高考数学二轮2 情境创新微专题(一) 三角函数及解三角形中的数学文化

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情境创新微专题(一) 三角函数及解三角形中的数

学文化

在近几年的高考创新改革题型中，推出了一些题意新颖、构思巧妙，具有相当深度与明确导向的创新题型，通过创设比较新颖的问题情境，使高考数学试卷充满活力．

【典例】第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较

大的锐角为θ，那么tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫θ＋π4 ＝__________.

【解析】依题意得大、小正方形的边长分别是5，1，于是有5sin θ－5cos θ＝

1⎝ ⎛⎭

⎪⎫0＜θ＜π2 ， 即有sin θ－cos θ＝15 .

从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925 ，则sin θ＋cos θ＝75 ，

因此sin θ＝45 ，cos θ＝35 ，tan θ＝43 ，

故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝tan θ＋11－tan θ

＝－7. 答案：－7

【命题解密】

命题情境

第24届国际数学家大会会标 情境转化

求两角和的正切值 数学建模 将几何问题转化为求角问题

思维流程 ①先根据题意确定大、小正方形的边长

②再由直角三角形中锐角的三角函数值确定角θ满足的条件

③依据相关的三角函数公式进行计算

1 700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明．该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵．既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流等．

心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张．心脏跳动时，血压在增大或缩小，

并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压．某人的血压满足函数p (t )＝110＋25sin (150πt )，其中p (t )为血压(单位：mmHg)，t 为时间(单位：min)，则相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是( )

A ．1150

B ．1110

C ．170

D ．175

【解析】选A.由题知，血压的最大值与最小值分别为收缩压和舒张压，又血压函数为正弦三角函数，则相邻的收缩压和舒张压即血压函数的半个周期，则T ＝2π150π ＝175 ，时间间隔为12 T ＝1150 .

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