(必考题)初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测卷(答案解析)

一、选择题
1．对于二次函数2y x bx c =++(b ，c 是常数）中自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：
x
1- 0 1 2 3
4 y
10 5
2 1
2
5
A ．函数图像开口向上
B ．当5x =时，10y =
C ．当2x >时，y 随x 的增大而增大．
D ．方程20x bx c ++=有两个不相等的实数
根
2．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m 长的篱笆围成一个矩形（ABCD ）花园，这个花园的最大面积是（ ）
A ．18m 2
B ．12 m 2
C ．16 m 2
D ．22 m 2
3．已知二次函数()2
22y mx m x =+-，它的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，抛物线与x 轴交于()2,0A -，()4,0B 两点，点()P m n ,从点A 出发，沿抛物线向点B 匀速运动，到达点B 停止，设运动时间为t 秒，当3t =和9t =时，n 的值相等．有下列结论：①6t =时，n 的值最大；②10t =时，点P 停止运动；③当5t =和
7t =时，n 的值不相等；④4t =时，0m =．其中正确的是（ ）
A ．①④
B ．②④
C ．①③
D ．②③
5．抛物线221y x =--的顶点坐标是（ ） A ．(2,1)--
B ．(2,1)
C ．(0,1)-
D ．(0,1)
6．已知抛物线24y x bx =++的顶点在x 轴上，则b 的值为（ ） A ．2
B ．4
C ．-4
D ．
7．当函数2
1
(1)23a y a x x +=-++ 是二次函数时，a 的取值为（ ）
A ．1a =
B ．1a =±
C ．1a ≠
D ．1a =-
8．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()4,0，其对称轴为直线1x =，结合图像给出下列结论：①0b <；②420a b c -+>；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④所以正确关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．已知抛物线()()()12121y x x x x x x =--+<，抛物线与x 轴交于(,0)m ，(,0)n 两点
()m n <，则m ，n ，1x ，2x 的大小关系是（ ）
A ．12x m n x <<<
B ．12m x x n <<<
C ．12m x n x <<<
D ．12x m x n <<<
10．如图1，在等腰直角BAC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点P 为AB 的中点，点
M 为BC 边上一动点，作45PMN ∠=︒，射线MN 交AC 边于点N ．设BM x =，CN y =，y 与x 的函数图象如图2，其顶点为(),m n ，则m n +的值为（ ）
A ．4
B ．
33
C ．222+
D ．25+
11．已知函数2
23y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象如图所示，当直线
y x m =-+与函数223y x x =+-的图象有2个交点时，m 的取值范围是（ ）
A ．3m <-
B ．31m -<<
C ．13
4
m >
或3m <- D ．31m -<<或134
m >
12．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是
260 1.5s t t =-，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（ ）
A ．10s
B ．20s
C ．30s
D ．40s
二、填空题
13．设()()y x a x b =++的图象与x 轴有m 个交点，函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有n 个交点，则所有可能的数对(,)m n 是__________.
