16.1 二次根式(第1课时)(课件)2023-2024学年人教版八年级数学下册

（1）
9
＝
3
（3） 7 7
2
;
;
（2） (4) ＝
2
（4）

81

2

4
;
81
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拓展训练
人教版数学八年级下册
1.已知a为实数，求代数式 a 4 9 a a2 的值.
解：由题意得-a2≥0，
∵a2≥0，
∴a2=0，∴a=0，
∴ a 4 9 a a2 4 9 2 3 1.
解得m≥2且m≠-1，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 x 2 6 x m都有意义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，
即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0，
∴m-9≥0，即m≥9.
6.已知|3x-y-1|和 2 x y 4 互为相反数，求x+4y的平方根．
（3）
x
2
解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有
－x2≤0；
又∵二次根式的被开方数大于等于零；
∴ －x2＝0，即x＝0；
∴当x＝0时， 式子 x 2 在实数范围内有意义.
（4）
1
3 2x
3－2 x≥0①
解：由题目条件：
3 3－2 x≠0②
解①得：x≤
；
2
3
解②得：x≠
2
．
3
∴不等式组的解集为：x＜
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
复习引入
人教版数学八年级下册
1.怎样的式子叫二次根式？
一般地，我们把形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式.
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）形式上： a ；（2）被开方数a≥0.
没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或 0．
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，“
”称
为二次根号．
1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等；
2．“2
”中一般把根指数 2 省略，写成“
”．
典例精析
【例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？并总结一下方法.
(2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0；
条件： B≥0；

...
N ≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如
B
A
有意义的条件：
A＞0；
(4)二次根式与分式的和如
A≥0且B≠0.
1
A
B
有意义的条件：
典例精析
【例2】x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？
课堂小结
人教版数学八年级下册
( a ) a (a≥0)
2
二次根式的性质
a |a|（a为全体实数）
2
课后作业
人教版数学八年级下册
1.化简 16 得（ C ）
A.±4
B.±2
C.4
D.-4
2
(
x

3)
2.当1<x<3时，
的值为（ D ）
x 3
A.3
B.-3
C.1
D.-1
人教版数学八年级下册
3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零.
复习引入
人教版数学八年级下册
下列各式中，是二次根式的有几个?
(1)

(3)
(2) −
(4) +
解：（1）（4）是二次根式.
互动新授
人教版数学八年级下册
思考
二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的
3
2
一般地， （ a ） a ( a 0) .
2
典例精析
人教版数学八年级下册
例2 计算：
2
(1) ( 1.5) ;
解：
(2) (2 5) ；
2
互动新授
探究
人教版数学八年级下册
填空：
2
2 =
2
； 0.12= 0.1 ；
2 2
（ ）=
3
2
3
； 02 =
0
.
2 2 2
2
2

2
，
0.1

0.1
，
任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
二次根式的被开
方数非负
二次根式的值
非负
二次根式的
双重非负性
典例精析
【例3】若 a 2 b 3 (c 4)2 0，求a -b+c的值.
解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
0
0

_________;
3
3


互动新授
人教版数学八年级下册
4 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 是
2
一个平方等于4的非负数，因此有（ 4 ）
4.
1
1
同理， 2 , ， 0 分别是2， ，0的算术平方根，
3
3
２
因此有（ 2）2 2 ,( 1）2 1（
, 0）
0.
（
）

，
0
0.
可以得到：
3
3
一般地，根据算术平方根的意义
2
2
a a(a 0) .
2
互动新授
人教版数学八年级下册
思考：当a＜0时， a 2 =？
a
-2
-4
-0.1
....
结论： a 2 = -a
a2
4
16
0.01
....
a2
2
4
0.1
....
观察两者有
什么关系？
总结归纳
人教版数学八年级下册
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
课堂练习
1.下列式子中，二次根式的个数是（ A ）
1 5；
A. 1
2
3
2
x

