙江·高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2
个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260. 【详解】
分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数. 详解：若不取零，则排列数为2
2
4
534C C A ,若取零，则排列数为2
1
1
3
5333C C A A ,
因此一共有2242113
5345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
16．（2021·上海杨浦·一模）某市高考新政规定每位学生在物理､化学､生物､历史､政治､地理中选择三门作为等级考试科目，则甲､乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有___________种.（用数字作答） 【答案】180 【分析】
用分步乘法原理完成这件事：先选一门科目为两相同科目，然后让其中一人从剩下的5科中选2门，另一人再在剩下的3门中选2门即可得． 【详解】
由分步乘法原理知不同选择方法为122
653180C C C =．
故答案为：180．。