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2
230y ax ax a =-+>与y 轴交于点A ，过点
A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ，P 为抛物线的顶点，若直线OP 交直线AM 于点
B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为____________．
15．如图已知1A ，2A ，3A ，n A ⋅⋅⋅是x 轴上的点，且
112233411n n OA A A A A A A A A -====⋅⋅⋅==，分别过点1A ，2A ，3A ，n A ⋅⋅⋅作x 轴的垂线交
二次函数()02
>=x x y 的图象于点1P ，2P ，3P ，n P
⋅⋅⋅，若记11OA P △的面积为1S ，过点1P 作1122P B A P ⊥于点1B ，记112P B P △的面积为2S ，过点2P 作2233P B A P ⊥于点2B ，记
223P B P △的面积为3S ，…依次进行下去，则3S =______，最后记()111n n n P
B P n -->△的面积为n S ，则n S =______．
16．有五张正面分别标有数字32112---，
，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于以x
为自变量的二次函数22
(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是____．
17．在平面直角坐标系中，把抛物线22y x =+先绕其顶点旋转180︒后，再向右平移2个单位，向下平移3个单位后的抛物线解析式为__________．
18．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示，下列说法：
x
··· 3-
2-
1- 0 1 ··· y
···
6-
4
6
6
···
①抛物线与轴的交点为0,6；②抛物线的对称轴是在轴右侧；③在对称轴左侧，
y 随x 增大而减小；④抛物线一定过点()3,0．上述说法正确的是____（填序号）．
19．道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落在同一条抛物线上，若第1根栏杆
涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是___________．
20．已知点()4,A m -，()2,B m ，()6,C n 均在抛物线2y x bx c =++上，则m ，n 的大小关系是m __________n ．
三、解答题
21．已知抛物线239y x kx k =-+-．求证：无论k 为何值，该二次函数的图象与x 轴都有交点．
22．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++经过(
)
2
1,21m m -++､
()2
0,22m
m ++两点，其中m 为常数．
（1）求b 的值，并用含m 的代数式表示c ；
（2）若抛物线2
y x bx c =++与x 轴有公共点，求m 的值；
（3）设()1,a y ､()22,a y +是抛物线2
y x bx c =++上的两点，请比较2y 与1y 的大小，
并说明理由．
23．已知抛物线23(0)y ax bx a =+-≠经过(1,0)(3,0)A B -，两点，C 点是抛物线与y 轴交点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得ACM △的周长最短？若存在，求点
M 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．已知直线y ＝x +3分别交x 轴和y 轴于点A 和B ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 和B ，且抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2．
（1）抛物线与x 轴的另一个交点C 的坐标为 ； （2）试确定抛物线的解析式；
（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B 铅笔或黑色水笔加黑加
粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x 的取值范围 ． 25．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距
AB 为6米，到地面的距离AO 和BD 均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E ．以点O 为原点建立如
图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为2
0.9y ax bx =++． （1）求该抛物线的表达式；
（2）如果小明站在OD 之间，且离点O 的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶上方0.4米处，求小明的身高是多少？此时小明若向点O 方向走多少米，就能让绳子甩到最高处时，绳子刚好通过他的头顶；
（3）如果有若干个与小明同身高的同学一起站在OD 之间玩跳绳，现知只要绳子甩到最高处时超过她们的头顶且每个同学同方向站立时的脚跟之间距离不小于0.55米就可以一起玩，问最多可以几个同学一起玩．
26．阅读材料：二次函数的应用
小明在学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是8，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，并说明理由．
8189⨯，8288⨯，8387⨯，……，8783⨯，8882⨯，8981⨯ 小明结合已学知识做了如下尝试：
设两个乘数的积为y ，其中一个乘数的个位上的数为x ，则另一个乘数个位上的数为
(10)x -，
根据题意得：
(80)[80(10)]y x x =++-=(80)(90)(80)(90)x x x x +-=-+-
……
（1）问题解决：请帮助小明判断以上问题中哪个积最大并求出这个最大的积；
（2）问题拓展：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是7，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由．
701799⨯，702798⨯，703797⨯，……，797703⨯，798702⨯，799701⨯
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一、选择题 1．D
解析：D 【分析】
根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】
解：由表格可得，当x ＜2时，y 随x 的值增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的值增大而增大，
该函数开口向上，故选项A 、C 不符合题意； ∴点（−1，10）的对称点是（5，10），
∴点（5，10）在该函数的图象上，故选项B 不符合题意；
由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是1，则该抛物线与x 轴没有交点， ∴方程20x bx c ++=无实数根，故选项D 符合题意． 故选：D ． 【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．A
解析：A 【分析】
根据题意可以列出相应的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题． 【详解】
解：设与墙垂直的矩形的边长为xm ，
则这个花园的面积是：S=x （12-2x ）=()2
22122318x x x -+=--+， ∴当x=3时，S 取得最大值，此时S=18， 故选：A ． 【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
3．B
解析：B 【分析】
分m ＞0，m ＜0两种情形，判断对称轴与x=1
4
的位置关系即可. 【详解】
∵()2
22y mx m x =+-，
∴抛物线一定经过原点， ∴选项A 排除；
∵()2
22y mx m x =+- ，
∴对称轴为直线x=22
224m m m m
---=⨯， ∵
24m m --14=24m m m --=2
4m
-， 当m ＞0时，抛物线开口向上，2
4m
-＜0， ∴对称轴在直线x=
1
4
的左边， B 选项的图像符合；C 选项的图像不符合； 当m ＜0时，抛物线开口向下，2
4m
-
＞0， ∴对称轴在直线x=
1
4
的右边， D 选项的图像不符合； 故选B. 【点睛】
本题考查了二次函数的图像，熟练掌握抛物线经过原点的条件，抛物线对称轴的位置与定直线的关系的判定是解题的关键.
