初中八年级数学课件 2.2 第3课时 命题的证明

证明：假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大 于或等于60°， 即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜ 60°， 则∠A+∠B+∠C＜ 180°. 这与“三角形的内角和等于180°” 矛盾， 所以假设不正确.
因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大 于或等于60°.
总结归 纳 像这样，当直接证明一个命题为真有
直接证 明
反证 法
（画图）写 出已知、求
证
写出证明过 程
反设结 论
推理
导出矛 盾
证得结 论
课后作 业
证明的每一步都必须要有 根据.
想一 想 证明命题“三角形的外角和为 36在0°分”析是出真这命一题命.题的条件和结论后，我
们就可以按如下步骤进行：
已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分
别是△ABC的三个外角.
求证： ∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
证明：如图，
∵ ∠BAF=∠2+∠3，
另外，由于不同形状的三角形有无数 个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来 一一验证，因此，我们只能猜测任何一个 三角形的外角和都为360°.
此时猜测出的命题仅仅是一种猜想， 未必都是真命题.
要确定这个命题是真命题，还需要 通过推理的方法加以证明.
数学上证明一个命题时，通常从命题 的条件出发，运用定义、基本事实以及已 经证明了的定理和推论，通过一步步的推 理，最后证实这个命题的结论成立.
第二根步据命题的条件和结论，结合写图出形已知、求证
第三通步过分析，找出证明的途写径出证明的过程
典例精 例析1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，
点D在线段BA
求的证延：长AE线∥上BC，. 射线AE平分∠DAC.
证明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外 角定理），∠B=∠C（已
∴ ∠知D）AC，=2∠B（等式的性 质又∵）.AE平分∠DAC（已 知）， ∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的 定∴义∠D）AE=∠B（等量代换）.
3. 已知：如图，AB与CD 相交 于点E. 求证：∠A+∠C=∠B+∠D. 证明： ∵ AB与CD 相交于点E ，
∴ ∠AEC=∠BED （对顶角 相等），
又 ∵∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180° （三角形内角和等于180°），
∴∠A+∠C=∠B+∠D.
课堂小 结
命题 的证 明
∠CBD=∠1+∠3，
∠ACE=∠1+∠2（三角形外角 定理）， ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等 式的性质). ∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角 和定理)， ∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=3 60°.
总结归 纳
证明与图形有关的命题时，一般有以 下步骤： 第一步 根据题意 画出图形
第2章 三角形
2.2 命题与证明
第3课时 命题的证明
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目 1.了解证明的基本标步骤和书写格式;（重点）
2.掌握反证法证明的基本步骤和格式；（难 点）
3.掌握三角形外角和定理的证明，并能进行 简单的运用.
导入新 课
观察与 思考 问题：在一个三角形花坛的外围走一圈，
证明：∵∠A+∠B= 180°（已知），
∴ AD∥B同C 旁内角互补，两直
（
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线平行 ）.
∴两直∠线C+平∠行D，= 1同80旁°内角
（
互补
）.
2. 已知：如图，直线AB，CD被直线MN 所截，∠1=∠2.
求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.
证明： ∵ ∠1=∠2，
∴ AB∥CD（同位角相等，两直 线平行） ∴ ∠2 =∠3（两直线平行,内 错角相等） ∠3+∠4=180°（两直线平行, 同旁内 角互补）.
在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，
∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向
与出发时相同），一共转了多少度？
实质就是
2
求这个三
角形的外
角和.
1
3
讲授新 课
一 证明的一般步骤
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个 外角之和等于360°，但是剪拼时难以真 正拼成一个周角，只是接近周角；分别度 量这三个角后再相加，结果可能接近 360°，但不能很准确地都得到360°.
困难时，我们可以先假设命题不成立，然 后利用命题的条件或有关的结论，通过推 理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所 证明的反命证题法正是确一，种这间种接证证明明方的法方称法为，反其证 法基.本的思路可归结为“否定结论，导出
矛盾，肯定结论”.
当堂练习
1. 在括号内填上理由. 已知：如图，∠A+∠B= 180°. 求证：∠C+∠D= 180°.
∴AE∥BC（同位角相等，两直 线平行）
二 反证法
例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC 的内角.
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大 于或等于60°.
解析：这个命题的结论是“至少有一 个”，也就是说可能出现“有一个” “有 两个” “有三个”这三种情况. 如果直 接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另 外一个角度来证明.