空间点线面位置关系复习

值为(
1 2
)
[题点发散 2] 如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱
ABCD -A1B1C1D1 中，ABA＝1＝12，A若B＝异2面，直则线异A面1B直与线AAD1B1 所与成A角D1 的所余成弦角值的为余1弦90，值试为求：AAAB1的值．
解：设AAAB1＝t，则 AA1＝tAB. ∵AB＝1，∴AA1＝t，由题意知∠A1BC1 为所求， 又 A1C1＝ 2，A1B＝ t2＋1＝BC1， ∴cos ∠A1BC1＝2×t2＋t12＋＋t12×＋1－t2＋2 1＝190， ∴t＝3，即AAAB1＝3.
[类题通法] 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或 直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才 是要求的角．
课堂达标检测
1．(人教 A 版教材习题改编)给出命题 ①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相 平行． ②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行． ③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行．
(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 ( × )
2．判断正误（直线关系）
(1)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d
(√ ) (2)两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线 ( × )
(3)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则
a，b是异面直线
3.(2015·北京模拟)a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是 ( ) A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面 B.若直线a,b相交,b,c相交C,则a,c相交 C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等 D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c
4.(2015·厦门模拟)下列四个命题中,真命题的个数为( )
一题多变如图在底面为正方形侧棱垂直于底面的四棱柱abcd2ab2则异面直线a如图在底面为正方形侧棱垂直于底面的四棱柱abcdab1若平面abcd内有且仅有一点到顶点a题点发散2如图在底面为正方形侧棱垂直于底面的四棱柱abcdabt则aatabab1aa用平移法求异面直线所成的角的三步法1一作
空间点线面位置关系复习
(× )
3．判断正误（线面关系）
(1)若直线a不平行平面α且a⊄α，则α内存在唯一的直线与a平
行
(×)
(2)三个平面两两相交，那么它们有三条交线
(× )
(3)已知两相交直线a，b，a∥平面α，则b∥α
(× )
(4)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直
线与另一平面的位置关系是平行或在此平面内
(√ )
• 提炼—记一记
• ①过直线外一点有( • ②过直线外一点有( • ③过平面外一点有( • ④过平面外一点有(
)条直线与已知直线平行. )个平面与已知直线垂直. )个平面与已知平面平行. )条直线与已知平面垂直且.只有一
且只有一
且只有一
且只有一
真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2013·安徽高考)在下列命题中,不是公理的是 ( ) B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”， “有且只有”有时也说成“确定”．
（5）异面直线所称的角
(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
(2)范围：0，π2.
•高考考纲要求:
• 1. 能用符号语言表示空间中点线面的位置关系;
• 2. 理解空间直线、 平面位置关系的定义， 并了解作为推理依
据的公理和定理.
• 3. 能运用公理、 定理和已获得的结论证明空间位置关系的简单命题.
• 1. 能实现文字语言、 图形语言及数学符号语言之间的相互转 化， 会用图形与符号语言表示点线面的位置关系 。 • 2. 理解线面位置关系的含义， 能解决简单的证明推理问题 。 • 3. 培养空间想象能力、 逻辑思维能力。
【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理. 而A平行于同一个平面的两个平面平行是性质定理而不是公理.
2．(2015·江苏高考)已知 l，m 是两条不同的直线，α，β 是两 个不同的平面，下列命题： ①若 l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则 α∥β； ②若 l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则 l∥m； ③若 α∥β，l∥α，则 l∥β； ④若 l⊥α，m∥l，α∥β，则 m⊥β. 其中真命题___②__④___(写出所有真命题的序号)．
本节练习：课时跟踪检测(四十二)”
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
()
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1 与 l4 既不垂直也不平行 D．l1 与 l4 的位置关系不确定
，
[方 法 总 结]
1．空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂 直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行 直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与 面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性 质来解决．
4.(必修2P38练习BT3改编)两两相交的三条直线最多可确定 个平面.
【解析】当三条直线共点且不共面时,最多可确定三个平面. 答案:3
5．若直线 a⊥b，且直线 a∥平面 α，则直线 b 与平面 α 的位 置关系是__b__与__α__相__交__或___b_⊂__α__或__b_∥__α___．
平行
相等或互补
(3)异面直线的判定定理: 与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线. (4)确定平面的三个推论: ①经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. ②两条相交直线确定一个平面. ③两条平行直线确定一个平面.
[提醒]
(1)三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可有无数个平 面．
(2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE 与 D1F 延长后必相交，设交点为 P，则由 P∈CE，CE⊂ 平面 ABCD， ∴P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1.又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA， ∴P∈直线 DA.∴CE，D1F，DA 三线共点．
【规律方法总结】 (1)直接法:通过证明直线平行或相交,从而证明线共面. (2)同一法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. (3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
[提醒] 异面直线所成的角的范围是0，π2，所以垂直分两种
情况——异面垂直和相交垂直．
一．判断正误
小题查验
1．平面性质 (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分
(× )
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记
作α∩β＝A
Fra Baidu bibliotek(× )
(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
(√ )
B
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;
④若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l.
A.1
B.2
5．(2014·广东高考)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满
足 l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是
其中不正确的命题的个数为____2____．
2．在正方体 ABCD-A′B′C′D′中直线 BA′与 CC′所成角大 小为___4_5_°___．
3.(必修2P55练习BT1改编)直线a,b,c两两平行,但不共面,经过其中两条直线的平面的个数为 ( )
A.1
B.3
【解析】选B.如图所示,可知有3个平面.
2．解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用 正(长)方体模型来解决问题．
6.(2015·长沙模拟)（1）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点, 求证:E,C,D1,F四点共面.
（2）．如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB， AA1 的中点．求证：CE，D1F，DA 三线共点．
2．证明多线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交 于一点，再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时，第 三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理 3 证明．
[一题多变]
如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四
棱柱 ABCD -A1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝2，则
异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 ( )
本节教学目标:
【知识梳理】 1.平面的性质 填一填
基本性质
表示
文字语言
图形语言
公理1
如果一条直线上的两点在一 个平面内,那么：
这条直线上的所有 点都在这个平面内
符号语言
Al
B A
l
l
B
基本性质
表示
文字语言
图形语言
公理2
经过不在同一条直线上的三 点,有有＿且＿只＿有一平个面
符号语言
A．15
B．25
C．35 [答案] D
D．45
[题点发散 1] 如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱
ABCD -A1B1C1D1 中，AABA＝1＝12，A若B＝平2面，A则B异CD面内直有线且A1仅B有与一A点D1
所到成顶角点的A1余的弦距值离为为( 1，则) 异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦
A,B,C三点不共线 ⇒有且只有一个平 面α,使A∈α, B∈α,C∈α
公理3
如果不重合的两个平面有一 个公共点,那么它们有且只有：
一条过这个点的公 共直线
P
P
⇒
α∩β=l, 且P∈l
• 2空间两条直线的位置关系: ①位置关系分类:
相交 平行
任何一个平面
②基本性质4和等角定理: 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相_____. 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 ___________.