4．A
解析：A 【分析】
根据题意首先求得抛物线的对称轴，然后由抛物线的轴对称性质和二次函数的性质解答． 【详解】
解：过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，
根据题意，该抛物线的对称轴是直线x=42
2
- =1．设点Q 的运动速度是每秒v 个单位长度，
则∵当t=3和t=9时，n 的值相等， ∴x=1
2[(9v−2)+(3v−2)] =1， ∴v=
12
． ①当t=6时，AQ=6×
1
2
=3，此时点P 是抛物线顶点坐标，即n 的值最大，故结论正确；
②当t=10时，AQ=10×1
2
=5，此时点Q 与点B 不重合，即n≠0，故结论错误； ③当t=5时，AQ=52，此P 时点的坐标是（1
2
，0）； 当t=7时，AQ=72，此时点P 的坐标是（3
2
，0）． 因为点（12，0）与点（3
2
，0）关于对称轴直线x=1对称，所以n 的值一定相等，故结论错误；
④t=4时，AQ=4×
1
2
=2，此时点Q 与原点重合，则m=0，故结论正确． 综上所述，正确的结论是①④． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得对称轴和点Q 的运动速度是解题的关键．
5．C
解析：C 【分析】
根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标． 【详解】 解：∵y=-2x 2-1，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1）， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答．
6．D
解析：D 【分析】
抛物线的顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标为0，根据顶点纵坐标公式，列方程求解． 【详解】
解：抛物线2
4y x bx =++的顶点纵坐标为2
41441
b ⨯⨯-⨯，
∵顶点在x 轴上，
∴241441b ⨯⨯-⨯=0，
解得b 2=16， b=±4． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点在x 轴上，则顶点坐标的纵坐标为0．
7．D
解析：D 【分析】
根据二次函数的定义去列式求解计算即可． 【详解】 ∵函数2
1
(1)23a
y a x x +=-++ 是二次函数，
∴a-1≠0，2a 1+=2， ∴a≠1，21a =， ∴1a =-， 故选D ． 【点睛】
本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．
8．C
解析：C 【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x 轴y 轴的交点，综合判断即可． 【详解】
解：抛物线开口向上，因此a ＞0，抛物线的对称轴为x=-2b
a
=1，所以0b <，所以①正确；
抛物线的对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为（4，0），则另一个交点（-2，0），于是4a-2b+c=0，所以②不正确；
x ＞1时，y 随x 的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x 轴有两个不同的交点，因此一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：C ． 【点睛】
本题考查二次函数的图形和性质，掌握二次函数的图形和系数之间的关系是正确判断的前提．
9．A
解析：A 【分析】
根据题意画出草图，结合图象解答即可．
【详解】
解：当x=x 1时，y=1；
当x=x 2时，y=1；
又∵m<n ，()()()12121y x x x x x x =--+<的二次项系数大于0，
∴函数图象大致如图所示，
∴12x m n x <<<，
故选A ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意画出函数的大致图象是解答本题的关键． 10．C
解析：C
【分析】
首先由函数图象可直接得出4BC =，然后当M 运动至BC 中点时，y 的值最大，此时即为AC 的长，从而在等腰直角三角形中分别计算即可．
【详解】
根据函数图象知，当4x =时，0y =，即：4BC =，
当M 运动至BC 中点时，y 的值最大，此时y 的值即为AC 的长，
∵△ABC 为等腰直角三角形，M 为BC 的中点，
∴△AMC 为等腰直角三角形，且122AM MC BC ==
=， ∴222AC ==， 即：函数图象中，222，m n ==， ∴222m n +=+
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用之动态几何问题，理解二次函数的基本性质以及等腰直角三角形的性质是解题关键．
11．D
解析：D
【分析】 作出函数2
23y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象，根据图象性质讨论即可求出． 【详解】
解：如图：
函数2
23y x x =+-，当0y =时，1x =或3-， ()()3010A B ∴-，，，，
当31x -<<时，2
23y x x =--+，
当直线过点A 时，1个交点，此时()03m =--+，
即3m =-，
当3m >-时，有2个交点，
当直线过点B 时，有3个交点，此时01m =-+，即1m =， ∴1m <时有2个交点，
31m ∴-<<，
当直线与抛物线相切时，有3个交点，
223y x x y x m
⎧=--+∴⎨=-+⎩， 由()1430m =--+=，
解得：134
m =， 134
m ∴>时有2个交点， 综上所述，31m -<<或134
m >
