高等数学(同济大学版)课程讲解第一章习题课1讲课教案

八、授课记录： 授课日期 班次
九、授课效果分析 ：
第一章 函数与极限习题课
一、 主要内容
1. 函数
函数的概念与特性，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数
.
2. 极限
极限定义、运算、性质，两个重要极限，无穷小比较，极限存在准则
.
3. 连续
函数连续的概念，间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质，分段 函数的连续性 .
3. 求 0 或 型未定式的极限 0
例4
(x lim
h)3
x3
h0
h
解
3
3
lim ( x h) x
( x h) lim
x (x h)2
(x h)x x2
h0
h
h0
h
lim ( x h) 2 ( x h) x x2 3x2 .
h0
例 5 lim 2x 3 3 x3 x 1 2
解
lim
2x 3 3
(2 x 3) 9 ( x 1 2) lim
lim
a,
bx0
x0 x
x0 x
当 lim f ( x) lim f (x) f (0) 2 ，即 b 1.5, a 2 时， f (x) 在 x 0 处连续 .
x0
x0
12. 闭区间上连续函数性质的应用
例 22 证明方程 ln(1 ex ) 2 x 0 至少有一个小于 1 的正根 .
证 令 f (x) ln(1 ex ) 2x ,则 f ( x) 在 ( , ) 上连续 ,因而在 [0,1] 上连续 , 且
(e x 2 1) ~
1)2
，
2
2
(ex2 1)2 ( x2 )2 x4
从而
~
, 所以 n 4, m 1 .
2
22
例 17 lim 2 1 cos x
x0
1 x2 1
解 lim 2 1 cos x
x0
1 x2 1
(1 cos x) 1 x2 1
lim
x0
x2
2
1 cos x
1 x2
lim
x0
2 x2
x2 1 x 1 .
x
x2 sin x
x
1
sin x x2
4. 求 0 或
型未定式的极限
例 7 lim 1 x2 cot 1 x
x1
1x
解 lim 1 x2 cot 1 x
x1
1x
1 x2
lim
x1
1x
tan
1x
1 x2 lim x1 1 x
1x
lim(1
x1
x) 2 .
例8
1 lim ( x1 1 x
1 cos2x lim x 0 1 cos3x
1 (2 x)2 lim 2 x 0 1 (3x)2
4x2
lim
x0
9
x2
4 .
9
2
例 19
1 x x2 1
lim
x0
x3
2sin x
x x2
x
解
1 x x2 1
lim
x0
x3
2sin x
lim 2 x 0 2sin x
lim 2 x 0 2x
1
.
4
11. 讨论函数的连续性与间断点
x5
（ 1） lim f ( x) 1 （ 2） lim f (x) 0
x
x
（3） lim f ( x) 1 x5
解 （1） a 0, b 1 （ 2） a 0, b 0
（ 3）由已知得 lim ( ax2 bx 5) 0 ，所以 5a b 1 0 ，代入原式
x5
ax 2 5ax x 5 lim
lim (ax 1)
(3)
n lim (
1) 2n
n n3
1 sin x
(2) lim (sin x cos
)
x0
xx
3sin x x 2 cos 1
(4) lim
x
x 0 (1 cosx) ln(1 x)
(5) lim ( 2x 3) x x 2x 1
1
x x sin
(7) lim
x
x
x1
(6) lim x sin 3x x 0 x sin 5 x
2n
x
n
2
sin x (x 0) . x
当x
0 时， xn
1，
lim
n
xn
1
10. 无穷小的比较与无穷小阶的确定 例 16 若 x 0 时， 1 cos(ex2 1) 和 2m xn 等价无穷小，则 m, n 各为多少？
解 因为当 x
0 时， 1 cosx ~ x 2 ， ex 1~ x ，所以 1 cos(ex2
9. 求 n 项和（或积）数列的极限
例 14
1 lim
1
1
n 3 15 35
1 4n 2 1
解
1 lim
1
1
n 3 15 35
1 4n2 1
11 1 lim n 13 35 5 7
1 (2 n 1)(2n 1)
lim 1 1 1 1 1 1 1 n 2 33557
1
1
lim 1 1 1
1.