2
；
3
x

；
B. 2
C. 3
4 3 5；
D. 4
解:(1)∵−5＜0，∴ 5 不是二次根式；
(2)∵x2+2＞0，∴
算术平方根的平方
先平方，后开方
表示一个实数a的平
方的算术平方根
典例精析
例3
人教版数学八年级下册
化简：
1 16;
２ －５２
解：(1) 16 4 4.
2
(2) ( 5)2 52 5.
小试牛刀
计算： (1)
人教版数学八年级下册
2
2
( 5) ；
(2) (2 2) .
(1)
32 ； (2) 6 ； (3)
12 ； (4) －m m≤0 ；
(5)
xy x, y异号 ； (6)
a 1 ； (7) 3 5.
分析：是否含二次根号
是
否
否
2
被开方数是
不是非负数
是
二次根式
不是二次根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负
数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不
3
知识点一 二次根式的概念
h
5
上面问题中，得到的结果分别是： 2， S， 3 ， ．
问题1 这些式子分别表示什么意义？
h
分别表示2，S，3， 的算术平方根．
5
问题2 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
概念归纳
我们知道，一个正数有两个平方根；0 的平方根为 0；在实数范围内，负数
(5)
8
2
－
3.14
; （6）
2
3.14－ －3.14.
.
4. 实数 a 在数轴上的位置如图所示，化简 a 2 (a 1)2
-1 0 1 a 2
1
的结果是_____.
m2
5、(1)若二次根式 2
m m2
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
0 ，且x－1≠0可得， x－1＜0，即x
(2)由
x 1
＜1；
(3) x 为任意实数时， 2 + 1＞0，
可得， x 2 1 在实数范围内有意义.
3. 化简：
（1） 9 ＝
（3） 7
2
（5）(2 2 )
2
3
; （2） (4)2 ＝
4
;
7
; （4） 81
81
.
取值范围又是什么？
当a＞0时， a 表示a的算术平方根，因此 a ＞0；
当a=0时， a 表示0的算术平方根，因此 a =0.
这就是说，当a≥0时， a ≥0.
互动新授
人教版数学八年级下册
探究
根据算平方根的意义填空：
4
2





2
_____;
2 ______;
2
4
2
1

2
1
________;
2
3
∴当x＜
时, 式子
2
．
1
在实数范围内有意义.
3 2x
练一练
1、当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 x 1;
2
(2) x2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 x 1 x 1 ≤0，
2
2
∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义.
a 2 (a 0) 的性质
：
a a
2



a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
总结归纳
人教版数学八年级下册
2
如何区别 ( a ) 与 a 2 ？
( a)
2
a
2
从运算顺序看
先开方，后平方
从取值范围看
a≥0
a取任何实数
从运算结果看
a
|a|
意义
表示一个非负数a的
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
归纳 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段
学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
练一练
1、已知y= x 3 3 x 8,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得 x 3≥0，
3 x≥0，
1
(2)由-2x+1≥0，得x≤
2
.
二次根式有意义的条件
被开方数大于或等于0，即a≥0.
思考：当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？ x 3 呢？
解：由x2≥0，得x是任意实数，
∴当x为任意实数时， x 2 都有意义.
由x3≥0，得x≥0，
∴当x≥0 时， x3 有意义.
概念归纳
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0；
（1）
（3）
x 1
；
（2）
x
；
（4）
2
x 2
1
3 2x
2
；
.
（1）
x 1
解：由x＋1≥0，则x≥－1．
∴当x≥－1时，式子
x 1 在实数范围内有意义.
（2） x 2 2
解：∵在实数范围内，不论x取什么值，
恒有x2 ＋2＞0，
∴当x为任意实数时，式子 x 2 2 在
实数范围内有意义.
谢谢聆听
5 是二次根式；
(3)∵当x≥0时，x3≥0，∴ x 3 不一定是二次根式；
(4)∵ 3 5 的根指数是3，∴ 3 5 不是二次根式.
2.当x 取何值时，下列式子在实数范围内有意义?
1 x 7；
2
5
；
x 1
2
3
x
1.
分析：(1)由x＋7≥0可得， x ≥－7 ；
5
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
16.1.1 二次根式的概念
情景引入
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
2
(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若
S
面积为S m2，则边长为_____m．
(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽
为_____m．
(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
归纳 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑
成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
知识点三 二次根式双重非负性的应用
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于
2
( 3 ) ( -2 ) ；
解:
2
( 4 ) ( -1.2 ) .
(1) ( 5 ) 5 .
2
(2) ( 2 2 )2 = 22 ( 2 )2 = 42 =8 .
2
(3) (-2) = 2 = 2 .
2
2
2
(4) (-1.2) = 1.2 = 1.2 .
课堂检测
人教版数学八年级下册
1.化简：
是二次根式.
练一练
1、下列哪些式子是二次根式？为什么？
（1）
35
（3） 3
2
(3)
；（2）
2
； （4）
；
xy （x、y异号）.
解：（1）、（2）是二次根式．
知识点二 二次根式有意义的条件
当x取何值时，下列根式有意义？
1
x 2；
2
2 x 1.
解：(1)由x−2≥0，得x≥2；