． 【点睛】 本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．B
解析：B
【分析】
当s 取最大值时，飞机停下来，求函数最大值时的自变量即可．
【详解】
∵当s 取最大值时，飞机停下来，
∴t= 6022( 1.5)
b a -=-⨯-=20， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数应用-飞机着陆问题，熟练把问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．
二、填空题
13．（11）（10）（21）（22）【分析】分别对ab 的值分类讨论根据直线和二次函数的交点式：y ＝a （x ﹣x1）（x ﹣x2）（abc 是常数a≠0）得出抛物线与x 轴的交点坐标情况即可求解【详解】因为是二次
解析：（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）
【分析】
分别对a 、b 的值分类讨论，根据直线和二次函数的交点式：y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（a ，b ，c 是常数，a≠0），得出抛物线与x 轴的交点坐标情况，即可求解．
【详解】
因为()()y x a x b =++ 是二次函数，令()()y x a x b =++=0，有0x a +=或0x b +=，解得：x a =-或x b =-；
对m 来说，
①当a b =时，图像与x 轴有一个交点，即1m =；
② 当a b 时，图像与x 轴有两个交点，即2m =；
函数(1)(1)y ax bx =++：令(1)(1)0y ax bx =++=，有10ax +=或10bx +=， 对n 来说，
①当0a b =≠时，关于x 的方程有一个解，图象与x 轴有1个交点，即1n =；
②当0a b 时，关于x 的方程无解，图像与x 轴没有交点，即0n =； ③当a b 且0ab =时，关于x 的方程有一个解，图象与x 轴有1个交点，即1n =； ④ 当a b 且0ab ≠时，关于x 的方程有两个不相等的解，图像与x 轴有两个交点，即
2n =； 综上所述，当a b =时，1n =或0n =；当a b 时，1n =或2n =． ∴所有可能的数对(,)m n 是（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）
故答案为：（1，0）或（2，1）或（1，1）或（2，2）．
【点睛】
本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，解决本题的关键是正确理解二次函数的交点式． 14．【分析】求出A 点坐标和对称轴根据对称性求出M 点坐标利用中点求出B 点坐标进而求出P 点坐标代入求a 即可【详解】解：由题意得：对称轴为直线P 点横坐标为1当x=0时y=3∴A 点坐标为：根据对称性可知M 点坐标 解析：94
【分析】
求出A 点坐标和对称轴，根据对称性求出M 点坐标，利用中点，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，代入求 a 即可．
【详解】 解：由题意得：对称轴为直线212a x a -=-
=，P 点横坐标为1， 当x=0时，y=3,
∴A 点坐标为：()0,3，根据对称性可知，M 点坐标为()2,3 ，
∵M 为AB 中点，
∴B 点坐标为：()4,3
设OB 解析式为y=kx ，
把B ()4,3代入得，
3=4k
解得，k=34
， ∴直线OB 解析式为34y x =
， 把1x =代入34y x =得，34y =， ∴P 点坐标为31,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 代入抛物线得：3234a a -+=
，
解得，94
a =， 故答案为：
94． 【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的综合，解题关键是根据二次函数的性质求出B 点坐标，求出一次函数解析式．
15．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出点P （11）则根据三角形面积公式求得S1＝同样求得S2＝S3＝S4＝所有对应的三角形面积的分母都为2分子为2n-1从而可得Sn=【详解】解：∵当∴点P1（ 解析：
52， 212
n - 【分析】 先根据二次函数图象上点的坐标特征求出点P （1，1），则根据三角形面积公式求得S 1＝
12，同样求得S 2＝32
，S 3＝52，S 4＝72，所有对应的三角形面积的分母都为2，分子为2n-1，从而可得S n =
212
n -． 【详解】
解：∵()02>=x x y 当1x =，1y =，
∴点P 1（1，1）
∴S 1＝111122
=⨯⨯= 当2x =时，224y ==
∴点P 2（2，4）
∴S 2()1314122
=⨯⨯-= 当3x =时，239y ==
∴点P 2（3，9）
∴S 3()1519422
=⨯⨯-= 同理：S 4()17116922=
⨯⨯-= ∴S n 212
n -= 故答案为：
52；212
n - 【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也涉及到三角形面积公式，图形类规律探索，解题的关键是学会利用数形结合的思想，找出相应三角面积的规律．
16．【分析】把点的坐标代入解析式转化为a 的一元二次方程确定方程的根从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值计算概率即可【详解】当二次函数的图象经过点时得解得所以符合题意的a 值有-3-12共三个所以二 解析：35
【分析】
把点的坐标代入解析式，转化为a 的一元二次方程，确定方程的根，从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值，计算概率即可.