2n 1 2n 1 n 2 2n 1 2
1) 1
0
f (0) ，而
lim f (x)
x(x2 4) lim
lim x ( x2 4)
x0
x 0 sin x x 0 x
4 f (0) ,
x 0 为第一类跳跃间断点 .
2
当x
2 时， f ( x) 无定义，但 lim f (x) lim x(x
4) 8
,
x2
x 2 ( x 2)
x 2时为可去间断点 . 当 x 1, 3, 4, 5....... k........ 时 f ( x) 都无定义， 且极限
二、典型例题
1. 求复合函数
例 1 设 f ( x)
x ，求 f [ f (x)] . 1 x2
解 f [ f ( x)]
f ( x) 1 f 2 ( x)
x 1 x2
1 (x
)2
1 x2
2. 利用函数概念求函数表达式
x
.
1 2x2
例 2 设 f (ex ) 1 x sin x ，求 f ( x) .
解 令 ex t ，则 x ln t ， f (t ) 1 ln t sin(ln t ) ， f (x) 1 ln x sin(ln x) .
例 3 设 f ( x) sin x, f [ ( x)] 1 x2 , 求 (x) .
解 f [ ( x)] sin ( x) 1 x2 , (x) arcsin(1 x2 ), x [ 2, 2] .
2
1 x2 1 1 cos x
2
lim
1x 1
2.
x 0 2 2 1 cos x
4
例 18
ln cos2x lim
x 0 ln cos3x
解
ln cos 2x
ln 1 (cos 2x 1)
lim
lim
cos2x 1 lim
x 0 ln cos3 x x 0 ln 1 (cos3 x 1) x 0 cos3 x 1
为无穷大，因此全为无穷间断点 .
例 21 设 f ( x)
sin ax
x 2 ln(1 3x)
bx
解 lim f ( x)
ln(1 3x) lim
x0
x 0 bx
x0 x 0 问常数 a, b 为何值时， f ( x) 在 x 0 处连续 . x0
3x lim x 0 bx
3
sin ax
ax
, lim f ( x) lim
5a 1 1 ，所以 a
2, b
3.
x5
x5
x5
5
7. 利用夹逼准则求极限
例 12 lim n 1n 2n 3n n
解
3n 1 2 n 3n 3 3n ,
lim 3 3 ,
n
lim n 1n 2n 3n 3
n
8. 利用单调有界准则求极限
3 n 1 2 n 3n n 3 3 , 而 lim n 3 3 3 , n
1 sin x 1 sin x
（ 8） lim
x0
x
2.(1) 已知 f ( x)
x2 3 A x 1 ( x 1) 2 x 1
且 lim f (x) 存在，求常数 A . x1
x2 5 [ A( x 2) B]
(2) 已知 lim
0 ，试求常数 A 、 B.
x2
x2
3. 求下列函数的间断点，并指明其类型 .
例 15 设 xn
cos
x cos
x
2
22
x cos n
2
，求
lim
n
xn .
x 解 xn sin n
2
xx
xx
cos 2 cos 22
cos n sin n 22
sin x 2n ,
sin x
xn
(x
2n sin
x
n
0) ,
2
lim xn
n
lim sin x
n
2n sin
x
n
2
lim sin x
n
六、参考资料： 1. 《高等数学释疑解难》 ，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社；
2. 《高等数学习题课讲义》 ，同济大学数学教研组主编， 高等教育出版社；
3.《高等数学与学参考》 ，张宏志主编， 西北工业大学出版社．
七、作业：总复习题一 3（ 2）（3），8（2）（4）（6）， 10，11，12
ae x
x0
5. 设函数 f (x) 在 [a, b] 上连续， a c d b ， p, q 为正数 . 证明：在 [ a, b] 内至少
有一点 ，使 pf (c) qf (d ) ( p q) f ( ) .
例 20 求下列函数的间断点，并说明类型
（ 1） f (x)
ln(1 x)
1
ex 1
1 x0 x0
（2） f (x)
x( x 2 4) x0
sin x
x(x 1) x2 1
x
0
解 （1） f (x) 的间断点可能为 0、1. x 0 时， f (0) 0,
1
lim f (x) lim ln(1 x) 0 f (0) , lim f ( x) lim ex 1 e 1 f (0)
3 1 x3 )
解
1
3
1 x x2 3
x2
lim( x 11
x
1
x3)
lim
x1
1 x3
lim x 11
x
x2
1.
5. 求幂指函数（ 1 , 00 , 0 型未定式）的极限
x
例 9 lim 3 2x x 2 2x
x
x
解
3 2x lim
lim 1
x
1 lim 1
1
2 2x 2 2x
x 2 2x
x
2 2x
x0
x0
x0
x0
x 0 为第一类跳跃间断点 .
1
又 x 1 时， f ( x) 在 x 1处无定义，且 lim ex 1
，
x1
x 1为 f ( x) 的无穷间断点 .
（ 2） x 0, 1, 2, 3 , k
都可能为间断点 .
当x
0 时， f ( x)
0, lim f ( x)
x0
lim
x0
x( x x2
x 3 x 1 2 x 3 ( x 1) 4 ( 2x 3 3)
2( x 3)( x 1 2)
2( x 1 2) 4
lim
lim
.
x 3 ( x 3)( 2x 3 3) x 3 2x 3 3 3
例 6 lim x
4 x2 x 1 x 1 x2 sin x
11
1
解
lim
2
4x x 1 x 1
lim
4 x
例 13 若 x1＝ 2 ,x2= 2 2 , …， xn+1= 2 xn （ n=1,2, …），求 lim xn . n
解 因为 x1 2, x2 2 2, 有 x2 x1 ,今设 xk xk 1 ，则 xk 1 2 xk 2 xk 1 xk ，
由数学归纳法知，对于任意正整数 n 有 xn 1 xn ，即数列 xn 单调递增 .
1
1
（ 1） f (x) (1 ex ) (2 3e x )
（ 2） f (x)
2x
( x 1)( x 4)
（ 3） f (x)
x2 1 x2 3x 2
（4） f (x)
x2 2x x ( x2 4)
4. 设 f ( x)
2 2 cos x
x
x 0 , 问 a 为何值时， f (x) 在 x 0 处连续 ?
课时授课计划
一、课 题：第一章 函数与极限习题课
课次序号： 08
二、课 型：习题课
三、目的要求： 1. 加深对函数、极限、连续等基本概念的理解； 2. 熟练掌握极限的运算方法 .
四、教学重点：极限运算、两个重要极限、无穷小比较、函数的连续性． 教学难点：极限存在准则．
五、教学方法及手段：讲练结合，传统教学与多媒体教学相结合．
f (0) ln(1 e0) 2 0 ln 2 0 , f (1) ln(1 e) 2 0 ,
由零点定理知 , 至少存在一点 有一个小于 1 的正根 .
(0,1) 使得 f ( ) 0 . 即方程 ln(1 ex ) 2x 0至少
三、课后练习
1．求下列极限：
22 x sin
(1) lim
x
x 0 tan x
又因为 x1 2 2 ，今设 xk 2 ，则 xk 1
2 xk
2 2 2 ，由数学归纳法知，
对于任意的正整数
n 有 xn 2 ，即数列 xn 有上界，由极限收敛准则知
lim
n
xn 存在 .
设 lim xn b ，对等式 xn 1 n
2 xn 两边取极限得 b
2 b ，即 b 2 2 b ，解得
b 2 ， b 1 （由极限的保号性，舍去） ，所以 lim xn 2 . n
x
2 2x
2 2x
1
x
lim 1
e, lim
x
2 2x
x 2 2x
1
，
2
x
3 2x lim x 2 2x
1
e 2；
例 10
1
lim(cos x) ln(1 x2)
x0
cosx 1
解
1
lim(cos x)ln(1 x2 )
1
lim(1 cosx 1)ln(1 x2 )
1 cos x 1
ln(1 x2 )
lim (1 cosx 1)
，
x0
x0
x0
1
cos x 1
lim(1 cos x 1)
x0
cosx 1
e, lim x 0 ln(1
x2)
2
x
lim
x0
2 x2
1， 2