【详解】
当二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象经过点(1,0)时，
得 220a a +-=，
解得 122,1a a =-=，
所以符合题意的a 值有-3，-1,2，共三个，
所以二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是35
， 故答案为：
35
. 【点睛】 本题考查了简单事件的概率计算、二次函数，利用二次函数的图象过点的意义，判定符合题意的a 值是解题的关键．
17．【分析】先求出抛物线绕其顶点旋转后解析式再根据平移规律即可求解
【详解】解：抛物线先绕其顶点旋转后解析式为将抛物线向右平移个单位向下平移个单位后的抛物线解析式为故答案为：【点睛】本题考查了抛物线图象与 解析：2(2)1=---y x
【分析】
先求出抛物线2
2y x =+绕其顶点旋转180︒后解析式，再根据平移规律即可求解．
【详解】
解：抛物线22y x =+先绕其顶点旋转180︒后解析式为22y x =-+，将抛物线22y x =-+向右平移2个单位，向下平移3个单位后的抛物线解析式为
()2
12y x =---．
故答案为：2(2)1=---y x
【点睛】
本题考查了抛物线图象与几何变换，熟知二次函数图象旋转与平移规律是解题关键．
18．①②④【分析】由表格中数据x=0时y=6x=1时y=6；可判断抛物线的对称轴是x=05根据函数值的变化判断抛物线开口向下再由抛物线的性质逐一判断【详解】解：由表格中数据可知x=0时y=6x=1时y=
解析：①②④．
【分析】
由表格中数据x=0时，y=6，x=1时，y=6；可判断抛物线的对称轴是x=0.5，根据函数值的变化，判断抛物线开口向下，再由抛物线的性质，逐一判断．
【详解】
解：由表格中数据可知，x=0时，y=6，x=1时，y=6，
①抛物线与y轴的交点为（0，6），正确；
②抛物线的对称轴是x=0.5，对称轴在y轴的右侧，正确；
③由表中数据可知在对称轴左侧，y随x增大而增大，错误．
④根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=0.5，点（-2，0）的对称点为（3，0），即抛物线一定经过点（3，0），正确；
正确的有①②④．
故答案为①②④．
【点睛】
主要考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等．
19．4【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型以AB中点为原点建立坐标系xOy通过已知线段长度求出A(10)B(-1O)由二次函数的性质确定y＝ax2－a利用PQ＝EF建立等式求出二次函数中的参数a即可得
解析：4
【分析】
根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，通过已知线段长度求出A(1，0)，B(-1,O)，由二次函数的性质确定y＝ax2－a，利用PQ＝EF建立等式，求出二次函数中的参数a，即可得出EF的值．
【详解】
解：如图，令P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)，B(-
1,O)，
设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c
∴抛物线的对称轴为x=0，则2b a
-
＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．
将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．
∴y ＝ax 2－a ． ∵OH ＝2×
15×12
＝0.2，则点H 的坐标为（-0.2，0） 同理可得：点F 的坐标为（-0.6，0）．
∴PH ＝a×(-0.2)2-a ＝－0.96a
EF ＝a×(-0.6)2-a ＝－0.64a ．
又∵PQ ＝EF ＝1－（－0.96a ）＝－0.64a
∴1＋0.96a ＝－0.64a ．
解得a ＝58-． ∴y ＝5
8-x 2＋58
． ∴EF ＝（58
-）×（-0.6）２＋
58＝25． 故答案为：0.4．
【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．
20．【分析】由点AB 的坐标利用二次函数的对称性可求出b 的值利用二次函数图象上点的坐标特征可找出m 和n 的大小关系【详解】解：∵二次函数y=x2+bx+c 的图象经过点A （-4m ）B （2m ）∴∴b=2∵点A(
解析：m n <
【分析】
由点A 、B 的坐标利用二次函数的对称性可求出b 的值，利用二次函数图象上点的坐标特征可找出m 和n 的大小关系．
【详解】
解：∵二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点A （-4，m ）、B （2，m ）， ∴42122
b -+-
==-， ∴b=2， ∵点A(-4，m)，C （6，n ）在二次函数y=x 2+bx+c 的图象上，
∴m=16-8+c=8+c ；n=36+12+c=48+c ，
∴m ＜n ，
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，利用二次函数图象上点的坐标特征得到m ，n 的大小是解题的关键．
三、解答题
21．证明见详解．
【分析】
令y=0，构造一元二次方程239=0x kx k -+-，由1,,39a b k c k ==-=-，判别式()2
2123660k k k ∆=-+=-≥即可．
【详解】
解：令y=0，239=0x kx k -+-，
∵1,,39a b k c k ==-=-， ()()()222=4139123660k k k k k ∴∆--⨯⨯-=-+=-≥，
∴二次函数的图象与x 轴都有交点．
【点睛】
本题考查二次函数与x 轴的交点问题，掌握二次函数与x 轴交点问题转化为y=0时，一元二次方程有实根问题，理解二次函数和一元二次方程之间的关系式解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．
22．（1）b =2，c =m 2+2m +2；（2）m =-1；（3）见解析
【分析】
（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b 和c ；
（2）令y =0，抛物线和x 轴有公共点，即△≥0，再结合非负数的性质确定出m 的值， （3）将两点代入抛物线解析式中，表示出y 1，y 2，求出y 2-y 1分情况讨论即可
【详解】
解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 经过（-1，m 2+2m +1）、（0，m 2+2m +2）两点， ∴2212122b c m m c m m ⎧-+=++⎨=++⎩
， ∴2222
b c m m =⎧⎨=++⎩， 即：b =2，c =m 2+2m +2；
（2）由（1）得y =x 2+2x +m 2+2m +2，
令y =0，得x 2+2x +m 2+2m +2=0，
∵抛物线与x 轴有公共点，
∴△=4-4（m 2+2m +2）≥0，
∴（m +1）2≤0，
∵（m +1）2≥0，
∴m +1=0，
∴m =-1；
（3）由（1）得，y =x 2+2x +m 2+2m +2，
∵（a ，y 1）、（a +2，y 2）是抛物线的图象上的两点，
∴y 1=a 2+2a +m 2+2m +2，y 2=（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2，
∴y 2-y 1=[（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2]-[a 2+2a +m 2+2m +2]
=4（a +2）
当a +2≥0，即a ≥-2时，y 2-y 1≥0，即y 2≥y 1，
当a +2＜0，即a ＜-2时，y 2-y 1＜0，即y 2<y 1．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x 轴的交点，比较代数式的大小，解本题的关键是求出b ，用m 表示出抛物线解析式，难点是分类讨论．
23．（1）223y x x =--；（2）在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短，此时(1,2)M -．
【分析】
（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）点确定出点M 时直线BC 与直线l 的交点，利用待定系数法求出直线BC 解析式即可得出结论；
【详解】
解：（1）把(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx =+-得，
309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩
， 解得，12a b =⎧⎨=-⎩
， ∴抛物线的解析式为223y x x =--；
（2）抛物线223y x x =--的对称轴为212x -=-=， 点M 在对称轴1x =上，且ACM ∆的周长最短，
MC MA ∴+最小，
点A 、点B 关于直线1x =对称，
∴连接BC 交直线1x =于点M ，此时MC MA +最小，
设直线BC 的关系式为y kx b =+，
(3,0)B ，(0,3)C -，
∴303k b b +=⎧⎨=-⎩
， 解得，13k b =⎧⎨=-⎩
， ∴直线BC 的关系式为3y x =-，
当1x =时，132y =-=-，
∴点(1,2)M -，
∴在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短，此时(1,2)M -．
【点睛】
此题时二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，解题关键时掌握待定系数法，和判断出点M 的位置，
24．（1）（﹣1，0）；（2）y ＝x 2+4x +3；（3）﹣3＜x ＜0．
【分析】
（1）先求出点B ，点A 坐标，由对称性可求点C 坐标；
（2）利用待定系数法可求解析式；
（3）由图象可求解．
【详解】
解：（1）∵直线y ＝x +3分别交x 轴和y 轴于点A 和B ，
∴点A （﹣3，0），点B （0，3），
∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2．抛物线与x 轴的另一个交点为C ，
∴点C （﹣1，0），
故答案为（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣3，0），B （0，3），点C （﹣1，0），
∴30930c a b c a b c =⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩
，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，
∴二次函数的解析式为：y ＝x 2+4x +3；
（3）如图所示：
当﹣3＜x ＜0时，二次函数值小于一次函数值，
故答案为：﹣3＜x ＜0．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求解析式，求出抛物线的解析式是本题的关键．
25．（1）20.10.60.9y x x =-++；（2）1.4米；（3）8个
【分析】
（1）已知抛物线解析式，求其中的待定系数，选定抛物线上两点E （1，1.4），B （6，0.9）坐标代入即可；
（2）小明站在OD 之间，且离点O 的距离为3米，即OF=3，求当x=3时的函数值即可得出小明身高；将y=1.4代入解析式求出x 的值，再减去1即可得出答案；
（3）求出y=1.4时x 的值，再用两者之间的差除以0.55，取整得出答案．
【详解】
解：（1）由题意得把点E （1，1.4），B （6，0.9），代入y=ax 2+bx+0.9得，
0.9 1.43660.90.9
a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得0.10.6
a b =-⎧⎨=⎩ ， ∴所求的抛物线的解析式是y=-0.1x 2+0.6x+0.9；
（2）把x=3代入y=-0.1x 2+0.6x+0.9得：y=-0.1×32+0.6×3+0.9=1.8；
1.8-0.4=1.4（米），
∴小明的身高是1.4米；
把y=1.4代入y=-0.1x 2+0.6x+0.9得-0.1x 2+0.6x+0.9=1.4，
解得：x 1=1，x 2=5（舍），
则3-1=2（米），
此时小明向点O 方向走2米就能让绳子甩到最高处时绳子刚好通过他的头顶． （3）当y=1.4时，-0.1x 2+0.6x+0.9=1.4，
解得x 1=1，x 2=5，
∴5-1=4，
∴4÷0.55≈7.27，
∴最多可以8个同学一起玩．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力． 26．（1）8585⨯最大，为7225；（2）750750⨯的积最大，理由见解析
【分析】
（1）由(80)(90)y x x =-+-，求解抛物线的对称轴，从而得到抛物线的顶点的横坐标，于是可得函数的最大值；
（2）设两个乘数的积为w ，其中一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为a ，则另一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为(100)a -，从而可得函数关系式为：：w =(700)(800)a a -+-，再求解抛物线的对称轴为：7008001005022
a -+=
==，再利用二次函数的性质可得答案．
【详解】
（1）解： (80)(90)y x x =-+-， ∴ 抛物线的对称轴为：809010522
x -+=== 而对称轴5x =在自变量取值范围内（19x ≤≤且x 为整数）
∴当5x =时，2max (580)(590)857225y =-+-==，
所以：8585⨯最大，最大积为7225．
（2）设两个乘数的积为w ，其中一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为a ，则另一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为(100)a -，依题意，
得：(700)[700(100)]w a a =++-=(700)(800)(700)(800)a a a a +-=-+- ∴抛物线的对称轴为：7008001005022
a -+=== 而对称轴50a =在自变量取值范围内（199a ≤≤且x 为整数）
∴当50a =时，750750⨯的积最大．
【点睛】
本题考查的是列二次函数关系式，二次函数的性质与二次函数的最值，二次函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．。